同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第八章_向量代數(shù)與解析幾何

1、第五篇向量代數(shù)與空間解析幾何第八章向量代數(shù)與空間解析幾何解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的問(wèn)題，為了把代數(shù)運(yùn)算引入幾何中 來(lái)，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化.平面解析幾何使一元函數(shù)微積分有了直觀的幾何意義，所以為了更好的學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分，空間解析幾何的知識(shí)就有著非常重要的地位.本章首先給出空間直角坐標(biāo)系，然后介紹向量的基礎(chǔ)知識(shí)，以向量為工具討論空間的平面和直線，最后介紹空間曲面和空間曲線的部分內(nèi)容第1節(jié)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的問(wèn)題，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).空間直角坐標(biāo)系過(guò)

2、定點(diǎn)O,作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條數(shù)軸分別叫做*軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），它們都以。為原點(diǎn)且具有相同的長(zhǎng)度單位 .通常把x軸和y軸配置在水平面上， 而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則： 右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從x軸的 正向轉(zhuǎn)過(guò)一角度指向y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣就建立了一個(gè)空間2直角坐標(biāo)系（圖8-1）,稱(chēng)為Oxyz直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).圖8-1在Oxyz直角坐標(biāo)系下，數(shù)軸Ox Oy,Oz統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l可以確定一個(gè)平面，稱(chēng)為坐標(biāo)面，分別為 xOy, yOz , zOx ,三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為八個(gè)部分,每一部分叫做一個(gè)卦限

3、（圖8-2）,分別用I、n、出、IV、V、W、口、皿表示圖8-2空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)M為空間中的任一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)平面，與x軸、y軸和z軸依次交于 A、B、C三點(diǎn)，若這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為 x, y, z, 于是點(diǎn)M就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組 （x, y, z）,則稱(chēng)該數(shù)組（x, y, z）為點(diǎn)M在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，如圖8-3 . x ,z分別稱(chēng)為點(diǎn) M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).圖8-3反之，若任意給定一個(gè)有序數(shù)組 (x, y, z),在x軸、y軸、z軸上分別取坐標(biāo)為 x , y , z的三個(gè)點(diǎn)A、B、C ,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的

4、平面，這三個(gè)平面只有一 個(gè)交點(diǎn)M ,該點(diǎn)就是以有序數(shù)組 (x, y, z)為坐標(biāo)的點(diǎn)，因此空間中的點(diǎn)M就與有序數(shù)組(x, y, z)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.注：A、B、C這三點(diǎn)正好是過(guò) M點(diǎn)作三個(gè)坐標(biāo)軸的垂線的垂足.空間中兩點(diǎn)之間的距離設(shè)兩點(diǎn)M (xi, y, 4), N(x2, y2, z?),則M與N之間的距離為dxj2 (y2 %)2 S 乙)2(8-1-1 )事實(shí)上，過(guò)點(diǎn) M和N作垂直于xOy平面的直線，分別交 xOy平面于點(diǎn)M1和N1,則MM 1 / NN1 ,顯然，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(x1, y1, 0)，點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(x2, y2, 0)(如圖8-4).圖8-4由平面解析幾何的兩

5、點(diǎn)間距離公式知，M1和N1的距離為：| MH | 至 xi)2 d / .過(guò)點(diǎn)M作平彳T于xOy平面的平面，交直線 NN1于N2 ,則M1N1 / MN 2,因此N2的坐標(biāo)為(X2, 丫2, Zi),且IMN2 | |MiNi|Xi)2 位 yi)2 ,在直角三角形MN2N中，IN2NI |Z2 Zi|,所以點(diǎn)M與N間的距離為dJ|MN2I2IN2N|2J(X2Xi)2(y2yi)2% 乙)2 .例1 設(shè)A( 1, 2, 0)與B(1, 0,2)為空間兩點(diǎn)，求 A與B兩點(diǎn)間的距離.解 由公式(8-1-1 )可得，A與B兩點(diǎn)間的距離為d J 1 ( 1)2 (0 2)2 ( 2 0)22底.例2

6、在z軸上求與點(diǎn) A(3, 5,2)B( 4, 1, 5)等距的點(diǎn)M .解 由于所求的點(diǎn)M在z軸上，因而M點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(0, 0, z),又由于MA MB ,由公式(8-1-1 ),得%；32 52 ( 2 z)2& 4)2 12 (5 z)2 .2.一一_2、從而解得z -,即所求的點(diǎn)為 M (0, 0,-).習(xí)題8-11 .討論空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào).2 .在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有何特點(diǎn)3 .在空間直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列各點(diǎn):A(2, 0, 0) ； B(0,3, 0)； C(3, 0, 1); D(3, 2,1).4 .求點(diǎn)(1, 2, 3)

7、關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).5 .求點(diǎn)(1, 2, 3)關(guān)于各坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).6 .求下列各對(duì)點(diǎn)間的距離： A(0,1, 3)與 B(2, 1, 4);(2) C( 1, 4, 2)與 D(2, 7, 3).7 .在坐標(biāo)平面yOz上求與三點(diǎn) A(3, 1, 2)、B(4,2,2)和C(0, 5, 1)等距的點(diǎn).8 .求點(diǎn)A(12,3, 4)與原點(diǎn)、各坐標(biāo)平面和各坐標(biāo)軸的距離.9 .證明以A 4,3,1 ,B 7,1,2 ,C 5,2,3為頂點(diǎn)的三角形 ABC是一等腰三角形.第2節(jié)空間向量的代數(shù)運(yùn)算空間向量的概念在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些量，如質(zhì)量、時(shí)間、面積、溫度等，它們?cè)谌《ㄒ?/p>

8、個(gè)度量單位后，就可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表示. 這種只有大小沒(méi)有方向的量， 叫做數(shù)量(或標(biāo)量).但有一些量，如力、位移、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等，僅僅用一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)法將它們確切表示出來(lái)，因?yàn)樗鼈儾粌H有大小，而且還有方向，這種既有大小又有方向的量，叫做 向量(或矢量).在數(shù)學(xué)上，我們用有向線段 AB來(lái)表示向量，A稱(chēng)為向量的起點(diǎn)，B稱(chēng)為向量的終點(diǎn)，來(lái)記向量.向量的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模，記作a或,模為1的向量叫做單位向量，模為0的向有向線段的長(zhǎng)度就表示向量的大小，有向線段的方向就表示向量的方向.通常在印刷時(shí)用黑 體小寫(xiě)字母a, b, c,來(lái)表示向量，手寫(xiě)時(shí)用帶箭頭的小寫(xiě)字母量叫做零向量，記作0,規(guī)定：零向量的方向可以是任

9、意的.本章我們討論的是自由向量， 即只考慮向量的大小和方向，而不考慮向量的起點(diǎn)，因此,我們把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，記作a = b.規(guī)定：所有的零向量都相等.與向量a大小相等，方向相反的向量叫做 a的負(fù)向量（或反向量），記作 a.平行于同一直線的一組向量稱(chēng)為 平行向量（或共線向量）平行于同一平面的一組向量，叫做 共面向量，零向量與任何共面的向量組共面向量的線性運(yùn)算向量的加法我們?cè)谖锢韺W(xué)中知道力與位移都是向量，求兩個(gè)力的合力用的是平行四邊形法則，我們可以類(lèi)似地定義兩個(gè)向量的加法.定義1對(duì)向量a, b ,從同一起點(diǎn) A作有向線段aB、AD分別表示a與b ,然后以AB、AD為鄰邊作平行

10、四邊形 ABCD ,則我們把從起點(diǎn) A到頂點(diǎn)C的向量AC稱(chēng)為向量a與b的和（圖8-5 ），記作a + b .這種求和方法稱(chēng)為 平行四邊形法則.圖8-6圖8-5若將向量b平移，使其起點(diǎn)與向量 a的終點(diǎn)重合，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量c就是a與b的和（圖8-6）,該法則稱(chēng)為 三角形法則.多個(gè)向量，如a、b、c、d首尾相接，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就是它們的和 a+b+c+d （圖8-7）.圖8-7對(duì)于任意向量a, b, c,滿(mǎn)足以下運(yùn)算法則： a + b = b+ a (交換律).(2) (a + b) + c = a + (b + c)(結(jié)合律).(3) a

11、+ 0 = a .向量的減法定義2向量a與b的負(fù)向量b的和，稱(chēng)為向量a與b的差，即特別地，當(dāng)b=a時(shí)，有a+（a) = 0.由向量減法的定義，我們從同一起點(diǎn)O作有向線段OA, OB分別表示a, b ,則oA oB oA ( oB) OA BO bA.也就是說(shuō)，若向量 a與b的起點(diǎn)放在一起，則 a, b的差向量就是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn),以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量（圖8-8）.圖8-8數(shù)乘向量定義3實(shí)數(shù) 與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作 a, a的模是 a ,方向:當(dāng) 0時(shí)， a與a同向；當(dāng) 0時(shí)，a與a反向；當(dāng)0時(shí)，a = 0 .對(duì)于任意向量a, b以及任意實(shí)數(shù)，有運(yùn)算法則：()a = ( a).(2)

12、( )a = a + a .(3) (a b) = a + b.向量的加法、減法及數(shù)乘向量運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，a+ b稱(chēng)為a, b的一個(gè)線性組合(， R).a特別地，與a同方向的單位向量叫做 a的單位向量，記做ea,即ea .la上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.c,試?yán)?如圖8-9 ,在平行六面體 ABCD A/B/C/D/中，設(shè);A/= a,W b aB用a,b,c來(lái)表示對(duì)角線向量D',C'B B'CB圖8-9解 a?tBbccc aB bc aA'4 AA AB BC AA' AB aDa b c;a b

13、c.由于向量 a與a平行，所以我們通常用數(shù)與向量的乘積來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系即有,定理1向量a與非零向量b平行的充分必要條件是存在一個(gè)實(shí)數(shù)向量的坐標(biāo)表不向量在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)A為空間中一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A作軸u的垂線，垂足為 A',則A'稱(chēng)為點(diǎn)A在軸u上的投影（圖 8-10）.若M為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則M在x軸、y軸、z軸上的投影為 A、B、C,如圖8-11所示.zA圖 8-11設(shè)向量AB的始點(diǎn)與終點(diǎn)B在軸u的投影分別為A、B ,那么軸u上的有向線段A B的值A(chǔ) B叫做向量在軸U上的投影，記作prjuAB AB ,軸U稱(chēng)為投影軸.圖 8-12當(dāng)AB與軸u同向時(shí)，投影取正號(hào)，當(dāng)

14、 RB與軸u反向時(shí)，投影取負(fù)號(hào).注(1)向量在軸上投影是標(biāo)量.I(2)設(shè)mN為空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)向量，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1, y1, Z1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(X2, y2, Z2),顯然,向量MN在三個(gè)坐標(biāo)軸上白投影分別為x2x1,y2y1,z2z1.向量的坐標(biāo)表不取空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,在x軸、y軸、z軸上各取一個(gè)與坐標(biāo)軸同向的單位向量, 依次記作i, j, k ,它們稱(chēng)為坐標(biāo)向量.空間中任一向量 a,它都可以唯一地表示為 i, j, k數(shù)乘之和.事實(shí)上，設(shè)a = MN,過(guò)M、N作坐標(biāo)軸的投影，如圖 8-13所示.a = MN= MA+ aP+ pN = MA+ MB+ mC .由于與i

15、平行,MB與j平行，MC與k平行，所以，存在唯一的實(shí)數(shù)x, y, z ,使得a = xi + yj + zk .CMy圖 8-13zk ,xi , MB' yj ,(8-2-1)我們把(8-2-1)式中i, j, k系數(shù)組成的有序數(shù)組(x, y, z)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記為a=x, y, z,向量的坐標(biāo)確定了，向量也就確定了.顯然,(8-2-1)中的x, y, z是向量a分別在x軸、y軸、z軸上的投影.因此,在空間直角坐標(biāo)系中的向量a的坐標(biāo)就是該向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組.在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)點(diǎn)M( 3, 1, 5), N(2,3, 1),求向量MN及的直角坐標(biāo).解 由

16、于向量的坐標(biāo)即為向量在坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組,而向量的各投影即為終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量的差.所以向量mN的坐標(biāo)為5,4,4,向量的坐標(biāo)為 5, 4, 4.例3(定比分點(diǎn)公式)M將它分為兩條有向線段數(shù)(1),即他MB圖 8-14解如圖8-14 ,因?yàn)閄所以解得上的點(diǎn),而設(shè)A(x1,y1,4)和B(x2,y2, z2)為兩已知點(diǎn)，有向線段AM 和 mB，使它們的值的比等于,求分點(diǎn)M(x, y,z)的坐標(biāo).TM與MB在同一直線上，且同方向，故x,y y2,z z2,X2 X, y2y, z2zmB(X2x), (y2y),(z2z)x x1(x2x)y yi(y2y)x2,y* y2,z1

17、z2點(diǎn)M的有向線段AB的中點(diǎn)其坐標(biāo)為x 為x22y y1 y22z1 z22向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量可以用它的模與方向來(lái)表示，也可以用它的坐標(biāo)式來(lái)表示，這兩種表示法之間的是有聯(lián)系的設(shè)空間向量M1M2與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角分別為,0,0為向量a的方向角.因?yàn)橄蛄縜的坐標(biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，因此s 8 2 M1My aa -Ta2 -2 -8公式中出現(xiàn)的 cos ,cos ,cos稱(chēng)為向量a的方向余弦.而|a cos ,a coscos 故向量a的模為a2Za3 -2 -8al ax,ay,aza cos ,cos , cos ea cos ,cos , cos 是與向量a同方向

18、的單位向量.而 |a|M1mI J(mf)2 (M1Q)2 (M1R)2,MiP ax,MQ ay,MR az,從而向量a的方向余弦為并且cos.axax22 ，cosay azay22，c0say azaz222.axayaz,(8-2-4)2 cos已知兩點(diǎn)22 dcos cos 1 .Mi(2,2，揚(yáng)和 M21,3,0的模、方向余弦和方向角,求向量(1 2,3 2,0 .2)(1,1, Z,22，M 1M 2<( 1)2 12 (揚(yáng)211cos ,cos ,cos22例5已知兩點(diǎn)解因?yàn)辄c(diǎn)所以AB于是A(4, 0,5)和B(7,1, 3),求與AB同方向的單位向量74,1 0,3 5

19、 3, 1, 2,-32 12 ( 2)214,巨，,二.、14 、1414Ie向量的數(shù)量積移向量aB在物理中我們知道，一質(zhì)點(diǎn)在恒力 F的作用下，由A點(diǎn)沿直線移到B點(diǎn)，若力F與位的夾角為，則力F所作的功為W | F | | aB | cos .類(lèi)似的情況在其他問(wèn)題中也經(jīng)常遇到.由此，我們引入兩向量的數(shù)量積的概念.定義1設(shè)a, b為空間中的兩個(gè)向量，則數(shù)a|b cos： a, b叫做向量a與b的數(shù)量積(也稱(chēng)內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作a b,讀作“ a點(diǎn)乘b”.即(8-2-5 )b = a| b costa, b其中(a, b)表示向量a與b的夾角，并且規(guī)定 0 (a, b .兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不

20、是向量，特別地當(dāng)兩向量中一個(gè)為零向量時(shí)，就有a b = 0.由向量數(shù)量積的定義易知：，、2 一 .(1) a a = a ,因此aJa a .(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量 a, b, a與b垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，即a b a b = 0 .注 數(shù)量積在解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等度量問(wèn)題上起著重要作用.數(shù)量積的運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任意向量a, b及任意實(shí)數(shù)，有(1)交換律：a b = b a .(2)分配律：a (b+c) = a b + a c.(3)與數(shù)乘結(jié)合律：(a) b = (a b) a ( b).(4) a a 0當(dāng)且僅當(dāng)a = 0時(shí)，等號(hào)成立.例6對(duì)坐標(biāo)向量1,上，。求

21、11,上上，卜八1八上。卜1.解由坐標(biāo)向量的特點(diǎn)及向量?jī)?nèi)積的定義得i i = ji j = j例7已知a 2, b 3,(a, b)解由兩向量的數(shù)量積定義有a b = a|b cos (a, b)2 3(a 2b) (a b) = a a + a b2.=a a b2a b (a + b) (a b) = a2I 2a 2ab b因此aj = k k = 1 ,k = k i = 0.2-，求 a b, (a 2b) (a b) , a b .2 1cos-2 3 ( -) = 3.3 22b a 2b b2 b222 ( 3) 2 32 = 1 1.a + a b b a b b_2_222

22、 (3) 3=7,b77.在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量2=%,%,乙,向量 b=x2, y2,Z2,即a = xiyjzk ,b = X2iy2 jz2k.a b=(xiyjzk)的y2jz?k)=X1X2。i) x1y2(i j) + xz2(i k)+ y1x2(ji)y1y2(jj) +y1z2(jk)由于+ 4x2*i)z1y2(kj) +z1z2(kk).所以(8-2-6)也就是說(shuō)，在直角坐標(biāo)系下，兩向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量的乘積之和.同樣，利用向量的直角坐標(biāo)也可以求出向量的模、兩向量的夾角公式以及兩向量垂直的充要條件，即設(shè)非零向量a =x, yi,z。，向量b = x2,y2

23、,Z2,則aJa a qXy；42(8-2-7)cos.a,ba b|a|b|X1X2 + y1y2 + 4Z222222+ yi + 4, Xi + y2 + Z2(8-2-8)X1X2yiy2%0.(8-2-9)例8 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)三點(diǎn)A(5,4, 1) , B(3, 2, 1) , C(2,5, 0) .證明：ABC是直角三角形.證明由題意可知AB2, 6, 0 , AC=3,1,1，所以(2) ( 3) 6 (1) 0 ( 1) 0,即ABC是直角三角形.向量的向量積我們用力矩的概念來(lái)在物理學(xué)中我們知道， 要表示一外力對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響,描述.設(shè)一杠桿的一端 O固定，力F

24、作用于杠桿上的點(diǎn) A處，F(xiàn)與OA的夾角為 ，則杠 桿在F的作用下繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)，可用力矩 M來(lái)描述.力F又。的力矩M是個(gè)向量,M的大小為|M | |oA|F |sin0M的方向與oA及f都垂直，且oA8-16所示.,F , M成右手系，如圖圖 8-16向量積的定義在實(shí)際生活中，我們會(huì)經(jīng)常遇到象這樣由兩個(gè)向量所決定的另一個(gè)向量，由此，我們引入兩向量的向量積的概念.定義2設(shè)a, b為空間中的兩個(gè)向量，若由a, b所決定的向量c ,其模為c = a b sin（a, b .（8-2-10）其方向與a, b均垂直且a, b, c成右手系（如圖 8-17）,則向量c叫做向量a與b的向 量積（也稱(chēng)外積或

25、叉積）.記作a b,讀作“ a叉乘b”.注（1） 兩向量a與b的向量積a b是一個(gè)向量，其模| a b的幾何意義是以a,b為 鄰邊的平行四邊形的面積.（2） a a = 0這是因?yàn)閵A角。=0,所以a a = 0圖8-17（3）對(duì)兩個(gè)非零向量 a與b , a與b平行（即平行）的充要條件是它們的向量積為零向量.a / b向量積的運(yùn)算滿(mǎn)足如下性質(zhì):對(duì)任意向量a , b及任意實(shí)數(shù)入，有(1) 反交換律： a b = b a (2) 分配律 : a (b + c) = a b + a(a+ b)(3) 與數(shù)乘的結(jié)合律：例 9 對(duì)坐標(biāo)向量i ，c，c= a c+b c( a) b = (a b) = a

26、( b) j ， k ，求 ii， j j， kk， i j， j k， k i解 i i=j j=k k=0j向量積的直角坐標(biāo)運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量i j=k， j k=i， k i=a = x1, y1, z1 ，向量 b = x2 , y2 , z2 ，即a = x1iy1 j z1k ， b = x2 iy2 j z2 k ，因?yàn)閕 i = j j=k k=0i j=k， j k=i， k i=j，j i = k， k j = i ， i k= j則a b = (x1 iy1 jz1k) (x2iy2 jz2k)= x1x2 (ii) x1y2(ij) + x1z2(ik)k)

27、k)k) (x1z2z1x2)(k i)+y1x2(j i )y1y2(jj) + y1z2(j+z1x2(k i) z1y2(k j) + z1z2(k= (x1y2 y1x2)(ij) + (y1z2z1y2)( j二 (yZ2 z1y2)i (X1Z2 ZiX2)j+(x1y2y1X2)k.為了便于記憶，借助于線性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式有yiV2Z2X2Z2注設(shè)兩個(gè)非零向量a =Xi, yi, ZiXiX2yiV2XiX2yiV2Zib = X2, y2, Z2,則a / b X_ZiX2V2Z2若某個(gè)分母為零，則規(guī)定相應(yīng)的分子為零.例i0設(shè)向量a = i,2,i ， b = 2

28、,0,ib的坐標(biāo).2i 3j +4k.因此ab的直角坐標(biāo)為2,3, 4ii在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量=3, 0, 2,b = i, i,i,求同時(shí)垂直于向量a與b的單位向量.b垂直.而解設(shè)向量c = a2ij+3k,所以向量c的坐標(biāo)為2, i, 3再將c單位化,即c0.(2)2 +i2 + 322, i, 3 =,i4,i4,2 i2i 32.i4,i4 , i4, i4-4=為所求的向量.i4例i2在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A(4, i, 2),B(i, 2,2),C(2, 0, i),求 ABC的面積.解由兩向量積的模的幾何意義知:aB、aC為鄰邊的平行四邊形的面積為aB aCIAB 3,

29、3,4,IAC 2, 1,1,因此所以、1252325j 3k ,故ABC的面積為S ABC352向量的混合積定義3給定空間三個(gè)向量Jrc ,Jrb , ra如果先作前兩個(gè)向量a與b的向量積，再作所得的向量與第三個(gè)向量 c的數(shù)量積，最后得到的這個(gè)數(shù)叫做三向量Jrc , Jrb , ra的混合積，記做說(shuō)明：三個(gè)不共面向量a,b,c的混合積的絕對(duì)值等于以a,b,c為棱的平行六面體的體積定理如果aX1iXzi 由Z?k, c X3i Y3IZ3kJra12 3 z z z Y KY3 12 3 XXX1.設(shè)ABCD為一平行四邊形，點(diǎn) 四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)).習(xí)題8-2a,AD b試用a, b表示=C,

30、方B,默A(M為平行oM 1(OA OB).2 .設(shè)M為線段W的中點(diǎn)，O為空間中的任意一點(diǎn)，證明Om3 .對(duì)于任意三個(gè)向量a,b與c,判斷下列各式是否成立？(ap)c (b c聞 (a卜)2 a2卜2; (3)a|(b c) (c a)|b.4 .利用向量證明：(1尸角形的余弦定理;(2)正弦定理；(3)勾股定理.5 .設(shè)a,b,c為單位向量，且滿(mǎn)足6 . a(3, 2,2),b (1,3,2),ca b c o,求 ab b|C 單.,、i(8,6, 2),求3a 2b + -c.7.已知三點(diǎn) A (4,J2,1),B(3,0,2),求人口的坐標(biāo)、模、方向余弦和方向角8 .一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)

31、B(2,-1,7), 它在這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).9 .設(shè) a| 2, |b 4, (a, b)=_, ''310 .設(shè)向量a , b , c兩兩垂直，且a模及(d, a).11 .在空間直角坐標(biāo)系中，已知 a = (1) a b；(2) 2a 5b；12 .已知向量 a 2i 3j k,b i j(1) (ab)c (ac)b; (2) (a b)13 .設(shè)向量a, b的直角坐標(biāo)分別為值.x軸、y軸和z軸上的投影依次為 4,-4和7.求求 a b, (2a b) b, a b .1, b 2 , c 3,求向量 d = a+ b + c的1, 2, 3 , b = 2,2, 1

32、,求：(3) 同；(4) cos(a,b).3k和c i 2j,計(jì)算)c); (3) (a b)|c.1,3,2和2,4, k ，若 a b,求 k 的14 .設(shè)向量a =2, 1,1,b = 1, 3, 0,求以a、b為鄰邊構(gòu)造的平行四邊形面積.15.求同時(shí)垂直于向量 a = 3,2, 4和縱軸的單位向量.16.已知三角形三個(gè)頂點(diǎn) A(4,1, 2), B(3, 0,1), C(5, 1, 2),求 ABC 的面積.第3節(jié) 空間中的平面與直線方程在本節(jié)我們以向量為工具， 在空間直角坐標(biāo)系中討論最簡(jiǎn)單的曲面和曲線一一平面和直平面及其方程首先利用向量的概念， 在空間直角坐標(biāo)系中建立平面的方程，下

33、面我們將給出幾種由不同條件所確定的平面的方程.平面的點(diǎn)法式方程若一個(gè)非零向量n垂直于平面，則稱(chēng)向量n為平面 的一個(gè)法向量.顯然，若n是平面 的一個(gè)法向量，則 n ( 為任意非零實(shí)數(shù))都是 的法向量，即 平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直.由立體幾何知識(shí)知道，過(guò)一個(gè)定點(diǎn)M0 (x0, y0, z0)且垂直于一個(gè)非零向量n = A, B, C有且只有一個(gè)平面.設(shè)M(x, y, z)為平面 上的任一點(diǎn)，由于n ，因此n MM ,由兩向量垂直的充要條件，得=0,xXo, y yo, z Zo , n =A, B, C所以可得(8-3-1)A(x Xo) B(y yo) C(z Zo) 0.由于平面

34、上任意一點(diǎn) M (x, y, z)都滿(mǎn)足方程(8-3-1)，而不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程(8-3-1),因此方程(8-3-1)就是平面的方程.由于方程(8-3-1)是給定點(diǎn)Mo(xo, yo, 4)和法向量n=A, B, C所確定的，因而稱(chēng)式(8-3-1)叫做平面的點(diǎn)法式方程圖 8-18例1求通過(guò)點(diǎn)M0(1,2, 4)且垂直于向量n=3,2, 1的平面方程.解 由于n = 3,2, 1為所求平面的一個(gè)法向量,平面又過(guò)點(diǎn)Mo(1,2, 4),所以,由平面的點(diǎn)法式方程(6-14)可得所求平面的方程為3(x 1) 2 (y 2)1 (z4)=0 ,整理，得3x 2y z例 2 求過(guò)三點(diǎn) M1 2,

35、1,4 , M21,3, 2,M3 0,2,3 的平面的方程.解所求平面的法向量必定同時(shí)垂直于MiM2與M1M3 .因此可取MiM2與M1M3由于因此的向量積為該平面的一個(gè)法向量 n.即M1M3 . 3, 4,6 , M1M3 2, 3,1,n = Mim2 M1M 3 =-614i 9j k,因此所求平面的方程為14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0化簡(jiǎn)得14x 9y z 15 0.1,2,3)的平面方程為般地，過(guò)三點(diǎn) M k(xk, yk, zk) (kxXiyyzZiX2Xiy2yiZ2Zi0X3Xiy3yiZ34稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程。特殊地，過(guò)三點(diǎn) A(a, 0, 0) , B

36、(0, b, 0) , C(0, 0, c)(abc 0)的平面的方程為化簡(jiǎn)整理得x - a y za b 0 0a 0 c個(gè)Y孑i. abc(8-3-2)A、 B、 C三點(diǎn)為平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn),我們把這三個(gè)點(diǎn)中的坐標(biāo)分量a, b, c分別叫做該平面在 X軸，y軸和z軸上截距，方程(8-3-2)稱(chēng)平面 的截距式方程，如圖8-i9 .圖 8-i9平面的一般式方程前面我們有了平面的點(diǎn)法式方程，展開(kāi)平面的點(diǎn)法式方程(6-i4),得Ax By Cz (AX0 By。 Cz°) 0,設(shè) D(AX0By° Cz°),則Ax By Cz D 0 ( A, B, C 不全為零

37、).(8-3-3)即任意一個(gè)平面的方程都是x, y, z的一次方程.反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)含有x, y, z的一次方程(8-3-3)都表示一個(gè)平面.事實(shí)上，設(shè)Mo(Xo, yo, 4)是滿(mǎn)足方程(8-3-3)的一組解，則Ax。By。 Czo D 0 .(8-3-4)式(8-3-3)減去式(8-3-4),得A(x Xo) B(y yo) C(z zo)0.(8-3-5)I由(8-3-5)決定一非零向量n = A, B, C,它與向量 MM x xo, y yo, z 4 垂直，其中Mo(xo, yo, zo) , M (x, y, z).而M o為一固定點(diǎn)，M為任一點(diǎn).因此平面(8-3-3) 上任一點(diǎn)

38、M與Mo的連線均與n垂直，由平面的點(diǎn)法式方程可知，方程 (8-3-3)表示一個(gè)平 面.我們稱(chēng)方程(8-3-3)為平面的一般式方程.其中n = A, B, C為該平面的一個(gè)法向量.現(xiàn)在來(lái)討論(8-3-3)的幾種特殊情況，也就是當(dāng)它的某些系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，平面對(duì) 坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)具有某種特殊位置的情況.1. D 。，上式變?yōu)锳x By Cz o ,此時(shí)(o,。,。)為方程組的解，因此平面通過(guò)原點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，如果平面通過(guò)原點(diǎn)，那么顯然有 D o.2. A, B, C中有一個(gè)為o,例如A o,上式就變?yōu)锽y Cz D o,當(dāng)D o時(shí)，x 軸上任意一點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程，所以x軸與平面平行；當(dāng)D o時(shí)，x軸上每一點(diǎn)

39、都滿(mǎn)足方程，這時(shí)平面通過(guò)x軸.反過(guò)來(lái)，當(dāng)平面平行 x軸時(shí)，我們有 DO, A o,平面通過(guò)x軸時(shí)， do, A o.對(duì)于其他兩種情況可以得出類(lèi)似的結(jié)論.3. A, B, C中有兩個(gè)為o時(shí)，可得下面的結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)D Q B C 0A C o或A B o ,平面平行于yoz坐標(biāo)面 (xoz面或xoy面)；當(dāng)且僅當(dāng)D o, B C 0A C o或A B o ,平面就是 yoz坐標(biāo)面(xoz面或xoy面).例3求過(guò)兩點(diǎn)A(3, 0,2), B( 1, 2, 4)且與x軸平行的平面方程.解 要求出平面的方程，關(guān)鍵要找出平面所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)以及平面的一個(gè)法向量由已知，所求平面的法向量同時(shí)與和x軸垂直.即法向

40、量同時(shí)與AB 4, 2, 6和i = 1, 0,0垂直.因此，可取aBi作為該平面的一個(gè)法向量.0i 6j 2k .所以n = 0, 6, 2為所求平面的一個(gè)法向量.再由平面的點(diǎn)法式方程（6-14）得所求平面的方程為0 (x 3) 6(y 0) 2(z整理得3yz 2 0.兩平面間的關(guān)系2)空間兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有三種：平行、重合和相交.下面根據(jù)兩個(gè)平面的方程來(lái)討論它們之間的位置關(guān)系.設(shè)有兩個(gè)平面1與2 ,它們的方程為1： A1xB1yC1zDi0 （ A, B1, Ci不同時(shí)為零），2： A2xB2yC2zD20 (A2, B2, C2不同時(shí)為零則它們的法向量分別為n1A, B1, C1

41、和 n2A2, B2, C2.兩平面平行n1 / n2AA2且B2ciDiC2D2(2)兩平面重合2旦CA2B2C2DiD2兩平面相交Ai, Bi, Ci 與 A2,B2, C2不成比例.當(dāng)兩平面相交時(shí),把它們的夾角定義為其法向量的夾角(A,e)，且規(guī)定0圖 8-20coscos(n1, n2) 1n1 n2 |ni 11n 21|A4B1B2 C1C2 I特別地，當(dāng)12時(shí)，n1n2 ,A1A2A12B12則niB1B2C1C2C12 , a22 b22 c22反之亦然，所以例4求兩平面2z 6A1 A2B1B2C1C20 和 2x y z5 0的夾角.解由公式有cos.12(1)1) 1 2

42、 12222 12 121 2因此，所求夾角例5 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M0(1,1,1)和M 1(0,1, 1)且垂直于平面x y z 0 ,求它的方程.解 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量為n(A,B,C).因M1M2 ( 1, 0, -2)在所求平面上，它必與 n垂直，所以有A 2C 0.又因所求平面垂直與已知平面 x y z 0,所以有A B C 0,所以得A 2C,B C.由平面的點(diǎn)法式方程可知，所求平面方程為A x 1 B y 1 C z 10.將A2c及B C代入上式，并約去 C (C 0),使得2x1 y 1 z 10,整理得2x y z 0,這就是所求的平面方程.點(diǎn)到平面的距離在空間直角坐標(biāo)系

43、中,設(shè)點(diǎn) M (xo, yo, zo)不全為零)，可以證明點(diǎn) M到平面的距離為| Axo Byo Czo D |A2B2C2，平面：Ax By Cz D 0( A, B, C1例6 求點(diǎn)P(2, 0,5)到平面：4x 4y 2z 17 0的距離.解由點(diǎn)到平面的距離公式得1|2 4 0 ( 4) ( -) 2 17| 24 ,2=4 .；42 ( 4)2 226例7求兩個(gè)平行平面x y3z 1 0 與 x y 3z 50間的距離.解在一個(gè)平面x y 3z 10上任取一點(diǎn)，如取點(diǎn)P( 1, 0, 0),則P點(diǎn)到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離.所以d J 1 1 5| X g而.12 ( 1)

44、2 321 11 13x 2y 2 0例8求過(guò)直線，且與點(diǎn)1,2,1的距離為1的平面方程.x 2y z 6 0解設(shè)過(guò)此直線的平面束方程為 ：(3x 2y 2) (x 2y z 6) 0,(3 )x (2 2 )y z (2 6 ) 0,由點(diǎn)到平面的距離公式(3)?1 (2 2 )?2?1 (2 6 )(3)2 (22 )22 1,2,或故所求平面的方程為2y 2z 10 0,或 4y 3z 16 0.空間中的直線及其方程直線的點(diǎn)向式方程我們知道，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向可以確定一條直線，而方向可以用一個(gè)非零向量來(lái)表示.因此，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)非零向量確定一條直線.如果一個(gè)非零向量s與直線l平行，則稱(chēng)向量s是

45、直線l的一個(gè)方向向量.而向量s的方 向余弦叫做該直線的方向余弦 .顯然，若v是直線l的一個(gè)方向向量，則 v ( 為任意非零實(shí)數(shù))都是l的方向向量.在空間直角坐標(biāo)系中，若 M0(%, y0, 4)是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，s=m, n, p為l的 一個(gè)方向向量，下面求直線 l的方程.ffia-zi設(shè)M(x, y, z)為直線l上的任一點(diǎn)，如圖 8-21 ,則 MM / s,所以?xún)上蛄繉?duì)應(yīng)坐標(biāo) 成比例.而MM的坐標(biāo)為x x0, y y0, z z0,因此有x X0 y y z Zom n p(8-3-6)稱(chēng)式(8-3-6)為直線l的點(diǎn)向式方程(或叫對(duì)稱(chēng)式方程).其中(x0, y0, z0)是直線l上一點(diǎn)

46、的坐標(biāo)，s (m, n, p)為直線l的一個(gè)方向向量.注 由于直線l的方向向量s 0,所以m, n, p不全為零，但當(dāng)有一個(gè)為零時(shí)，如m 0時(shí)，(8-3-6)應(yīng)理解為x Xo 0, y Vo z z n p該直線與yOz平面平行.當(dāng)有兩個(gè)為零時(shí)，如m n 0時(shí)，式(8-3-6)應(yīng)理解為X Xo 0, y yo o,該直線與z軸平行.由直線的點(diǎn)向式方程很容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程.如設(shè)x Xoy Voz zo tm n p 'x xo mt 那么y yont ,z zo pt方程組就是直線的參數(shù)方程.1),求直線l的方程.2,4,例9 設(shè)直線l過(guò)兩點(diǎn)A( 1, 2, 3)和B(2, o,解

47、直線l的一個(gè)方向向量為 AB ,則AB 3,由直線的點(diǎn)向式方程(6-22)可得l的方程為x 1 y 2 z 3324例io求過(guò)點(diǎn)M (1, o,2)且與兩平面1： x z 5和2： 2x 3y z 18者B平行的直線方程.解 所求的直線與1與2都平行，即與12的法向量n1、也都垂直，其中n1=1, o, 1, n2=2,3,1,因此可用n1 n2作為直線的一個(gè)方向向量s.ijkj 3k ，s= n1n21013i231s=3, 1,3 .于是所求直線的方程為x 1 y 0 z 233直線的一般式方程空間任一條直線都可看成是通過(guò)該直線的兩個(gè)平面的交線，一條直線，所以將兩個(gè)平面方程聯(lián)立起來(lái)就代表空

48、間直線的方程.設(shè)兩個(gè)平面的方程為同時(shí)空間兩個(gè)相交平面確定AxByCz D10,2 : A2x B2y C2z D20,(8-3-7)Ax B1y C1z D1 0,A2x B2 y C2z D2 0.表示一條直線，其中 A, B1, C1與A2,耳，C2不成比仞稱(chēng)（8-3-7）為直線的一般式方程圖 8-22例11將直線的一般式方程2x y 3z 1 0,3x 2y z 12 0,化為點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程.解 先求直線上一點(diǎn) M0,不妨設(shè)z 0,代入方程中得2x y 1 0, 3x 2y 12 0,解之得x 2,y 3所以Mo(2, 3, 0)為直線上的一點(diǎn).再求直線的一個(gè)方向向量s .由于直線

49、與兩個(gè)平面的法向量n1、n2都垂直，其中n尸2,1.3, %=3, 2,1,因此可用n1 n2作為直線的一個(gè)方向向量s.s= n1n2213 2k3 5i 11j 7k,1s= 5,11,7.于是，該直線的點(diǎn)向式方程為x 2 y 3 z5117令 U U 二 t, 5117得所給直線的參數(shù)方程為x 2 5ty 3 11t.z 7t兩直線間的關(guān)系空間中兩條直線的位置關(guān)系可以用兩條直線的方程構(gòu)成的方程組的解來(lái)確定.設(shè)兩條直線11與12的方程為x x y y z Z1x x?yy2z z2k：>12：)1Tli n1p1m2n2p2由它們的方程構(gòu)成的方程組xXiyyzZiminiPixX2yy2zZ2m2n2P2(8-3-8)若方程組（8-3-8）有無(wú)窮組解，則li與12重合;若方程組（8-3-8）只有一組解，則|i與|2相交，且方程組的解即為l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo);