大學(xué)一年級(jí)高等數(shù)學(xué)試題及答案

1、期末總復(fù)習(xí)題一、填空題八一0rrrr rrrr 1、已知向量 a i j 2k , b 2i j k ,貝a b = -1 。2、曲線z x2繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為 z=x 2 + y 2。3、級(jí)數(shù) 工二的斂散性為發(fā)散 。n 1 n 3n4、設(shè)L是上半圓周x2 y2 a2 ( y 0),則曲線積分力二-2ds=一l x2 y2a02205 .交換二重積分的積分次序：idyi y f (x,y)dx= 1 dx 1-x f (x, y)dy6 .級(jí)數(shù)一1的和為。n 1 n(n 1)二、選擇題1、 平面(x 1) 3y (z 1) 0和平面(x 2) (y 1) 2z 0的關(guān)系(B )A、重合

2、B 、平行但不重合 C 、一般斜交D 、垂直2、 下列曲面中為母線平行于 z 軸的柱面的是2c 22222222dA、x 2z 1 B、y 2z 1 C 、x 2y 1 D 、x 2y z 13 2 23.設(shè) D ： x y 4(y 0),貝4 22dxdy ( A )d x y 1A 2B 、0 C 、1 D 、44、設(shè) D:x2 y2 4(y 0),則 dxdy ( A ) DA、16 B 、4C 、8D 、25、函數(shù)z 50 x2 4y2在點(diǎn)(1,-2)處取得最大方向?qū)?shù)的方向是(A )A2i 16j B 、 2i6 、微分方(B )A 1 B 、27 .下列表達(dá)式中(D )A y ex

3、 e3x CC y Cex e3xD8 . lim un0 為n6j C 、2i 16j D程(y)2 (y)2 y2 0C 、4 D,微分方程y 4yB、y ex Ce3xCx3 x/1 e C?e無 窮級(jí)數(shù)、2i 16j的 階數(shù)為、63y 0的通解為un收斂 的A充要條件B必要條件C 、充分條件D、什么也不是三、已知a|1, b 忌，a b,求ab與a b的夾角.P7解：a bab 0|a b| J(a b) 2 *(1 0 3) 2 a-b| (a b)2. (1 0 3) 2(a b)(a b) 1 32cos (a b)(a b) 21a b |a -b 42120O四、一平面垂直于

4、平面x 4y 5z 10且過原點(diǎn)和點(diǎn) 2,7,3，求該平面方程解：設(shè)平面方程為AxByCzD 0依題可得D0,-2AB3C 0又n 1,-4,5|A-4B5C 0故后:47 x13yz 0（參考課本P7例題）五、設(shè)zuev,u x2 y2,v xy,求 dz,-z, z . P19x y六、求由xyz sinz所確定白函數(shù)zzx,y的偏導(dǎo)數(shù)上一 x y解：由 xyz sinz彳#xyz sin z 0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得：cosz yz xy 0 xx解得一x cos z xy兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得：cosz xz xy 0 yy解得：- J y cos z xy1在點(diǎn)M0 1,1,2處的切平面和2

5、法線方程.七、求旋轉(zhuǎn)拋物面z 2x2 2y2解：由全微分方程的不 變性，得dz du dv u v evdu uevdvexyd (x2 y2) (x2 y2)exyd(xy)exy(2xdx 2ydy) (x2 y2)exy(ydx xdy)xy23xy, 32、，e (2x x y y )dx e (x 2y xy )dy進(jìn)而可得z exy(2x x2y y3),衛(wèi) exy(x3 2y xy2)解：令 f(x,y) 2x2 2y2,則: fx(x，y) 4x, fy(x, y) 4y所以：n 4x,4y, 1 Em。4,2, 1故曲面在點(diǎn)M0處的切面方程式為：14(x 1) 2( y -)

6、 (z 2) 0即：4x 2y z 3 01法線方程式為：土L 421即:*J 2y_J z 244八、求函數(shù)fx,yxy sin(x 2y)在點(diǎn)P 0,0處沿從點(diǎn)P 0,0到點(diǎn)Q 1,2的方向解：這里的方向即向量PQ 1,2的方向,易知PQ上單位向量0 之.55的方向?qū)?shù)。又fx(x,y) y cos(x 2y), fy (x, y) x2 cos(x 2y)九、計(jì)算二重積分fx (0,0)故(0,0)1, fy (0,0) 2，-1，fx (0,0)?fx.5121?2? .5、5-2 (0,0)?、.5xydxdy,其中D是由x軸,y軸與單位圓x2 y2 1在第一象限所圍的區(qū)域把D看成Y

7、型區(qū)域，則先對(duì)x積分，后對(duì)y積分,此時(shí)D可用不等式組裝示：-x y,1 y 2y皿 x2 y x1 219故dsdydy1一dx(y )dy =D y1 y y2 1y16解：畫出微積分區(qū)域 D的草圖，如圖所示，從 D的草圖可判斷D既是X型區(qū)域也是Y型區(qū)域,十、計(jì)算?yds,其中L是頂點(diǎn)為A1,0 , B0,1和0 0,0的三角形邊界.(參考P79例2)解：AB,OB,OA的方程分別為： y 1 x, 0x1, x 0,0 y 1,y 0,0x1,貝"：AB(x y)ds 0 x 1 x q'1 ( 1)2dx 12dx 2 0(x y)ds (x 0) 1 02dx xdx -, OA0021 211OB(x y)ds 0(0 y) .0 1dy 0 ydy -,故得：(x y)ds oa(x y)ds AB (x y)ds OB (x y)ds2 1求微 分方程 sinxcosydx cosxsin ydy0滿足初始條件y x 0 的特4解：將方程分離變量得：sin x , sin y ,dx dy,cosx cosysin x ,sin y 兩邊積