華中科技大學流體力學第七章2

1、習習 題題7-17-1，7-27-27.2 7.2 速度環(huán)量與旋渦強度速度環(huán)量與旋渦強度速度環(huán)量速度環(huán)量 - 沿封閉曲線的切向速度積分1 1速度環(huán)量速度環(huán)量 ddddLLu xv yw zs v vddddxyzsijkuvwijkv v正方向：逆時針， 沿正方向行進時，曲線所圍區(qū)域總是在左手邊。 Ldsv v例例 設(shè)速度分布為 u = -6y，v = 8x，求繞圓 x2 + y2 = 1 的速度環(huán)量。在圓 x2 + y2 = 1上,cosxsiny22006sin d(cos )8cos d(sin )14其速度環(huán)量為dd6 d8 dLLu xv yy xx y解解2 2旋渦強度旋渦強度渦量

2、渦量 - 速度場的旋度 2 v v12 v v面積面積A上的渦通量上的渦通量 - - 渦量在 A 上法向分量的積分 dd2dAAAIAAAnnn v v也稱為旋渦強度旋渦強度(或渦強渦強) n - 面積 A 上的法向單位矢量。 當面積 A 在 xoy 平面上，nx = 0，ny = 0，nz = 1 所以z2dAIA旋渦強度類似于體積流量，它表示通過指定面積旋渦量，這就是它被稱為渦通量渦通量的原因。 2d2dxxyyzzAAIAnnnAn 例例 設(shè)速度分布為 u = -6y，v = 8x，求 x2 + y2 = 1所 圍圓面積上的旋渦強度。在面積 A上旋渦強度2d27d2 714zAAIAA1

3、186722zvuxy解解 旋轉(zhuǎn)角速度與上個例題中速度環(huán)量相等。3 3斯托克斯斯托克斯( (Stokes) )定理定理根據(jù)數(shù)學定理: 如果 A 是封閉曲線 L 所圍的單連通區(qū)域，則dddcoscoscosdLAP xQ yR zRQPRQPn,xn,yn,zAyzzxxy令 P = u， Q = v， R = w，2xRQwvyzyzcosxn,xn2yPRuwzxzx2zQPvuxyxycosyn,yncoszn,znLAd2dLAAIsn v vAL nddd2dxxyyzzLAu xv yw znnnA 封閉曲線 L 上的速度環(huán)量與 L 所圍單連通區(qū)域 A 上的旋渦強度之間具有等量關(guān)系。

4、 斯托克斯定理中的 A 可以是空間曲面 面積，而不一定要求是平面面積。 無旋流動無旋流動 - 沿流場中任意封閉曲線 的速度環(huán)量均為零2Ivr例例 測出龍卷風旋轉(zhuǎn)角速度為 = 2.5 rad/s，風區(qū)最大 風速為 vmax = 50 m/s。求出整個龍卷風區(qū)域的風速 分布。I 是龍卷風的旋渦強度。解解 龍卷風可以被看成是一股垂直于地面的旋轉(zhuǎn)流體， 它的中心部分(渦核區(qū))以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)， 并帶動周圍流體繞其轉(zhuǎn)動，其流動是無旋的。在渦核區(qū)內(nèi) r R ，流體速度分布為由兩個區(qū)域的速度表達式可以看出，最大速度發(fā)生在渦核區(qū)的外緣，即 r = R 處。由渦核區(qū)速度表達式得max5020 m2.5vR

5、21000 m/s2IRvrrr 2.5 m/s , 20 m1000 m/s , 20 mr rv rr222IRvR龍卷風的旋渦強度等于沿 r = R 圓周的速度環(huán)量渦核外速度為龍卷風區(qū)域的風速分布7.3 7.3 旋渦運動的基本概念旋渦運動的基本概念1 1渦線與渦管渦線與渦管渦渦線線 - 處處與渦矢量 相切的空間曲線。渦線也可以被看成是流體質(zhì)點的瞬時轉(zhuǎn)動軸。 2 由于ddd, , , , , , ,xyzu x y z tv x y z tw x y z t流線方程 2 1 3 4ddd, , , , , , ,xyzxyzx y z tx y z tx y z t渦線方程渦線不相交，并且

6、具有瞬時性。渦渦管管 - 由渦線組成的管狀曲面。渦管強度渦管強度 - 渦管橫截面積上的渦通量。 渦管的例子：渦管的例子： 龍卷風渦核部分像柱形的剛體一樣高速旋轉(zhuǎn)，其流體質(zhì)點都具有很大的旋轉(zhuǎn)角速度；渦核區(qū)以外的流體在渦核區(qū)流體的帶動下作圓周運動，但其質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)角速度卻為零。龍卷風渦核區(qū)的外邊界可以被近似地看成是一個渦管。 類似地，江水、河水中的旋渦也可以被近似地當作渦管處理。海姆霍茨定理 任一瞬間沿渦線方向渦管強度不變。 證明證明 0 1 2ddAAAVAVn 00n 0 v v 1 2ddAAAA nn 在渦管管壁 A0 上有 n0n1n2A0A2A1推論推論 在流場中渦管不能中斷。 渦管只可

7、能以下列三種形式出現(xiàn)： 一端或者兩端延伸到無窮遠； 自身形成封閉環(huán)； 端部中止于物面或者其它邊界。例例 抽煙者吐出的煙圈是封閉的渦環(huán)； 龍卷風一端始于水面，另一端升入云層； 河水中的旋渦一端始于水底河床，另一端終于水面。 2 2開爾文（開爾文（Kelvin）定理）定理 在討論無旋流動時，很自然要提出的問題是： 開爾文定理指出了旋渦生成的原因，因而能夠幫助我們對上述問題做出回答。定義定義 如果質(zhì)量力矢量可以表示為某函數(shù)的梯度，即，f例例 重力場是最常見的有勢力場， ggzfkgz- 力勢函數(shù)力勢函數(shù)則該質(zhì)量力場為有勢質(zhì)量力場有勢質(zhì)量力場。例例 科里奧利力是非有勢質(zhì)量力。gzgzgzgzgxyzi

8、jkk定義定義 如果流體密度只是當?shù)貕簭姷膯沃岛瘮?shù)，即 pFP- 壓強函數(shù)壓強函數(shù) 該流體為正壓流體正壓流體。此時，可以定義一空間函數(shù) dFpPpddFpP或11dddddd1ddddddddFFFFFFFFFFPPPpppxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzpPijkijkijkijkijkijkpPF1又可以表示為正壓條件ddFpP定義定義 如果流體密度只是當?shù)貕簭姷膯沃岛瘮?shù)，即 p dFpPpFP- 壓強函數(shù)壓強函數(shù) 該流體為正壓流體正壓流體。此時，可以定義一空間函數(shù)pPF1或者 FpPC例例 等熵流動的均質(zhì)氣體 是是 正壓流體, pC1F

9、pP例例 密度是常數(shù)的均質(zhì)不可壓縮流體 是是 正壓流體, 例例 大氣層中的空氣 不是不是 正壓流體，因為在大氣層中 空氣的密度不僅隨壓強變化，還與溫度、濕度有關(guān)。 例例 考慮到溫度、鹽含量對密度的影響，海水 不是不是 正 壓流體。 pPF11111dd111FpccpPpc pppp dFpPp1pp11pp為了證明開爾文定理，首先推導一個運動學公式。 考察一條封閉的流體線 L，沿該封閉線速度環(huán)量為dL sv v 流體線由流體質(zhì)點構(gòu)成，當流體質(zhì)點發(fā)生運動，流體線的位置、形狀和長度都會產(chǎn)生變化。為了研究沿流體線的速度環(huán)量隨時間的變化，先研究沿流體線上一個微段的速度積分對時間的變化率。 由矢量相加

10、的運算法則得到 t 時刻：dst+ t 時刻：ds1ddtt ssv vv vdd sv v1dddtssv vv vv vv v設(shè) 0 點速度矢量為 v v，0 點速度矢量為v v ，沿 ds 的切向速度積分是沿 ds 的切向速度積分是1002dddddlimlimddd dddddd2tttttttVtt sssv vv vv vv vv vv vv vv vv v2 dddddddddddd2LLLVttttsv vdddddLttsv vd 對時間的變化率為 沿整條曲線 L 的速度環(huán)量 對時間的變化率為 沿封閉流體線速度環(huán)量對時間的變化率等于加速度環(huán)量。 = 01ddtsv vv vv

11、 vdd sv v 理想、正壓流體在有勢質(zhì)量力作用下，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化。證明證明 理想流體的運動方程為d1dptfv vFPp1f對于正壓流體：對于有勢質(zhì)量力：ddFPtv v ddddd0ddFFLLLPPttssv v定理得證開爾文開爾文( (湯姆森湯姆森) )定理定理 由斯托克斯定理，沿封閉流體線的速度環(huán)量等于流體線所圍曲面面積上的旋渦強度。既然速度環(huán)量不隨時間變化，旋渦強度也不會隨時間變化。 如果在某一時刻流動無旋，則任意流體面上的旋渦強度都等于零，在推論條件下，旋渦強度不隨時間變化，因此在此前和此后的所有時刻旋渦強度也必定為零，所以流動也是無旋的。 推論推論 理

12、想、正壓流體在有勢質(zhì)量力的作用下，只要在某一時刻流動無旋，在此前和此后的所有時刻流動也必定無旋。如果流動是由靜止狀態(tài)啟動的，它將始終無旋。開爾文爵士(Lord Kelvin, 1824-1907) 1824年生于愛爾蘭的貝爾法斯特，原名威廉.湯姆森(WilliamThomson)，1845年畢業(yè)于劍橋大學，1846年起任格拉斯哥大學物理學教授，因在裝設(shè)大西洋海底電纜中的突出貢獻，1892年被封為開爾文爵士 。 開爾文在熱學、電磁學、流體力學、光學、地球物理、數(shù)學、工程應(yīng)用等方面都做出過杰出貢獻，一生發(fā)表論文600余篇，取得發(fā)明專利70余種，其中在熱學和電磁學等方面取得的成就尤為出色，熱力學溫度

13、(K)使用了他的名字命名。 流體具有粘性，流體是非正壓的和非有勢質(zhì)量力的作用是產(chǎn)生旋渦運動的原因。 流體粘性生成旋渦的例子流體粘性生成旋渦的例子 當流體流經(jīng)物面時形成邊界層，邊界層是很薄的旋渦層。 速度的間斷面會產(chǎn)生旋渦。3 3旋渦運動的生成旋渦運動的生成 流體非正壓生成旋渦的例子流體非正壓生成旋渦的例子 大氣層中的空氣及海洋中的海水都是非正壓流體。 海陸風、季風、赤道地區(qū)的貿(mào)易風是大氣層中空 氣非正壓所產(chǎn)生的旋渦運動； 海洋環(huán)流是海水非正壓所產(chǎn)生的旋渦運動。 非有勢質(zhì)量力生成旋渦的例子非有勢質(zhì)量力生成旋渦的例子 拔掉澡盆的塞子會出現(xiàn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)的渦； 北半球逆時針方向旋轉(zhuǎn)的臺風和龍卷風； 地球自