有限元簡答終極

1、1.兩種平面問題的基本概念和基本方程；答：彈性體在滿足一定條件時，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)力問題設(shè)有張很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。由于平板很薄，外力不沿厚度變化，因此在整塊板上有：，剩下平行于XY面的三個應(yīng)力分量未知。平面應(yīng)變問題設(shè)有很長的柱體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。平面問題的基本方程為：平衡方程幾何方程物理方程（彈性力學平面問題的物理方程由廣義虎克定

2、律得到）· 平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題有· 平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題有在平面應(yīng)力問題的物理方程中，將E替換為、替換為，可以得到平面應(yīng)變問題的物理方程；在平面應(yīng)變問題的物理方程中，將E替換為、替換為，可以得到平面應(yīng)力問題的物理方程。2彈性力學中的基本物理量和基本方程；答：基本物理量有：空間彈性力學問題共有15個方程，3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。其中包括6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量，3個位移分量。平面問題共8個方程，2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程，相應(yīng)3個應(yīng)力分量，3個應(yīng)變分量，2個位移分量?；痉匠逃校?.平衡方程及應(yīng)力邊界條件：平衡方

3、程：xx+yxx+zxz+X=0xyx+yy+zyz+Y=0xzx+yzy+zz+Z=0xy=yxyz=zyzx=xz邊界條件：xv=xl+yxm+zxnyv=xyl+ym+zynzv=xzl+yzm+zn2.幾何方程及位移邊界條件：幾何方程：x=uxxy=vx+uyy=vyyz=wy+vzz=wzzx=uz+wx邊界條件：u=us v=vs w=ws3.物理方程:x=x-(y+z)Ey=y-(x+z)Ez=z-(x+y)Exy=xyGyz=yzGzx=zxGG=E2(1+)3.有限元中使用的虛功方程。對于剛體，作用在其上的平衡力系在任意虛位移上的總虛功為0，這就是剛體的平衡條件，或者稱為剛體

4、的虛功方程。對于彈性變形體，其虛位移原理為：在外力作用下處于平衡的彈性體，當給予物體微小的虛位移時，外力的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能。設(shè)想一處于平衡狀態(tài)的彈性體發(fā)生了任意的虛位移f*=u*v*w*T,相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)?=x* y* z*xy*yz*zx*,作用在微元體上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力（XvYvZv）。外力的總虛功為實際的體力和面力在虛位移上所做的功，即：W總*=VXu*+Yv*+Zw*dV+S(Xvu*+Yvv*+Zvw*)dS在物體產(chǎn)生微小虛變形過程中，整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為總虛應(yīng)變能，即：U變形*=Vxx*+yy*+zz*+xyxy*+yzyz*+zxzx*d

5、xdydz=V*TdV其中xx*+yy*+···+zxzx*為彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上做的虛功，由此得到虛功方程：W總*=VXu*+Yv*+Zw*dV+S(Xvu*+Yvv*+Zvw*)dS=V*TdV4.節(jié)點位移，單元位移及它們的關(guān)系。（自己寫的，沒找到答案）答：節(jié)點位移：坐標系中各個單元節(jié)點在各自的自由度上產(chǎn)生的移動。單元位移：反應(yīng)單元內(nèi)個點的位移量的函數(shù)表達。關(guān)系：單元位移可由節(jié)點位移差值構(gòu)造，即通過節(jié)點位移構(gòu)造單元位移函數(shù)，從而反應(yīng)單元內(nèi)個點的位移。5.單元位移函數(shù)的概念與性質(zhì)答：由彈性力學知，如果彈性體的位移分量是坐標的己知函數(shù)，就可由幾何

6、方程求得應(yīng)變分量，再由彈性方程求得應(yīng)力分量。但是，如果僅知道彈性體(或單元)中幾個點(例如節(jié)點)的位移分量的數(shù)值，是不能直接求得其應(yīng)變分量和應(yīng)力分量的。為了能用節(jié)點位移分量表示單元上的應(yīng)變、應(yīng)力等，首先就必須把單元上任一點的位移分量表示為坐標的某種函數(shù)。當然，這些函數(shù)在上述幾個節(jié)點上的數(shù)值，應(yīng)當?shù)扔谄浼褐?。這種做法，實際上是假定單元上各點按某種模式變形，各點的位移值則是由己知點(節(jié)點)按這種模式插值取得。采用的函數(shù)稱為位移函數(shù)或位移模式。（對于一個復雜的彈性體，想要用某種連續(xù)函數(shù)來描述整體內(nèi)任一點的位移是不大可能的。但當把彈性體離散化為許多細小的單元，則在一個單元的局部范圍內(nèi)是可以把某一點的

7、位移近似地表達為其坐標函數(shù)的，這一表達式就是單元位移模式或者叫單元位移函數(shù)。）性質(zhì)：1.在單元節(jié)點上的形態(tài)函數(shù)的值為1或者0 2.在單元中的任一點上，三個形態(tài)函數(shù)之和等于1.用來計算三角形面積時，要注意單元節(jié)點的排列順序，當三個節(jié)點i，j，m取逆時針順序時，A>0，反之小于0.6.節(jié)點力、等效節(jié)點力節(jié)點力：通過節(jié)點來傳遞的力。利用虛功方程建立剛度方程，把作用在每個單元上的載荷都移置到各節(jié)點之后，各單元所受的力就只有通過節(jié)點傳遞的節(jié)點力。節(jié)點力在節(jié)點的的虛位移上所做的虛功等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。等效節(jié)點力：按照有限元法的離散思想，外載荷必須作用在節(jié)點上，而實際的外載荷由往往并

8、不是通過節(jié)點作用的。因此，必須將這些非節(jié)點載荷按照一定的原則移置到節(jié)點上，即所謂的等效節(jié)點載荷處理。這種移置必須滿足靜力等效原則，因為只有這樣才能使得這種移置所引起的誤差只局限于局部，而不至于影響整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)（圣文南原理）。通常對剛體而言的靜力等效是指移置前后的兩個載荷系統(tǒng)在任一軸上的投影之和彼此相等，對任一軸的力矩之和也彼此相等。但是對于具有三個或者三個以上節(jié)點的彈性體單元，若按剛體靜力等效原則來移置載荷，其結(jié)果不是唯一的。在有限元法中，是按虛功等效的原則來移置，即移置前的原載荷與移置后的節(jié)點載荷在任意虛位移上的虛功相等。在一定的位移函數(shù)下，這樣移置的結(jié)果是唯一的。7.如何由單元節(jié)點位

9、移導出單元位移函數(shù)、單元應(yīng)變、單元應(yīng)力和，如何建立單元節(jié)點位移和單元節(jié)點力之間的關(guān)系。8.單元剛度矩陣的物理意義性質(zhì)物理意義：單位節(jié)點的位移分量所引起的節(jié)點力。例如：km n是表示當單元第n個自由度產(chǎn)生單位位移而其他自由度固定時，在第m個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力。（具體參數(shù)在PPT上，沒打出來）表示結(jié)點S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在結(jié)點r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平結(jié)點力和垂直結(jié)點力的大小。例如表示結(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在結(jié)點i所需要施加的水平結(jié)點力的大小。性質(zhì)：（1）、ke是對稱陣。其元素之間有如下關(guān)系：krs=ksr，這一特性是由彈性力學中的功的互

10、等定理所決定的。（2）、ke是奇異陣。ke的每一行每一列元素之和均為0，其物理意義就是：在無約束條件下，單元可做剛體運動。根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為0。9.整體剛度矩陣的物理意義性質(zhì)物理意義：剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點位移引起的結(jié)點力。性質(zhì)：（1）、總剛度矩陣是對稱矩陣。（2）、總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布。因為任一節(jié)點只與繞它的相鄰單元發(fā)生聯(lián)系，所以k中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在對角線主元素的附近。（3）、總剛度矩陣式奇異陣。10.有限元的基本原理及解題過程；基本原理：有限元法是將連續(xù)體理想化成為有限個單元集合而成，這些單元僅在有限個節(jié)點上相連接，亦即用有限個單

11、元的集合來代替原來具有無限個自由度的連續(xù)體。由于有限元單元的分割和節(jié)點的配置非常靈活，它可以適用于任意復雜的幾何形狀，處理不同的邊界條件。在有限元單元集合體的基礎(chǔ)上，對每一單元假設(shè)一個簡單的位移函數(shù)來近似模擬其位移分布規(guī)律，通過虛位移原理求得每個單元的平衡方程，即建立起單元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系。最后把所有的單元的這種特性關(guān)系集合起來，就可建立整個物體的平衡方程組。考慮邊界條件后，解此方程組求得節(jié)點位移，并計算出各單元應(yīng)力。解題過程：（1）、首先繪出結(jié)構(gòu)集合簡圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。包括劃分單元跟等效節(jié)點載荷。（2）、其次進行單元分析。計算每個單元的剛度矩陣。根據(jù)各單元所受載荷，利用載

12、荷移置公式，得到每個單元的等效節(jié)點力載荷。（3）、組裝總剛度矩陣，組集結(jié)構(gòu)節(jié)點載荷矩陣，引入約束條件，解線性方程組，即可求得包括已知節(jié)點位移分量在內(nèi)的全部節(jié)點位移。（4）、最終求得單元應(yīng)力和節(jié)點應(yīng)力。整理計算結(jié)果并繪制出結(jié)構(gòu)變形圖及各種應(yīng)力分量的等值曲線圖。11.等參元的概念及單元分析過程；首先導出關(guān)于局部坐標系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進行坐標變換，得到關(guān)于整體坐標系的復雜形狀的單元（子單元），如果子單元的位移函數(shù)插值結(jié)點數(shù)與其位置坐標變換結(jié)點數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點參數(shù)進行插值，則稱其為等參元12.軸對稱三節(jié)點三

13、角形單元、四節(jié)點四面體單元、8節(jié)點六面體單元的形函數(shù)、自由度。答：1、軸對稱三節(jié)點三角形單元的自由度為6 。其形函數(shù)為：N=Ni00NiNj00NjNm00Nm其中Ni=12Aai+bix+ciyi,j,mai=xjym-xmyj , bi=yi-ym ,ci=-xj+xmaj=xmyi-xiym , bj=ym-yi ,cj=-xm+xiam=xiyj-xjyi , bm=yi-ym ,cj=-xi+xm2、四節(jié)點四面體單元自由度為12 。其形函數(shù)為：N=Ni000Ni000NiNj000Nj000NjNm000Nm000NmNp000Np000Np其中Ni=16Vai+bix+ciy+di

14、z (i,j,m,p)ai=xjyjzjxmymzmxpypzp ,bi=-1yjzj1ymzm1ypzp , ci=-xj1zjxm1zmxp1zp, di=-xjyj1xmym1xpyp13、8節(jié)點六面體單元自由度為24 。其形函數(shù)為：N=N1000N1000N1···N8000N8000N8其中Ni,=181+i1+i1+i (i=1,2,3,···,8)式中i,i,i單元節(jié)點i的坐標。14. 桿單元與梁單元的區(qū)別。答：按照力學理論，有些桿件可以簡化為只能承受軸向力的桿，有些桿件可以簡化為既能承受軸向力又能承受彎矩的梁。在有限元

15、方法中，將模擬桿的單元稱為桿單元，將模擬梁的單元稱為梁單元。所以它們的區(qū)別就是能否承受彎矩。15. 桿單元與梁單元的剛度矩陣推導。16.彈性力學薄板問題的基本假設(shè)，基本物理量和基本方程。答：基本假設(shè)：（1）、變形前垂直于中面的直法線在變形后仍是彈性曲面的法線。（2）、板的中面只發(fā)生彎曲變形，沒有面內(nèi)的伸縮變形，即無平行于中面的變形。（3）、忽略沿厚度方向的擠壓變形。即z方向上應(yīng)力應(yīng)變均為0 。基本物理量及基本方程：（1）位移：u=-zwx , v=-zwy , w=w(x,y)（2）應(yīng)變：=xyz=-z2wx22wy222wxy并記=-2wx2-2wy2-22wxyT（3）應(yīng)力：=D=E1-2

16、1010001-2（4）內(nèi)力矩：=12zh3M=Eh312(1-2)1010001-217.四節(jié)點薄板單元（矩形單元）的自由度。答：矩形板單元有四個角節(jié)點，每個節(jié)點有三個參數(shù)：撓度，以及繞x、y軸的轉(zhuǎn)角，所以總共有12個自由度。18.為什么要引入等參單元的局部坐標系？有什么特點和好處？答：以四節(jié)點單元為例，在建立位移模式時出現(xiàn)一個新問題：如果直接用x，y坐標系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。因此須建立一種新的局部坐標系-坐標系，使得4條邊上有一個局部坐標為常數(shù)（±1），即所謂的局部坐標系。特點和好處：單元內(nèi)，所有點的坐標、均在-1到+1之間。所以該坐標系可以稱為單元的自然坐標系?？梢宰C明，在局部坐標系情況下，位移模式關(guān)于、坐標是雙線性位移模式，而在x，y坐標系下不是雙線性位移模式。由于實際單元的邊界上有一個局部坐標為常數(shù)，因此位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。19.簡述動力學有限元方程。答：首先由于動力載荷隨時間變化，所以簡化到節(jié)點上的載荷應(yīng)該表示為時間的函數(shù)F（t）。其次，根據(jù)達朗貝爾原理，在運動的過程中，有加速度的物體應(yīng)有附加