高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(高清版)

1、2012年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設(shè)集合M1,0,1，Nx|x2x，則MN等于()A0 B0,1 C1,1 D1,0,12命題“若，則tan1”的逆否命題是()A若，則tan1 B若，則tan1C若tan1，則 D若tan1，則3某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確

2、的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點(diǎn)的中心C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg5已知雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A BC D6函數(shù)f(x)sinxcos(x)的值域為()A2,2 BC1,1 D7在ABC中，AB2，AC3，則BC等于()A B C D8已知兩條直線l1：ym和l2：(m0)，l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為

3、a，b，當(dāng)m變化時，的最小值為()A B C D二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上 (一)選做題(請考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)9在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a0)有一個公共點(diǎn)在x軸上，則a_.10不等式|2x1|2|x1|0的解集為_11如圖，過點(diǎn)P的直線與O相交于A，B兩點(diǎn)，若PA1，AB2，PO3，則O的半徑等于_ (二)必做題(1216題)12已知復(fù)數(shù)z(3i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|_.13 的二項展開式中的常數(shù)項為_(用數(shù)字作答)1

4、4如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入x1，n3，則輸出的數(shù)S_.理圖 文圖15函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)(1)若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)，則_；(2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為_16設(shè)N2n(nN*，n2)，將N個數(shù)x1，x2，xN依次放入編號為1,2，N的N個位置，得到排列P0x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1x1x3xN1x2x4xN，將此操作稱為C變換將P1分成兩段，每段個

5、數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當(dāng)2in2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到Pi1.例如，當(dāng)N8時，P2x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置(1)當(dāng)N16時，x7位于P2中的第_個位置；(2)當(dāng)N2n(n8)時，x173位于P4中的第_個位置三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522

6、.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率18如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90°，E是CD的中點(diǎn)(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積19已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1

7、,2，.(1)若a11，a25，且對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列20某企業(yè)接到生產(chǎn)3 000臺某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件)已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C

8、三種部件生產(chǎn)需要的時間；(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案21在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2：(x5)2y29外，且對C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值(1)求曲線C1的方程；(2)設(shè)P(x0，y0)(y0±3)為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D證明：當(dāng)P在直線x4上運(yùn)動時，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值22已知函數(shù)f(x)eaxx，其中a0.(1)若對一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在

9、函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，記直線AB的斜率為k.問：是否存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由1 B由Nx|x2x，得x2x0x(x1)0，解得0x1.又M1,0,1，MN0,12 C命題“若，則tan1”的逆否命題是“若tan1，則”3 D若為D項，則主視圖如圖所示，故不可能是D項4 DD項中，若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則其體重約為：0.85×17085.715879(kg)故D項不正確5 A由2c10，得c5，點(diǎn)P(2,1)在直線上，.又a2b225，a220，b

10、25.故C的方程為.6 Bf(x)sinxcos(x)故選B項7 A，.又，.8 B由題意作出如下的示意圖由圖知a|xAxC|，b|xDxB|，又xA·xB1，xC·xD1，.yAyClog2xAlog2xClog2xAxC，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號由log2xAxC，得log2xAxC，即0xAxC從而，當(dāng)時，取得最小值，故選B項9答案：解析：C1：C1的方程為2xy30.C2：C2的方程為.C1與C2有一個公共點(diǎn)在x軸上，且a0，C1與x軸的交點(diǎn)(，0)在C2上，代入解得.10答案：x|x解析：對于不等式|2x1|2|x1|0，分三種情況討論：1°，當(dāng)時，2x12

11、(x1)0，即30，故x不存在；2°，當(dāng)時，2x12(x1)0，即；3°，當(dāng)x1時，2x12(x1)0,30，故x1.綜上可知，不等式的解集是11答案：解析：過P作圓的切線PC切圓于C點(diǎn)，連結(jié)OCPC2=PA·PB=1×3=3，.在RtPOC中，.12答案：10解析：z(3i)2，|z|321210.13答案：160解析：的通項為(1)r26rx3r.當(dāng)3r0時，r3.故(1)326323160.14答案：4解析：輸入x1，n3.i312，S6×(1)213；i211，S(3)×(1)115；i110，S5×(1)014；i

12、011，10，輸出S4.15答案：(1)3(2)f(x)sin(x)，f(x)cos(x)解析：(1)時，f(x)cos(x)，即，3.(2)當(dāng)x時，；當(dāng)x時，.由幾何概型可知，該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為.16答案：(1)6(2)3×2n411解析：(1)由題意知，當(dāng)N16時，P0x1x2x3x4x5x16，P1x1x3x5x15x2x4x16，則P2x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，此時x7位于P2中的第6個位置(2)方法同(1)，歸納推理知x173位于P4中的第3×2n411個位置17解：(1)由已知得25y1055，x3045

13、，所以x15，y20，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本將頻率視為概率得，.X的分布列為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)P(X11)×P(X21)P(X11)×P(X21.5)P(X11.5)×P(X21

14、).故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.18解：解法一：(1)如圖所示，連接AC由AB=4，BC=3，ABC=90°得AC=5.又AD=5，E是CD的中點(diǎn)，所以CDAE.因為PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BGCD，分別與AE，AD相交于點(diǎn)F，G，連結(jié)PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA為直線PB與平面ABCD所成的角由題意PBABPF，因為sinPBA，sinBPF，所以PABF.由D

15、ABABC90°知，ADBC又BGCD，所以四邊形BCDG是平行四邊形故GDBC3，于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以，.于是PABF.又梯形ABCD的面積為S×(53)×416，所以四棱錐PABCD的體積為.解法二：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PAh，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因為8800，0，所以CDAE，CDAP，而A

16、P，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)由題設(shè)和(1)知，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)又(4,0，h)，故.解得.又梯形ABCD的面積為S×(53)×416，所以四棱錐PABCD的體積為.19解：(1)對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)是等差數(shù)列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故數(shù)列an 是首項為1，公差為4的等差數(shù)列于是an1(n1)×44n3.

17、(2)必要性：若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則對任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是，即.所以三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列充分性：若對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因為an0，所以.故數(shù)列an是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對

18、任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列20解：(1)設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間(單位：天)分別為T1(x)，T2(x)，T3(x)，由題設(shè)有，其中x，kx,200(1k)x均為1到200之間的正整數(shù)(2)完成訂單任務(wù)的時間為f(x)maxT1(x)，T2(x)，T3(x)，其定義域為x|0x，xN*易知，T1(x)，T2(x)為減函數(shù)，T3(x)為增函數(shù)注意到T2(x)T1(x)，于是當(dāng)k2時，T1(x)T2(x)，此時f(x)maxT1(x)，T3(x)max由函數(shù)T1(x)，T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)時f(x)取得最小值，解得.由于，而f(44

19、)T1(44)，f(45)T3(45)，f(44)f(45)故當(dāng)x44時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為f(44).當(dāng)k2時，T1(x)T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k3，此時.記，(x)maxT1(x)，T(x)，易知T(x)是增函數(shù)，則f(x)maxT1(x)，T3(x)maxT1(x)，T(x)(x)max由函數(shù)T1(x)，T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)時(x)取最小值，解得.由于，而(36)T1(36)，(37)T(37).此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于.當(dāng)k2時，T1(x)T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k1，此時f(x)maxT2(x)，T3(x)max由函數(shù)T2(x)，T3(x)的單調(diào)

20、性知，當(dāng)時f(x)取最小值，解得，類似的討論，此時完成訂單任務(wù)的最短時間為，大于.綜上所述，當(dāng)k2時，完成訂單任務(wù)的時間最短，此時，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.21解：(1)方法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得.易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x2的右側(cè)，于是x20，所以.化簡得曲線C1的方程為y220x.方法二：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓C2圓心(5,0)的距離等于它到直線x5的距離因此，曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x5為準(zhǔn)線的拋物線故其方程為y220x.(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x4上運(yùn)動時，P的坐標(biāo)為(4，y0)又y0±3，則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn)，切線方程為yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是.整理得72k218y0ky0290.設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程的兩個實(shí)根故.由得k1y220