復(fù)變函數(shù)課件：5-2 留數(shù)(Residue)

1、& 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則2 2 留數(shù)留數(shù)(Residue)1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義定義定義設(shè)設(shè)z0為為f (z)的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)， f (z)在在z0鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z- z0)1的系數(shù)的系數(shù)c1稱為稱為f (z)在在z0的留數(shù)，記作的留數(shù)，記作Resf (z), z0 或或 Res f (z0)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Resf (z), z0= c1 (1) nnnzzczf)()(0設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得

2、：線線對(duì)對(duì)上上式式兩兩邊邊沿沿簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲),)(00在在其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含的的弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是zczfz)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)()(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外限限個(gè)個(gè)弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有有有在在是是一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)的的弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcc

3、zzfsdzzfidzzfin11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由復(fù)合閉路定理得：由復(fù)合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。奇點(diǎn)的留數(shù)。 一般求一般求Resf (z), z0是采用將是采用將f (z) 在在 z0鄰域內(nèi)展開(kāi)鄰域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)c1的方法的方法,但如果能先知道奇點(diǎn)但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。

4、0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若以下就三類奇點(diǎn)進(jìn)行討論：以下就三類奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點(diǎn)時(shí)，求為極點(diǎn)時(shí)，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是若若級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II)5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開(kāi)展開(kāi)為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)若若事實(shí)上事實(shí)上，由

5、條件，由條件)0( ,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求.)5(,)!1()()(lim10110式式移移項(xiàng)項(xiàng)得得 cmzfzzdzdmmmzzA當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，式時(shí)，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzpzzfszfzzQzQzpzzQzpzQ

6、zpzf 且且的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是處處解解析析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則III事實(shí)上事實(shí)上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)為為從從而而的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為及及zQzzQzzQzQ )0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzpzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！)0)( ()( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzpzzzQzQzpzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則,)(0zfz 22)1(25:zdzz

7、zz計(jì)計(jì)算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)的內(nèi)部有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)的內(nèi)部有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzxzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向計(jì)計(jì)算算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則041414

8、1412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz計(jì)計(jì)算算例例3解解的的三三級(jí)級(jí)奇奇點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則)(tanNnzdznz 計(jì)計(jì)算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由法法則則為為一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)III,

9、21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz ninizsizdznknz4)2(2)(tanRe2tan21 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求留要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求留數(shù)，不要死套規(guī)則。數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三級(jí)極點(diǎn)。的三級(jí)極點(diǎn)。:)(級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10),(Re30zzzzfsz 由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則該方法較規(guī)則II更簡(jiǎn)單！更簡(jiǎn)單！! 51)cos(lim! 5