復(fù)變函數(shù)課件：5-2 留數(shù)(Residue)

1、& 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則2 2 留數(shù)留數(shù)(Residue)1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義定義定義設(shè)設(shè)z0為為f (z)的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)， f (z)在在z0鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z- z0)1的系數(shù)的系數(shù)c1稱為稱為f (z)在在z0的留數(shù)，記作的留數(shù)，記作Resf (z), z0 或或 Res f (z0)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Resf (z), z0= c1 (1) nnnzzczf)()(0設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得

2、：線線對對上上式式兩兩邊邊沿沿簡簡單單閉閉曲曲),)(00在在其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含的的弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是zczfz)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)()(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外限限個(gè)個(gè)弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有有有在在是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)的的弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcc

3、zzfsdzzfidzzfin11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由復(fù)合閉路定理得：由復(fù)合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。奇點(diǎn)的留數(shù)。 一般求一般求Resf (z), z0是采用將是采用將f (z) 在在 z0鄰域內(nèi)展開鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)c1的方法的方法,但如果能先知道奇點(diǎn)但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)更為有利。的類型，對求留數(shù)更為有利。

4、0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若以下就三類奇點(diǎn)進(jìn)行討論：以下就三類奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點(diǎn)時(shí)，求為極點(diǎn)時(shí)，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是若若級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II)5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開展開為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)若若事實(shí)上事實(shí)上，由

5、條件，由條件)0( ,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求.)5(,)!1()()(lim10110式式移移項(xiàng)項(xiàng)得得 cmzfzzdzdmmmzzA當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，式時(shí)，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzpzzfszfzzQzQzpzzQzpzQ

6、zpzf 且且的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是處處解解析析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則III事實(shí)上事實(shí)上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)為為從從而而的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為及及zQzzQzzQzQ )0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzpzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！)0)( ()( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzpzzzQzQzpzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則,)(0zfz 22)1(25:zdzz

7、zz計(jì)計(jì)算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)的內(nèi)部有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)的內(nèi)部有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzxzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向計(jì)計(jì)算算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則041414

8、1412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz計(jì)計(jì)算算例例3解解的的三三級(jí)級(jí)奇奇點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則)(tanNnzdznz 計(jì)計(jì)算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由法法則則為為一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)III,

9、21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz ninizsizdznknz4)2(2)(tanRe2tan21 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三級(jí)極點(diǎn)。的三級(jí)極點(diǎn)。:)(級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10),(Re30zzzzfsz 由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則該方法較規(guī)則II更簡單！更簡單！! 51)cos(lim! 5