-第五章拉普拉斯變換及收斂區(qū)

1、第五章第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.1 引言 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換和頻域分析法引入了信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理意義。( )e t H( )( )* ( )zsr te th t( )( )( )zsREH1( )( )zszsr tFR( )( )e tE( )( )h tH傅里葉變換的局限性( )( ),0tf tet1、有些信號(hào)非絕對(duì)可積，傅里葉變換不存在；2、反變換是復(fù)變函數(shù)的廣義積分，難以計(jì)算，甚至求不出； 3、用傅里葉變換可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。 1( )()2j tf tF jed第五章第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分

2、析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析0( )tef t引入（）因子與信號(hào)相乘解決方法：( )( )tf tf t e衰減因子一定滿足絕對(duì)可積的條件 頻域中的傅里葉變換 復(fù)頻域中的拉普拉斯變換推廣第五章第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第五章 主要內(nèi)容拉普拉斯變換與反變換線性系統(tǒng)的拉斯變換分析法線性系統(tǒng)的模擬(方框圖)信號(hào)流圖與梅森公式5.2 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)中是直接從積分變換的觀點(diǎn)定義的，我們將從信號(hào)分析的角度出發(fā)，由傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 函數(shù)f(t)不滿足絕對(duì)可積條件往往是由于當(dāng)t 時(shí)f(t)不衰減造成的，因此若人為乘上一個(gè)衰

3、減因子e-t，則 就可能可能符合絕對(duì)可積條件，因而其傅里葉變換存在。5.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 2、拉普拉斯變換的物理意義（理解 est）5.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換()( )jtf t edt( )( )tf tf t e( )( )jttteeFf tf tedt( )stf t edtsj令1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 ( )L ( )( )stFf tfst edt拉普拉斯正變換：( ) ( )tf tF se5.2 拉普拉斯變換1( )2stjjsjFe ds 1ddsj,sjj sj()1( )( )2jtf tF s ed反變換：( )F

4、( )tfseFt 1( )2jtF s ed-11( )L ( )( )2sjtjf tFFsjs e ds 拉普拉斯反變換：雙邊拉普拉斯變換更常用的是單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換，定義為：dtetfsFstD)()(1( )( )2jstDjf tFs e dsj 0( )L ( )( )stF sf tf t edt11( )L ( )( )2( )jstjf tF sF s e dsjt )()(sFtf象函數(shù)原函數(shù)5.2 拉普拉斯變換1.工程技術(shù)中所遇到的激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)響應(yīng)大都為有始函數(shù)2.積分下限為何取為0-，考慮激勵(lì)與響應(yīng)中在原點(diǎn)存在沖激函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的情況，所以積分區(qū)間應(yīng)

5、包括時(shí)間零點(diǎn)在內(nèi)3.反變換，S包含的w從-無(wú)窮到+的各個(gè)分量，所以積分區(qū)間不變2、拉普拉斯變換的物理意義1:( )()21()2j tj tFf tF jdF jdee是將信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)分量，每個(gè)分量的幅度為1:( )( )21( )2jjststLf tF sdsjs deFjes 是將信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)分量，每個(gè)分量的幅度為s常稱為復(fù)頻率 , 因此拉普拉斯變換分析法常稱為復(fù)頻域分析法5.2 拉普拉斯變換 在傅里葉變換中一對(duì) 合成一個(gè)實(shí)信號(hào)，代表的是一個(gè)正弦分量； 在拉普拉斯變換中的一對(duì) 也應(yīng)合成一個(gè)實(shí)信號(hào)。那么，它代表的是一個(gè)什么分量呢？ tjtjee,ststee,3ste、 的含義

6、sj=sttjstteeeee復(fù)平面復(fù)平面stj tsee實(shí)部 反映指數(shù)函數(shù)幅度變換的速率虛部 反映指數(shù)函數(shù)中因子作周期變化的頻率A1A2B1B2C1C1*C2C2*3ste、 復(fù)平面上不同的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的stj tsee實(shí)部 反映指數(shù)函數(shù)幅度變換的速率虛部 反映指數(shù)函數(shù)中因子作周期變化的頻率2.復(fù)平面上不同位置的點(diǎn)對(duì)應(yīng)了不同的s值，因此也對(duì)應(yīng)了指數(shù)函數(shù) 怎么對(duì)應(yīng)法？1.復(fù)頻率s可以表示用復(fù)平面來(lái)表示，橫軸為實(shí)軸，縱軸jw為虛軸stestesteste,=sttjstteeeeesjstj tsee實(shí)部 反映指數(shù)函數(shù)幅度變換的速率虛部 反映指數(shù)函數(shù)中因子作周期變化的頻率te具體分析復(fù)平面上的點(diǎn)2.

7、在復(fù)平面上的點(diǎn)。這些點(diǎn)w=0,所以每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)指數(shù)函數(shù)隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律作單調(diào)增長(zhǎng)或衰減的指數(shù)函數(shù)規(guī)律規(guī)律：點(diǎn)的位置離虛軸越遠(yuǎn)， 的絕對(duì)值越大，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)增長(zhǎng)或者衰減的速率越大1. 原點(diǎn) 對(duì)應(yīng)不隨時(shí)間變化的常數(shù)stesteste2cosjtjtststteeeeet+=2cosj tj teet3.在復(fù)平面虛軸上的點(diǎn)。出現(xiàn)了負(fù)頻率的形式，注意是形式。與第三章中所講一樣，只是用指數(shù)分量來(lái)表示信號(hào)的一種數(shù)學(xué)形式。第三章中在傅里葉變換中一對(duì) +-jw的指數(shù)函數(shù)可以合成一個(gè)正弦分量；在拉普拉斯變換中的一對(duì)共軛復(fù)頻率的指數(shù)也可以合成P209任一函數(shù)表示為指數(shù)函數(shù)之和時(shí)，其復(fù)頻率一定是共軛成任一函數(shù)表

8、示為指數(shù)函數(shù)之和時(shí)，其復(fù)頻率一定是共軛成對(duì)出現(xiàn)的，所以時(shí)間上并不存在負(fù)頻率的變幅正弦分量對(duì)出現(xiàn)的，所以時(shí)間上并不存在負(fù)頻率的變幅正弦分量3.在復(fù)平面虛軸上的一對(duì)互為共軛的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)等幅的正弦振蕩，且共軛點(diǎn)里實(shí)軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)的振蕩頻率愈高 4.既不在實(shí)軸又不在虛軸上的點(diǎn)每一對(duì)互為共軛的點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)幅度按照指數(shù)規(guī)律變換的正弦振蕩 左半平面，衰減stesteste4.既不在實(shí)軸又不在虛軸上的點(diǎn)每一對(duì)互為共軛的點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)幅度按照指數(shù)規(guī)律變換的正弦振蕩 左半平面，衰減左半平面的點(diǎn)對(duì)應(yīng)幅度按指數(shù)律的正弦振蕩右半平面的點(diǎn)對(duì)應(yīng)幅度按指數(shù)律的正弦振蕩共軛點(diǎn)離虛軸的遠(yuǎn)近，決定幅度變換的快慢共軛點(diǎn)離實(shí)軸的遠(yuǎn)近，決

9、定振蕩頻率的高低最終結(jié)論：復(fù)平面s上的每一對(duì)共軛點(diǎn)或?qū)嵼S上的每一點(diǎn)都分別唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)模式拉普拉斯變換的意義拉普拉斯正變換是將 f(t)沿-j+j分解為無(wú)窮多個(gè)est分量傅里葉變換是將 f(t)沿-j+j，即沿虛軸虛軸分解與疊加5.2 拉普拉斯變換5.3 拉普拉斯變換的收斂域44( )( )ttf t eet若取則絕對(duì)可積22( )( )ttf t eet若取則3( )( )tf tet例如：不滿足絕對(duì)可積條件3;3可見(jiàn)滿足絕對(duì)可積條件仍不滿足絕對(duì)可積條件( )( )tL f tFf t e()( )jtf t edtf(t) e-t是否收斂，取決于的取值，這就是拉普拉斯變換的收斂

10、域問(wèn)題不滿足絕對(duì)可積的條件5.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域1、定義：能使f(t) e-t 滿足絕對(duì)可積條件的的取值范圍稱拉普拉斯變換的收斂域收斂域 在收斂域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在，在收斂域外則不存在。 F(s)的所有極點(diǎn)必須在收斂域外2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法0( )F s則即為的收斂域0lim( )0ttf t e若時(shí)( )( )tf t eF s絕對(duì)可積存在0SS平面上以為界將 平面分成兩個(gè)區(qū)域（1）、持續(xù)時(shí)間有限的單個(gè)脈沖信號(hào)2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域)(2t）、單位階躍信號(hào)（)(3tet）、單邊指數(shù)函數(shù)（)(4tt）、單邊斜變函數(shù)（5.3

11、拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域不管取何值， 總是滿足 ，收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面，拉斯變換無(wú)條件存在。0)(limttetf（1）、持續(xù)時(shí)間有限的單個(gè)脈沖信號(hào)2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域)(2t）、單位階躍信號(hào)（信號(hào)能量有限信號(hào)能量有限lim( )0ttet0只要所以，收斂域?yàn)椴话撦S的右半平面。)(3tet）、單邊指數(shù)函數(shù)（lim( )0ttteet只要()lim0tte 5.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域)(4tt）、單邊斜變函數(shù)（lim( )0tttte0只要( ) t所以收斂域與單位階躍信號(hào)相同。5.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域結(jié)論：結(jié)論：1、在電子技術(shù)中常用的有始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊