數(shù)學(xué)建模期末考試2013A試題與答案

1、裝訂線華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）2012-2013學(xué)年第 二 學(xué)期 考試科目：數(shù)學(xué)建?？荚囶愋停海ㄩ]卷）考試 考試時(shí)間：120 分鐘學(xué)號(hào) 姓名 年級(jí)專業(yè) 題號(hào)一二三四五六七八總分得分評(píng)閱人得分一、(滿分12分) 一人擺渡希望用一條船將一只狼，一只羊，一籃白菜從河岸一邊帶到河岸對(duì)面，由于船的限制，一次只能帶一樣?xùn)|西過(guò)河，絕不能在無(wú)人看守的情況下將狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎樣才能將它們安全的帶到河對(duì)岸去? 建立多步?jīng)Q策模型,將人、狼、羊、白菜分別記為i = 1，2，3，4，當(dāng)i在此岸時(shí)記xi = 1，否則為0；此岸的狀態(tài)下用s =（x1，x2，x3，x4）表示。該問(wèn)題中決策為乘船方

2、案，記為d = (u1, u2, u3, u4)，當(dāng)i在船上時(shí)記ui = 1，否則記ui = 0。(1) 寫(xiě)出該問(wèn)題的所有允許狀態(tài)集合；（3分）(2) 寫(xiě)出該問(wèn)題的所有允許決策集合；（3分）(3) 寫(xiě)出該問(wèn)題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率。（3分）(4) 利用圖解法給出渡河方案. （3分）解：(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及他們的5個(gè)反狀（3分）(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0) （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (

3、4)方法：人先帶羊，然后回來(lái)，帶狼過(guò)河，然后把羊帶回來(lái)，放下羊，帶白菜過(guò)去，然后再回來(lái)把羊帶過(guò)去。 或: 人先帶羊過(guò)河，然后自己回來(lái)，帶白菜過(guò)去，放下白菜，帶著羊回來(lái)，然后放下羊，把狼帶過(guò)去，最后再回轉(zhuǎn)來(lái)，帶羊過(guò)去。 （12分）得分1、 二、(滿分12分) 在舉重比賽中，運(yùn)動(dòng)員在高度和體重方面差別很大，請(qǐng)就下面兩種假設(shè)，建立一個(gè)舉重能力和體重之間關(guān)系的模型：（1） 假設(shè)肌肉的強(qiáng)度和其橫截面的面積成比例。6分（2） 假定體重中有一部分是與成年人的尺寸無(wú)關(guān)，請(qǐng)給出一個(gè)改進(jìn)模型。6分解：設(shè)體重w（千克）與舉重成績(jī)y （千克）（1） 由于肌肉強(qiáng)度(I)與其橫截面積(S)成比例，所以 y

4、81;IµS 設(shè)h為個(gè)人身高，又橫截面積正比于身高的平方，則S µ h2 再體重正比于身高的三次方，則w µ h3 故舉重能力和體重之間關(guān)系的模型為： （6分） （2） 體重中與成年人尺寸無(wú)關(guān)的重量為a, 則一個(gè)最粗略的模型為 ( 12分) 得分三、(滿分14分) 某學(xué)校規(guī)定，運(yùn)籌學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時(shí)必須至少學(xué)習(xí)過(guò)兩門(mén)數(shù)學(xué)課、三門(mén)運(yùn)籌學(xué)課和兩門(mén)計(jì)算機(jī)課。這些課程的編號(hào)、名稱、學(xué)分、所屬類別和先修課要求如下表所示。那么，畢業(yè)時(shí)學(xué)生最少可以學(xué)習(xí)這些課程中哪些課程? 課程編號(hào)課程名稱學(xué)分所屬類別先修課要求 1微積分5數(shù)學(xué) 2線性代數(shù)4數(shù)學(xué) 3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分

5、；線性代數(shù) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)編程 5應(yīng)用統(tǒng)計(jì)4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù) 6計(jì)算機(jī)模擬3計(jì)算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)計(jì)算機(jī)編程 7計(jì)算機(jī)編程2計(jì)算機(jī) 8預(yù)測(cè)理論2運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì) 9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3運(yùn)籌學(xué)；計(jì)算機(jī)微積分；線性代數(shù)記i=1，2，9表示9門(mén)課程的編號(hào)。設(shè)表示第i門(mén)課程選修，表示第i門(mén)課程不選, 建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型(1) 寫(xiě)出問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)(4分)(2) 每人至少學(xué)習(xí)過(guò)兩門(mén)數(shù)學(xué)課、三門(mén)運(yùn)籌學(xué)課和兩門(mén)計(jì)算機(jī)課,如何表示此約束條件? (5分)(3) 某些課程有先修課要求, 如何表示此約束條件? (5分)解 (1) (4分) (2) (9分) (3) (14分) 得分四、(滿分10分) 雨滴的速度

6、與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的量綱= 1，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. (3分)量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分)由量綱PI定理 得 . ，其中是無(wú)量綱常數(shù). (10分) 得分 五、(滿分12分)設(shè)某種群 時(shí)刻的數(shù)量為 ,初始數(shù)量為 ,(1) 寫(xiě)出種群數(shù)量的指數(shù)增長(zhǎng)模型并求解;(2) 設(shè)容許的資源環(huán)境最大數(shù)量為, 寫(xiě)出種群數(shù)量的阻滯增長(zhǎng)模型(logistic), 并求其平衡點(diǎn).解 (1) (3

7、分) (6分) (2) (9分) 平衡點(diǎn)為 和 (12分)得分六、（滿分10分）設(shè)在一個(gè)島嶼上棲居著食肉爬行動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物。爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食，哺乳動(dòng)物又依賴植物生存，假設(shè)食肉爬行動(dòng)物和哺乳動(dòng)物獨(dú)自生存時(shí)服從Logistic變化規(guī)律，植物獨(dú)自生存時(shí)其數(shù)量增長(zhǎng)服從指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律?，F(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)哺乳動(dòng)物吃食植物后，植物能釋放某些化學(xué)物質(zhì)對(duì)吃食的哺乳動(dòng)物產(chǎn)生一定的毒害作用。通過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立這三者間的關(guān)系模型.解：設(shè)植物、哺乳動(dòng)物和食肉爬行動(dòng)物的數(shù)量分別為x1(t), x2(t), x3(t)假設(shè)單位數(shù)量的植物所釋放的化學(xué)物質(zhì)對(duì)吃食植物后的哺乳動(dòng)物的毒害作用率為k， （3分）

8、 （10分）得分七、（滿分15分）經(jīng)過(guò)一番打探及親身體驗(yàn)，你準(zhǔn)備從三種車(chē)型（記為a,b,c)中選出一種購(gòu)買(mǎi)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)主要有價(jià)格，耗油量大小，舒適程度和外表美觀。經(jīng)反復(fù)思考比較，構(gòu)造了它們之間的成對(duì)比較矩陣已知其最大特征值近似為4.1983.另外，下列矩陣分別是三種車(chē)型關(guān)于價(jià)格、耗油量、舒適度、及你對(duì)它們外表的喜歡程度的成對(duì)比較陣：其中矩陣的元素是分別是a,b,c三種車(chē)型對(duì)于四種標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)越性的比較尺度.假定這些成對(duì)比較陣（包括A）都通過(guò)了一致性檢驗(yàn)，且已知的最大特征值與對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量（見(jiàn)下表）：矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)歸一化特征向量C13.009( 0.5396 0.2970 0.1634 )

9、C23.119 ( 0.1056 0.7445 0.1499 )C33.086( 0.6267 0.2797 0.0936 )C43.065 ( 0.1884 0.7306 0.0810 )(1) 根據(jù)上述矩陣將四項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)在你心目中的比重由重到輕的順序排出(5分)；(2) 分別確定哪種車(chē)最便宜、最省油、最舒適、最漂亮(5分)；(3) 確定你對(duì)這三種車(chē)型的喜歡程度（用百分比表示）(5分)；解： 記4個(gè)準(zhǔn)則價(jià)格，耗油量大小，舒適程度和外表美觀分別為C1，C2，C3，C4，則即的影響稍強(qiáng)即的影響強(qiáng)即的影響稍強(qiáng)所以四項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)在心目中的比重由重到輕的順序?yàn)椋簝r(jià)格、耗油量大小、適合程序、外觀美觀 (5分) (

10、2) 考慮比較陣C1表明車(chē)型a的價(jià)格優(yōu)越性高于車(chē)型b，即車(chē)型a比車(chē)型b便宜表明車(chē)型b的價(jià)格優(yōu)越性高于車(chē)型c，即車(chē)型b比車(chē)型c便宜所以最便宜的車(chē)型為a. (7分)同理可得最省油的車(chē)型為b； (8分)最舒適的車(chē)型為a； (9分)最漂亮的車(chē)型為b。 (10分)(3) 車(chē)型a的組合權(quán)重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41車(chē)型b的組合權(quán)重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44車(chē)型c的組合權(quán)重（0.58

11、20，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15(13分)車(chē)型a，b，c的喜歡程度分別為41%，44%，15% （15分）得分八、（滿分15分）A,B,C三個(gè)廠家都生產(chǎn)某產(chǎn)品， 2009年它們?cè)谀车貐^(qū)的市場(chǎng)占有率2009年分別為： A廠家:40%, B廠家:40%, C廠家: 20%。已知在每年各個(gè)廠家之間的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移的基本情況是：A廠家的客戶有60%繼續(xù)用該廠家的產(chǎn)品，20%轉(zhuǎn)為B廠家，20%轉(zhuǎn)為C廠家；B廠家的客戶有80%繼續(xù)用該廠家的產(chǎn)品，10%轉(zhuǎn)為A廠家，10%轉(zhuǎn)為C廠家；C廠家的客戶有50%繼續(xù)用該

12、廠家的產(chǎn)品，10%轉(zhuǎn)為A廠家，40%轉(zhuǎn)為B廠家。 （1）預(yù)測(cè)2010年哪個(gè)廠家的市場(chǎng)占有率最大。（6分）（2）經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間以后，哪個(gè)廠家的市場(chǎng)占有率最大？（6分）解：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為： （2分） （4分） （6分）2010年B廠家市場(chǎng)占有率最大 。 （8分） (2) 設(shè)穩(wěn)態(tài)概率，則 （10分）又因?yàn)?(12分）聯(lián)立解得 （14分）B廠家市場(chǎng)占有率最大. （15分）二、簡(jiǎn)答題（每小題滿分8分，共24分） 1模型的分類 答：按照模型替代原型的方式，模型可以簡(jiǎn)單分為形象模型和抽象模型兩類， 形象模型：直觀模型、物理模型、分子結(jié)構(gòu)模型等； 抽象模型：思維模型、符號(hào)模型，數(shù)學(xué)模型等。 2數(shù)學(xué)建模的基本

13、步驟 答：（1）建模準(zhǔn)備：數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)創(chuàng)新活動(dòng)，它所面臨的課題是人們?cè)谏a(chǎn)和科研中為了使認(rèn)識(shí)和實(shí)踐進(jìn)一步發(fā)展必須解決的問(wèn)題。建模準(zhǔn)備就是要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的，掌握對(duì)象的各種信息，弄清實(shí)際對(duì)象的特征，情況明才能方法對(duì)； （2）建模假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的的特征和建模的目的，在掌握必要資料的基礎(chǔ)上，對(duì)原型進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，把那些反映問(wèn)題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來(lái)，簡(jiǎn)化掉那些非本質(zhì)的因素，使之?dāng)[脫原型的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對(duì)建模有用的信息資源和前提條件，并且用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，是建模過(guò)程關(guān)鍵的一步。有目的性原則、簡(jiǎn)明性原則、真實(shí)性原則和全面性原則； （3）建模建立：在建模假設(shè)的基

14、礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型； （4）模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，再根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)分析模型的特征 第 3 頁(yè) 共 6 頁(yè) 和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)方法和算法，這其中包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算以及穩(wěn)定性討論，特別是編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用預(yù)算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)模型的求解； （5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對(duì)模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行變量之間的依賴關(guān)系分析，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度

15、分析，或進(jìn)行誤差分析等。通過(guò)分析，如果不符合要求，就修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模，直到符合要求；通過(guò)分析如果符合要求，還可以對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)、優(yōu)化等； （6）模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性，看它是否符合客觀實(shí)際，若不符合，就修改或增減假設(shè)條件，重新建模，循環(huán)往復(fù)，不斷完善，直到獲得滿意結(jié)果。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)已為我們進(jìn)行模型分析、模型檢驗(yàn)提供了先進(jìn)的手段，充分利用這一手段，可以節(jié)約大量的時(shí)間、人力和物力； （7）模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，也是對(duì)模型的最客觀、最公正的檢驗(yàn)。因此，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，必須

16、根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問(wèn)題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用。 3數(shù)學(xué)模型的作用 答：數(shù)學(xué)建模的教學(xué)及競(jìng)賽是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑，它既增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，又提高了大學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競(jìng)賽對(duì)大學(xué)生能力的培養(yǎng)是全面的。這表現(xiàn)在創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，查閱文獻(xiàn)資料、分析綜合、抽象概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)用能力的培養(yǎng)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)以及實(shí)踐能力的培養(yǎng)等方面。 數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性，沒(méi)有一定的規(guī)矩可循，沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案或答案不是唯一的，具有較大的靈活性。

17、因此需要突破傳統(tǒng)的思維模式，面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力、想象力、洞察力以及解決問(wèn)題的邏輯推理和量化分析能力，善于從實(shí)際問(wèn)題提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立新穎的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生雙向翻譯能力。它要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)模型，又將數(shù)學(xué)模型的結(jié)果用淺顯易懂的語(yǔ)言翻譯出來(lái)。 數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生獲取文獻(xiàn)資料信息的能力。在信息社會(huì)中，信息和知識(shí)以前所未有的速度傳播和擴(kuò)散，這就要求學(xué)生具有良好的獲取文獻(xiàn)資料信息的能力，以便適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)技術(shù)創(chuàng)新和知識(shí)更新的需要。數(shù)學(xué)建模問(wèn)題有強(qiáng)烈實(shí)際背景，涉及到不同的學(xué)科領(lǐng)域，問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜。這就促使學(xué)生圍繞實(shí)際問(wèn)題廣泛查閱資料，獲取自己有用的材料，這大大鍛煉和提高了學(xué)生自覺(jué)使用資料的能力。 數(shù)