第六章-數(shù)學(xué)解題理論概述

1、n解題是數(shù)學(xué)老師的基本功.n美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的理由就是解決問題，因此，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解。”n著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G波利亞也曾經(jīng)說過，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。1 數(shù)學(xué)問題及其類型n一、數(shù)學(xué)問題的含義 1.數(shù)學(xué)問題是一種需要行動(dòng)的情況. 2.數(shù)學(xué)問題是一種情境. 3.數(shù)學(xué)問題是一種系統(tǒng). 4.數(shù)學(xué)問題是一種集合. 5.數(shù)學(xué)問題是以潛問題的形式被主體數(shù)學(xué)心理場(chǎng)所感知的數(shù)學(xué)模式序缺.n以上幾種定義從不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了描述，可以發(fā)現(xiàn)，所有的問題都會(huì)有三個(gè)基本成分：n給定（Givens）,即一組給予

2、的信息；n目標(biāo)（Goals）,問題要求的或結(jié)尾的狀態(tài)，即關(guān)于問題構(gòu)成的結(jié)論描述；n障礙（Obstacles）,思維者無法立即找到正確答案，必須通過一定的方式來改變給定狀態(tài)，逐步達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。n二、數(shù)學(xué)問題的特征 數(shù)學(xué)問題具有以下特征： （1）客觀性：數(shù)學(xué)問題對(duì)于主體來說就是一種客觀存在，所以主體在接受問題時(shí)，必須對(duì)問題產(chǎn)生認(rèn)知和理解。 （2）障礙性：數(shù)學(xué)問題對(duì)于主體來說具有一定的困難，用習(xí)慣的反應(yīng)或模式會(huì)失敗，于是可能出現(xiàn)多次失敗的嘗試。 （3）挑戰(zhàn)性：數(shù)學(xué)問題一旦為人所感知，就對(duì)人的智能構(gòu)成一種挑戰(zhàn)，迫使他去探究新的處理方法。n三、數(shù)學(xué)問題的類型n數(shù)學(xué)解題方法論中討論的數(shù)學(xué)問題主要是指數(shù)學(xué)習(xí)

3、題，所以數(shù)學(xué)問題的類型主要是數(shù)學(xué)習(xí)題的類型，采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)可以給出各種不同的分法。1.弗里得曼的三分法 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家弗里得曼等人按數(shù)學(xué)問題的外在特征，提出了三分法，即按數(shù)學(xué)問題的外在形式可以分成：（1）求解題，是指要求出、尋找、識(shí)別，這類問題包括求值、計(jì)算、解方程、解不等式、幾何計(jì)算，求函數(shù)關(guān)系式及相關(guān)問題。（2）證明或說明題，是要求證實(shí)某一個(gè)論斷的正確性，或檢驗(yàn)它的真假性，或說明某一種現(xiàn)象、事實(shí)為什么成立或不成立。（3）變換題或求作題，是要求變換某種表達(dá)式，要求作出某一幾何圖形或者表達(dá)式滿足給定的條件等。n例1 已知m,n為正整數(shù)，且 （1）求證： 是一個(gè)正整數(shù)的平方； （2）已知 A，

4、求當(dāng)m+n最小時(shí)的m、n的值。444)(nmnmAA2167n例2 設(shè)a,b為一河流的的兩平行岸，c,d為另一河的平行兩岸，A，B為兩河流外側(cè)之兩地，問兩河上垂直于河岸的橋架在何處，A到B的路程最短？n2.系統(tǒng)要素分析法 按照奧加涅相等人的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)問題是一個(gè)系統(tǒng)，其構(gòu)成要素主要有四個(gè)：?jiǎn)栴}的條件、問題的結(jié)論、解題的方法、解題的依據(jù)。根據(jù)題目系統(tǒng)中要素的已知情況，可以將數(shù)學(xué)問題分為：（1）四個(gè)要素都已知稱標(biāo)準(zhǔn)性題（2）三個(gè)要素已知的稱訓(xùn)練性題（3）兩個(gè)要素已知的稱探索性題（4）僅有一個(gè)要素已知的稱問題性題n3、成分分析分類法 分為三類：標(biāo)準(zhǔn)題、封閉性變式題、開放性變式題n4、按開放性分類 分為

5、兩類：封閉題、開放題n5、按問題層次分類 分為五類：識(shí)別練習(xí)題、算法練習(xí)題、應(yīng)用問題、開拓-探究問題、情景問題2 問題解決的要素和一般模式n一、問題解決的要素 從認(rèn)知心理學(xué)的角度分析，一般認(rèn)為問題解決的要素主要有：?jiǎn)栴}表征、問題解決的程序、模式再認(rèn).n1.問題表征 表征是影響問題解決的一個(gè)重要因素，是問題解決的中心環(huán)節(jié)n2.問題解決的程序 通常使用“手段-目的分析法” 例3 設(shè)有甲乙丙三根木柱，在甲柱上套有從小到大的三個(gè)圓盤，最大的在下面，呈塔狀，現(xiàn)在欲將這三個(gè)圓盤全部移到乙柱上，而每次只能移動(dòng)最上面的一個(gè)圓盤，且每次移動(dòng)中不能將大圓盤置于小圓盤之上，丙柱可以做輔助用，問最少移動(dòng)幾次完成？n3

6、.模式再認(rèn) 長(zhǎng)期積累的知識(shí)基礎(chǔ)是問題解決的有效操作依據(jù)n二、問題解決的一般模式1.杜威的五個(gè)步驟 經(jīng)驗(yàn)到的困難困難的界定可能解決方法的產(chǎn)生通過推斷檢驗(yàn)解決方法解決方法的檢查階段2.產(chǎn)生式模式 產(chǎn)生式是一種“條件（condition）動(dòng)作(action)”的規(guī)則,簡(jiǎn)記為CAn3.波利亞的“怎樣解題表” 弄清題意擬定計(jì)劃實(shí)施計(jì)劃回顧解題n4.RMI原則 我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授給出的RMI原則，既是數(shù)學(xué)方法論原則，也是一個(gè)問題解決的一般模式. 3.數(shù)學(xué)解題觀n數(shù)學(xué)解題觀即是一個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)解題所持的看法，以回答“解題的實(shí)質(zhì)是什么？”數(shù)學(xué)解題觀是數(shù)學(xué)解題理論中的一個(gè)基本問題，對(duì)一個(gè)訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)老師來說，形

7、成一個(gè)正確、合理的解題觀，這對(duì)于從較高角度認(rèn)識(shí)解題過程、弄清題意本質(zhì)是非常必要的，也只有這樣，才會(huì)在解題觀的基礎(chǔ)上掌握解題規(guī)律、形成解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力 。 n陜西師范大學(xué)的羅增儒教授長(zhǎng)期研究數(shù)學(xué)解題，有許多精辟的見解，詳見數(shù)學(xué)解題引論。一、解題就是問題轉(zhuǎn)換 美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞的數(shù)學(xué)解題觀可以簡(jiǎn)單地概括成“問題轉(zhuǎn)換”。他認(rèn)為解題就是把問題轉(zhuǎn)換成為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已經(jīng)解決的問題，即問題的連續(xù)變換過程。 為了達(dá)到“問題轉(zhuǎn)換”，波利亞在他的“怎樣解題表”中，給出了一系列的提示語：把問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)等價(jià)的問題，把問題化歸為一個(gè)已解決的問題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題，先解決一個(gè)更特

8、殊的、或更一般的問題等等。n由此可見，在大數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家波利亞的眼里，解題的實(shí)質(zhì)就是問題轉(zhuǎn)換，問題轉(zhuǎn)換的過程就是解題。波利亞的結(jié)論是“如果我們不用題目變更，幾乎是不能有什么進(jìn)展的”。 例1 3個(gè)圓k,l,m具有相同的半徑r,并通過同一點(diǎn)O，此外，l和m相交于A，m和k相交于B，k和l相交于C.則通過A、B、C三點(diǎn)的圓e的半徑也是r.例2 試找出由0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字組成的，沒有重復(fù)數(shù)字的，能被165整除的最大的和最小的七位數(shù)。n二、解題就是給出原理序列 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家弗里得曼在怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題一書中對(duì)數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)也進(jìn)行了研究，他認(rèn)為“數(shù)學(xué)解題，就是要找到一種一般數(shù)學(xué)原理（定

9、義、公理、定理、定律、公式）的序列，把這些原理用于習(xí)題的條件或者條件的推論（解題的中間結(jié)果），得到習(xí)題所要的東西，即習(xí)題的解答”。n弗里得曼認(rèn)為：“如果把解題過程理解為從開始得到習(xí)題到完全解完這道題的過程，那么這個(gè)過程顯然不單是由敘述已經(jīng)找到的解題組成的，而是由一系列的階段組成的，敘述解題知識(shí)其中的一個(gè)階段”，他把全過程分為八個(gè)階段： 分析問題作習(xí)題的圖示尋找解題的方法進(jìn)行解題檢驗(yàn)解題討論習(xí)題陳述習(xí)題答案分析解題abccbacba3, 0 . 4333求證已知例1, 111 . 52222baabba求證已知例.x1xx,1,-x . 3的范圍三角形的三邊，求的三條線段是一個(gè)鈍角設(shè)長(zhǎng)為例n三、

10、數(shù)學(xué)解題就是連續(xù)化簡(jiǎn) 重慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)系已故教授唐以榮先生是國(guó)內(nèi)較早研究數(shù)學(xué)綜合解題規(guī)律且富有成效的學(xué)者之一，他于1982年出版了中學(xué)數(shù)學(xué)綜合解題法新論一書，明確提出了“解題過程的本質(zhì)”這個(gè)問題，并經(jīng)過潛心研究得出“連續(xù)化簡(jiǎn)”這一觀點(diǎn)。 唐以榮教授指出：“解題的基本要求是有目的、有根據(jù)的連續(xù)化簡(jiǎn)，即在完全符合邏輯的前提下，把原題連續(xù)地化簡(jiǎn)成比較簡(jiǎn)單的題目，直到新的題目與原題的結(jié)論或條件產(chǎn)生明顯的邏輯聯(lián)系為止”，“解題的根本要求就是連續(xù)化簡(jiǎn)”。反之亦真。；，求證：已知例111116caccbcbbabaaabc0sinsin7.sin.coscos90 .ABABCCABC例在中，已知求證：08

11、 .113.abacabc例在A B C 中 , 已 知A = 6 0求 證 ：4. 數(shù)學(xué)解題的目的n解題歷來是數(shù)學(xué)活動(dòng)的中心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，正如波利亞所說“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”，把解題聯(lián)系到掌握數(shù)學(xué)這一高度來認(rèn)識(shí)。n從數(shù)學(xué)教育角度來認(rèn)識(shí)和討論解題意義的話，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的目的價(jià)值有三個(gè)方面：知識(shí)基礎(chǔ)性、方法技能性、觀念意識(shí)性 ，分別對(duì)應(yīng)著認(rèn)識(shí)論、方法論、世界觀。n一、加深理解概念，鞏固拓展知識(shí) 數(shù)學(xué)題是由數(shù)學(xué)概念等基礎(chǔ)知識(shí)構(gòu)成的，數(shù)學(xué)題的解答就是反復(fù)運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的過程，換言之，數(shù)學(xué)解題就是給出一個(gè)合理的知識(shí)鏈，所以，理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)解題的必要前提，而數(shù)學(xué)解題

12、卻是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的根本保證。解題的直接收益就是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，它是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的最好途徑。 當(dāng)然，解題不是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，也不是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單累加，而需要理解和深化，需要知識(shí)選擇和組合的藝術(shù)與智慧，需要綜合性和靈活性運(yùn)用知識(shí)的能力，還可以拓展知識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，這正是數(shù)學(xué)解題的價(jià)值。220.sin 10cos 40sin10 cos40ooo例9求的值.n二、掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能 解題不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)反復(fù)運(yùn)用的過程，同時(shí)又是數(shù)學(xué)方法反復(fù)運(yùn)用和推進(jìn)的過程，解題離不開數(shù)學(xué)方法，通過解題訓(xùn)練就可以達(dá)到掌握數(shù)學(xué)方法的目的，反之，數(shù)學(xué)方法的教學(xué)必須結(jié)合具體的內(nèi)容來進(jìn)行，滲透在解題教學(xué)之

13、中。 數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)方法緊密相連，數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能的良好途徑，并且數(shù)學(xué)技能通過數(shù)學(xué)解題能夠反映出來。例10、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為7cm, 5cm, 3cm，將它沿棱剪開，恰好展成平面圖形，那么，這個(gè)平面圖形的最大周長(zhǎng)多少厘米？最小呢？周長(zhǎng)最大為(47+25+13)2=82cm周長(zhǎng)最小為(43+25+17)2=58cmn三、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練思維品質(zhì) 解題過程無不蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想，解題的方法技巧是數(shù)學(xué)思想下的方法技巧，數(shù)學(xué)思想是解題活動(dòng)的指導(dǎo)思想，比如數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，方程與函數(shù)的思想，集合與映射的思想等，這些都能用于指導(dǎo)解題行為。 解題的一個(gè)重要意義就是通過解題掌握數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法來分析問題、解決問題的能力。n例11 若3個(gè)空汽水瓶可換來一瓶汽水，則買10瓶汽水，最多可以喝到多少瓶汽水？欲喝30瓶汽水，至少需要買多少瓶汽水？n四、