信息光學(xué)1.3 卷積和相關(guān)

1、基礎(chǔ)知識(shí)（3）卷積和相關(guān)卷積和相關(guān)兩個(gè)復(fù)值函數(shù)兩個(gè)復(fù)值函數(shù)f(x,y)f(x,y)和和h(x,y)h(x,y)的的卷積的定義為卷積的定義為： dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf 它是包含它是包含兩個(gè)參量?jī)蓚€(gè)參量的二重?zé)o窮積分，這里的的二重?zé)o窮積分，這里的參變量參變量x,yx,y和和積分積分 變量變量 ， 均為實(shí)數(shù)，但函數(shù)均為實(shí)數(shù)，但函數(shù)f(x,y) f(x,y) 和和h(x,y)h(x,y)可以是實(shí)數(shù)，也可以可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。是復(fù)數(shù)。* *號(hào)表示號(hào)表示卷積運(yùn)算。卷積運(yùn)算。1 1、 卷積（卷積（convolutionconvolution）定義）定義1.3 1.

2、3 卷積與相關(guān)卷積與相關(guān)一、卷積一、卷積 dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf 2 2、 卷積運(yùn)算的過程卷積運(yùn)算的過程例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求其卷積卷積 )x(h1021 x,其其它它,0 )x(f101 x,其其它它,0卷積的圖解方法，概括起來有四個(gè)步驟：卷積的圖解方法，概括起來有四個(gè)步驟：折疊、位移、相乘和積分。折疊、位移、相乘和積分。求求卷積的方法：卷積的方法：21)( xh1x01)( xf1x0（1 1）、將）、將f f (x)(x)和和h h (x)(x)變?yōu)樽優(yōu)閒 f ( ( ) )和和h

3、h ( ( ) )，并畫出相應(yīng)的曲線，并畫出相應(yīng)的曲線21)( h1 0 1)( f10（2 2）、將）、將h(h( ) ) h(-h(- ) ) 只要將只要將h(h( ) )曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡像像h(-h(- ) )曲線。曲線。21)(- h 0 1)( f10（3 3）、對(duì)任一）、對(duì)任一x(-x(- , , + + ) ) ，只要將曲線，只要將曲線h(-h(- ) )沿沿x x軸平移軸平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )21)-(x h 0 x x x 00右移，右移，x0,x0,左移左移（4 4）、計(jì)算）、計(jì)算)-(x h)( f所對(duì)應(yīng)的曲線下

4、的面積所對(duì)應(yīng)的曲線下的面積1)( f1 0)-(x h21x為了得到為了得到卷積，需對(duì)卷積，需對(duì)- - , , + + 的每一個(gè)的每一個(gè)x x值求其卷積值。值求其卷積值。)( f 0)-(x h21x10(1) x )d()(0 xxhf2x 21(2) x2(3) x1)( f1 0)-(x h21x 1)(121x21x )d()(11 xxhf0)d()( xhf0(4) x0)d()( xhf1)( f1 0)-(x h21x1 x綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積卷積)y,x(h)y,x(f)y,x(g 021x 2x010 x0 x21 x2 xx)(y,xg

5、2x21x 012圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許多抽象的關(guān)系。在直接計(jì)算多抽象的關(guān)系。在直接計(jì)算卷積積分時(shí)，圖解方法也有助于卷積積分時(shí)，圖解方法也有助于確定積分限。確定積分限。為了加深印象，再看一個(gè)例子。為了加深印象，再看一個(gè)例子。例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求求其求卷積卷積 )x(f01 x,其其它它,0 )x(h0 x,ex其其它它,01)( xfx01)( xh1x01)( f 01)( h1 0解：解：（1 1）、將）、將f f (x)(x)和和h h

6、(x)(x)變?yōu)樽優(yōu)閒 f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并畫出相應(yīng)的曲線，并畫出相應(yīng)的曲線（2 2）、將）、將h(h( ) ) h(-h(- ) )只要將只要將h(h( ) )曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡像像h(-h(- ) )曲線。曲線。1)(- h1 01)( f 0（3 3）、將曲線）、將曲線h(-h(- ) )沿沿x x軸平移軸平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )，0)()(, xhf0 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x x因此因此 g(x)=0g(x)=0) )曲曲線線下下面面的的面面積積計(jì)計(jì)算算積積f f( () )h h( (x x0 0時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)

7、x x )-( xh1)( f 0 x )d()()(0 xxhfxg d1)-(0 xxe d1)-(0 xxexe 1)( xg0 xx0)(0 xg例：求兩個(gè)矩形函數(shù)的例：求兩個(gè)矩形函數(shù)的卷積，下面給出結(jié)論。試證明。卷積，下面給出結(jié)論。試證明。)()()(xrectxrectx 3 3、卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)、卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)：展寬效應(yīng)：假設(shè)函數(shù)只在一個(gè)有限區(qū)間不為零，這個(gè)假設(shè)函數(shù)只在一個(gè)有限區(qū)間不為零，這個(gè)區(qū)間可稱為區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度函數(shù)的寬度。一般說來。一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)之和卷函數(shù)之和。（2 2）平滑效應(yīng)：）平滑效應(yīng)：被被卷積的函數(shù)

8、經(jīng)過卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)卷積的函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑?；?。只要二函數(shù)的非零值范圍有重疊，則二者的卷積必不為零。只要二函數(shù)的非零值范圍有重疊，則二者的卷積必不為零。光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)的過程光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)的過程用矩形函數(shù)表示狹縫的透過率用矩形函數(shù)表示狹縫的透過率h h( (x x), ), 并對(duì)光強(qiáng)的空間分布并對(duì)光強(qiáng)的空間分布f(x)f(x)掃描，在狹縫后面用光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)分布掃描，在狹縫后面用光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)分布g(x).g(x).這一掃描這一掃描記錄過程包含了記錄過程包含了平移、相

9、乘平移、相乘、積分積分幾個(gè)環(huán)節(jié)，由于幾個(gè)環(huán)節(jié)，由于h(x)h(x)是偶是偶函數(shù)，折疊不發(fā)生變化。因而這是一個(gè)函數(shù)，折疊不發(fā)生變化。因而這是一個(gè)卷積運(yùn)算過程。當(dāng)狹卷積運(yùn)算過程。當(dāng)狹縫很窄，縫很窄，g(x)g(x)越接近于越接近于f(x).f(x).當(dāng)狹縫越寬，當(dāng)狹縫越寬，平滑效應(yīng)就越嚴(yán)重，平滑效應(yīng)就越嚴(yán)重，g(x)g(x)中已失去中已失去f(x)f(x)的細(xì)節(jié)。的細(xì)節(jié)。1)( xh2ax02a )( xfx0)( f 00 x)( xh)x(h)x( f)( xgx00 x)(0 xg4 4、卷積運(yùn)算的基本性質(zhì)、卷積運(yùn)算的基本性質(zhì)（1 1）分配律）分配律 )y,x(h)y,x(f)y,x(g )

10、y,x(h)y,x(f)y,x(h)y,x(g （2 2）交換律）交換律)y,x(f)y,x(h)y,x(h)y,x(f （3 3）結(jié)合律）結(jié)合律 )y,x(h)y,x(h)y,x(f21 )y,x(h)y,x(h)y,x(f21 （4 4）平移不變性）平移不變性)()()(xhxfxg 已知已知)()()(2121xxxgxxhxxf 則則 )()(21xxhxxf d)()(21xxhxf d)()(21xxxhf 1x令)(21xxxg 5 5、函數(shù)、函數(shù)f(x,y)f(x,y)與與 函數(shù)的卷積函數(shù)的卷積 )y,x()y,x(f dd),(),(yxf dd),(),(yxyxf dd)

11、,(),(yxyxf),(yxf ),(),(00yyxxyxf ),(00yyxxf 結(jié)論：結(jié)論：任意任意函數(shù)函數(shù)f f ( (x,y)x,y)與與 （x,yx,y) )函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身. .任意任意函數(shù)函數(shù)f f ( (x,yx,y) )與與 （x-xx-x0 0 ,y-y,y-y0 0) )函數(shù)的卷積等于函數(shù)被平函數(shù)的卷積等于函數(shù)被平移到脈沖所在的空間位置上（移到脈沖所在的空間位置上（x x0 0, y, y0 0）處。）處。)( xfx0 x )( x 0)( xfx0)( xfx0 x)(0 xx 00 x=)(0 xxf x0=函數(shù)函數(shù)f f (x,y)

12、(x,y)與多個(gè)脈沖函數(shù)的卷積可在每個(gè)脈沖位置上產(chǎn)與多個(gè)脈沖函數(shù)的卷積可在每個(gè)脈沖位置上產(chǎn)生生f f (x,y)(x,y)的波形。這一性質(zhì)有助于我們描述各種的波形。這一性質(zhì)有助于我們描述各種重復(fù)性重復(fù)性的的結(jié)構(gòu)，例如，雙縫、多縫、光柵等衍射屏的透過率函數(shù)。結(jié)構(gòu)，例如，雙縫、多縫、光柵等衍射屏的透過率函數(shù)。=)( xfx0 x二、二、相關(guān)（相關(guān)（correlationcorrelation）1、互相關(guān)相關(guān) （cross cross correlation）兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)f f( (x,yx,y) )和和g(g(x,yx,y) )的的互相關(guān)定義互相關(guān)定義為為 dd),(),(gyxfRgf ),

13、(yxf ),(yxg式中式中 f是函數(shù)是函數(shù) f 的復(fù)共軛，的復(fù)共軛， 號(hào)表示相關(guān)運(yùn)算號(hào)表示相關(guān)運(yùn)算。 x y令令我們可得互相關(guān)定義的另一種形式我們可得互相關(guān)定義的另一種形式 dd),(),(yxgfRgf ( )g( )( )f xg x( )f位移位移x() ( )fx gx積分區(qū)域積分區(qū)域2、互相關(guān)的相關(guān)的卷積表達(dá)式卷積表達(dá)式互相關(guān)與互相關(guān)與卷積是不同的兩種運(yùn)算，參與互相關(guān)的兩個(gè)函數(shù)卷積是不同的兩種運(yùn)算，參與互相關(guān)的兩個(gè)函數(shù)都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。 dd),(),(gyxfRgf dd),()(),(gyxf ),(),(

14、*yxgyxf 若若f(x,y)(x,y)是實(shí)偶函數(shù)，則是實(shí)偶函數(shù)，則),(yxf),(yxg),(),(yxgyxf (,) (,)d d fxy g xxyyxy3 3、互、互相關(guān)的性質(zhì)相關(guān)的性質(zhì)（1）),(),(yxRyxRgffg 證明：證明： dd),(),(fyxgRgf *dd),(),( fyxg x y令令*dd),(),( yxfgRgf*d d) , ()(),(gyxf),(yxRgf 不滿足交換律相關(guān)運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)函數(shù)的順序以及那個(gè)函數(shù)取共軛。相關(guān)運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)函數(shù)的順序以及那個(gè)函數(shù)取共軛。（2）),(R),(R)y,x(Rggfffg00002 證明：引用許瓦茲

15、不等式證明：引用許瓦茲不等式 2dd) ),(,( dd)2 ,( dd),(2 其中其中 和和 一般為復(fù)值函數(shù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)一般為復(fù)值函數(shù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) =k =k 時(shí)才成立，時(shí)才成立，k k是復(fù)常數(shù)。是復(fù)常數(shù)。令令)y,x(f,( ),(g,( )則由許瓦茲不等式得則由許瓦茲不等式得 2dd) ),(gy,x(f dd)2 y,x(f dd)2 ,(g dd)2 y,x(f dd)2 ,(f 2dd) ),(gy,x(f dd)2 ,(f dd)2 ,(g)0 ,0()0 ,0(),(2ggfffgRRyxR 因?yàn)?、自相關(guān)相關(guān) （self self correlation） ),

16、(yxf),(yxg 1 1、定義：、定義：時(shí)時(shí) 互相關(guān)成為自相關(guān)互相關(guān)成為自相關(guān) dd),(),(fyxfRff ),(yxf ),(yxf),(),(*yxfyxfRff 當(dāng)當(dāng)（3 3）、歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)）、歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 21)0,0()0,0(),(ggfffgRRyxRfg 2122dd)dd) ,(g,(f= dd),(),(fyxg ),(R)y,x(Rffff00 歸一化自相關(guān)函數(shù)歸一化自相關(guān)函數(shù)10 fg 10 關(guān)于互相關(guān)和自相關(guān)的說明關(guān)于互相關(guān)和自相關(guān)的說明互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度。兩個(gè)完全不。兩個(gè)完全不同的、毫無關(guān)系的信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為同的、毫無關(guān)系的信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個(gè)信號(hào)由于某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相零。假如兩個(gè)信號(hào)由于某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)的位置上就存在非零的似性，在相應(yīng)的位置上就存在非零的互相關(guān)互相關(guān)。在在x x0 0處由于信處由于信號(hào)相似程度大，號(hào)相似程度大，因而出現(xiàn)相關(guān)因而出現(xiàn)相關(guān)峰值。峰值。)x(gx)x(fx0 xx),(yxf),(yxg自相關(guān)是自相關(guān)是自變量自變量相差某一大小時(shí)，相差某一大小時(shí)，