高等數(shù)學(xué)課件：3 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分-4 隱函數(shù)

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1隱函數(shù)的求導(dǎo)法則由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)由方程組確定的隱函數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20),(. 1 yxF一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00

2、 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3例例驗(yàn)驗(yàn)證證方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xfy ，并并求求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值

3、可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在

4、定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7例例 3 3 設(shè)設(shè)04222 zzyx，求求22xz

5、 .解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看成看成zx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 2007年8月南京航空航

6、天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11設(shè)有一組方程設(shè)有一組方程 (

7、, , , )0,(1)( , , , )0,F x y u vG x y u v則稱由則稱由 (1) 確定了隱函數(shù)組確定了隱函數(shù)組 之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng), 能使能使( , , , ),(1),x y u vV 且滿足方程組且滿足方程組其中其中 定義在定義在 若存在若存在 2,R ,D E 4R .V FG與與使得對(duì)于任給的使得對(duì)于任給的 ( , ),x yD ()u,vE 與與有惟一的有惟一的二、隱函數(shù)組2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12( , ),( , ),( , ),( , ),uu x yx yDu vEvv x y 并有并有 ( , , ( , ), ( , )0,( ,

8、).( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x yx yDG x y u x y v x y 關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形 ( 含有含有 m + n 個(gè)變量的個(gè)變量的 m 個(gè)方程所確定的個(gè)方程所確定的 n 個(gè)隱函數(shù)個(gè)隱函數(shù) )，在本章不作詳，在本章不作詳 細(xì)討論細(xì)討論 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13首先來(lái)看看首先來(lái)看看, 若由方程組若由方程組 (1) 能確定兩個(gè)可微的隱能確定兩個(gè)可微的隱 函數(shù)函數(shù) , 則函數(shù)則函數(shù) ( , )( , )uu x yvv x y與與GF、應(yīng)滿應(yīng)滿 足何種條件呢足何種條件呢? 不妨先設(shè)不妨先設(shè) 都可微

9、都可微, 由復(fù)合求導(dǎo)法由復(fù)合求導(dǎo)法, 通過(guò)對(duì)通過(guò)對(duì) (1)GF、分別求關(guān)于分別求關(guān)于 x 與關(guān)于與關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 得到得到 0,(2)0;xuxvxxuxvxFF uF vGG uG v 0,(3)0.yuyvyyuyvyFF uF vGG uG v 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14能由能由 (2) 與與 (3) 惟一解出惟一解出 的充要的充要 ),(),(yyxxvuvu與與條件是雅可比條件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 def0.(4,)()( , )uvuvFFF GJGGu v 由此可見，只要由此可見，只要 具有連續(xù)

10、的一階偏導(dǎo)數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 GF、其中其中 是滿足是滿足 (1) 的某一的某一 ,00 PJ00000(,)P xy u v初始點(diǎn)初始點(diǎn), 則由保號(hào)性定理，則由保號(hào)性定理， 使得在此鄰域使得在此鄰域 , )(0PU 內(nèi)內(nèi) (4)式成立式成立 根據(jù)以上分析根據(jù)以上分析, 便有下述隱函數(shù)組定理便有下述隱函數(shù)組定理.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15 雅可比（雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德國(guó)德國(guó) ）2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16定理定理 ( 隱函數(shù)組定理隱函數(shù)組定理 ) 設(shè)方程組設(shè)方程組 (1) 中的函數(shù)中的函數(shù) F

11、 與與 G 滿足下列條件：滿足下列條件： (i) 在以點(diǎn)在以點(diǎn) 為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域?yàn)閮?nèi)點(diǎn)的某區(qū)域 ),(00000vuyxP4RV 上連續(xù)；上連續(xù)； (ii) (初始條件初始條件); 0)()(00 PGPF(iii) 在在 V 內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)； (iv).0),(),(00 PPvuGFJ隱函數(shù)組定理 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17, )(),( !, )(),(00WUvuQUyx 即有即有 ; )(),(, )(),(, ),(, ),(00WUvuQUyxyxvvyxuu( , , ( , ), ( , )0,( , , ( , ), (

12、 , )0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y . )(),(0QUyx 則有如下結(jié)論成立：則有如下結(jié)論成立： 且滿足且滿足 000000(,),(,)uu xyvv xy以及以及1必定存在鄰域必定存在鄰域 ,)()()(000VWUQUPU 其中其中 000000(,),(,),QxyWu v使得使得 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系182o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上連續(xù)上連續(xù). 0()U Q3o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)上存在一階連續(xù)偏導(dǎo) 0()U Q數(shù)數(shù), 且有且有

13、 1(,),( , )1(,).( , )vF GxJu xvF GyJu y 1(,),( , )1(,);( , )uF GxJx vuF GyJy v 本定理的詳細(xì)證明從略本定理的詳細(xì)證明從略,下面只作一粗略的解釋下面只作一粗略的解釋: 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19 由方程組由方程組 (1) 的第一式的第一式 確定隱確定隱 ( , , , )0F x y u v 函數(shù)函數(shù) ( , , ),ux y v 且有且有,.xxuyyuvvuFFFFFF ( , , )( , , ( , , ), )0.H x y vG x yx y v v ( , , ( , )( , )

14、.ux y v x yu x y ( , , )ux y v 將將 代入方程組代入方程組(1) 的第二式的第二式, 得得 ( , ),vv x y 再由此方程確定隱函數(shù)再由此方程確定隱函數(shù) 并代回至并代回至 這樣就得到了一組隱函數(shù)這樣就得到了一組隱函數(shù) ( , ),( , ).uu x yvv x y2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20通過(guò)詳細(xì)計(jì)算通過(guò)詳細(xì)計(jì)算, 又可得出如下一些結(jié)果又可得出如下一些結(jié)果: ,;xxuxvuvvHGGHGG1(,),( , )xvxxvxuuvxvxuxuuuvvFFHuvxFFHFFGGF GFFGGJx v L L1(,);( , )yvyuF

15、 GvyJy v L L1(,)1(,),.( , )( , )vF GvF GxJu xyJu y同理又有同理又有 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21例例1 設(shè)有方程組設(shè)有方程組 22240,(5)50.xyyzx yyzz 2224,( , , )5( , , ),xyyzF x y zx yyzzG x y z 0(1, 2,1)P 試討論在點(diǎn)試討論在點(diǎn) 的近旁能確定怎樣的隱函的近旁能確定怎樣的隱函 0P數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn)數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 0P解解 易知點(diǎn)易知點(diǎn) 滿足方程組滿足方程組 (5) . 設(shè)設(shè) 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)

16、院 數(shù)學(xué)系22它們?cè)谒鼈冊(cè)?上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù). 再考察再考察 3R,F G0022222xyzPPxyzFFFyxzyzGGGxyxzyz 2 24.4 24 0P在點(diǎn)在點(diǎn) 關(guān)于所有變量的雅可比矩陣關(guān)于所有變量的雅可比矩陣 02 2(,)40,( , )4 2PF Gx y 由于由于2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23042(,)80,( , )44PF Gz x 024(,)0,( , )24PF Gy z ( ),( ),( ),( );xx zzz yyy zxx y與與0P因此由隱函數(shù)組定理可知因此由隱函數(shù)組定理可知, 在點(diǎn)在點(diǎn) 近旁可以惟一近旁可

17、以惟一 地確定隱函數(shù)組地確定隱函數(shù)組: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作為可否作為 x 的兩個(gè)隱函數(shù)的兩個(gè)隱函數(shù). 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2400d0(,)(,)0,( , )d4( , )PPxF GF Gz yzx y 00d( 8)(,)(,)2;( , )d4( , )PPyF GF Gx zzx y 00d41(,)(,),( , )d82( , )PPzF GF Gy xyz x 00d0(,)(,)0 .( , )d8( , )PPxF GF Gz yyz x 3o o0P運(yùn)用定理運(yùn)用定理 18.4 的結(jié)論的結(jié)論 , 可求得隱函數(shù)在點(diǎn)可求得隱函數(shù)在

18、點(diǎn) 處處 的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值: 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25022d10.4dPxy *注注 通過(guò)詳細(xì)計(jì)算通過(guò)詳細(xì)計(jì)算, 還能求得還能求得 ( )2xx yy 在在這說(shuō)明這說(shuō)明 處取極大值處取極大值, 從而知道從而知道 0P在點(diǎn)在點(diǎn) 的任意小鄰域內(nèi)的任意小鄰域內(nèi), 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) x 的值的值, 會(huì)有會(huì)有 多個(gè)多個(gè) y 的值與之對(duì)應(yīng)的值與之對(duì)應(yīng). 類似地類似地, 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) x 的值的值, 也會(huì)有多個(gè)也會(huì)有多個(gè) z 的值與之對(duì)應(yīng)的值與之對(duì)應(yīng). 所以方程組所以方程組 (5) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0P近旁不能惟一確定以近旁不能惟一確定以 x 作為自變量的隱函數(shù)組作為自變量的隱函數(shù)

19、組. 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ( , ),( , )f x yg x y2(,),(,)0uf ux vyg ux v y1212212121.2xyuvxyuvFFFFuffx ffGGGGgv ggvyg ( , )( , )uu x yvv x y與與是由方程組是由方程組 ,.uvxy所確定的隱函數(shù)組所確定的隱函數(shù)組. 試求試求 2(,),(,),Fuf ux vyGg ux v y解解 設(shè)設(shè) 則有則有 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27由此計(jì)算所需之雅可比行列式由此計(jì)算所需之雅可比行列

20、式: 1221 22112122,2uvx ffJvygxyvf gf ggvyg121 221122,2xvuffJyuvf gf ggvyg 122221 2212121.uyx ffJv gxv f gf ggv g于是求得于是求得 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系281 22 121 22 12,22xvuvJyuvf gf guxJyvgxyvf gf g 221 22 1221 22 1.22uyuvJxv f gf gv gvyJyvgxyvf gf g 注注 計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù) ( 或?qū)?shù)或?qū)?shù) ) 比較繁瑣比較繁瑣, 要學(xué)懂前兩例所演示的方

21、法要學(xué)懂前兩例所演示的方法 ( 利用雅可比矩陣和利用雅可比矩陣和 雅可比行列式雅可比行列式 ), 掌握其中的規(guī)律掌握其中的規(guī)律. 這里特別需要這里特別需要 “ 精心精心細(xì)心細(xì)心耐心耐心 ”. 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 公式：2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30（分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyx

22、F 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數(shù)數(shù)，求求? yzyxzx思考題思考題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設(shè)、設(shè)zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對(duì)對(duì) 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .