高等數(shù)學(xué)課件：2-1 導(dǎo)數(shù)的概念

1、高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一一 、背景、背景引例引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 設(shè)位移函數(shù)設(shè)位移函數(shù) ，勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng)的速度的速度)(tfs tsv 對(duì)對(duì)非勻速運(yùn)動(dòng)非勻速運(yùn)動(dòng)考慮在某時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度考慮在某時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度. .設(shè)設(shè)),(tfs ,0ttt )(00tfs 則在則在 上的平均速度上的平均速度,0ttotttftfttssv )()(000000)()(limlim)(00

2、tttftfvtvtttt 0t 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例.已知: ,求在 時(shí)的瞬時(shí)速度.1 t221gth 1)1()(lim)1(1 tftfvt221)(:gttf 設(shè)設(shè)解解1121lim21 ttgtgtgt )1(lim211 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）引例引例2、平面曲線的切線問題、平面曲線的切線問題xyMN切線概念切線概念: :曲線上任意另一點(diǎn)曲線上任意另一點(diǎn). .當(dāng)當(dāng)M設(shè)設(shè) 為曲線上一點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)， 為為N沿曲線趨于沿曲線趨于 時(shí)，所時(shí)，所NM得得割線的極限位置割線的極限位置稱為稱為曲線在曲線在 點(diǎn)處的點(diǎn)處的切線切線. .M 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）設(shè)曲線方程為

3、設(shè)曲線方程為 ，且，且 ， )(xfy 00, yxM yxN,MN的斜率為：的斜率為：00)()(xxxfxfkMN 切線的斜率為：切線的斜率為：00)()(lim0 xxxfxfkxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例.求曲線 ,在 處的切線斜率.解: 0 xxey 切線的斜率為：切線的斜率為：00)()(lim0 xxxyxykxx 000limxxeexxxx 000001limxxxxxxexxee 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義 xxfxxfx)()(lim000定義定義1 設(shè)設(shè) 在某個(gè)在某個(gè) 內(nèi)有定義，若內(nèi)有定義，若)(xfy 0 xU00)()(lim0

4、 xxxfxfxx 存在，則稱存在，則稱 在在 處處可導(dǎo)可導(dǎo), ,并稱該極限為并稱該極限為)(xf0 x)(xf在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，0 x 在在 處可導(dǎo)，也說處可導(dǎo)，也說 在在 處處有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)，或或?qū)?shù)存在導(dǎo)數(shù)存在. .)(xf0 x)(xf0 x0 xxy 0 xxdxdy )(0 xf 0)(xxdxxdf 記為：記為： 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式0 x0 x)(0 xf )(0 xf )(xf0 x)(0 xf )(0 xf )(xf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）定義定義2 (左、右導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)) 若極限若極限xx

5、fxxfx)()(lim0000limx則稱此極限值為則稱此極限值為 在在 處的處的右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù). 記作記作0 x)(xf;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）定義定義3 若若 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)(若若I包含包含端點(diǎn)，則左端點(diǎn)指的是右可導(dǎo)端點(diǎn)，則左端點(diǎn)指的是右可導(dǎo), ,右端點(diǎn)是左可導(dǎo)右端點(diǎn)是左可導(dǎo)), ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，)(xf)(xf即即Ix)(xf 則稱此函數(shù)為則稱此函數(shù)

6、為 在區(qū)間在區(qū)間 I上的上的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù). .簡稱導(dǎo)數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù). .)(xf記作：記作：y dxdy)(xf dxxdf)(即即xxfxxfyx )()(lim0 hxfhxfh)()(lim0)(0 xf 0)(xxxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例 已知已知 求求1)0( f xxfxfx 3lim)1(01 )1ln(lim, 0)0()2(220 xxffx 若若4 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例: 已知 為偶函數(shù),且 存在,證明:解:. 0)0( f)0(f )(xf txxxfxff 0lim)0(0 tftftftftt0lim0lim00 )0(f 0)0(2 f. 0)0

7、( f 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例:設(shè) 在 處連續(xù),求在 處導(dǎo)數(shù).)()(aaf ax )(xax )()()(xaxxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）三、求導(dǎo)舉例三、求導(dǎo)舉例例例1 求函數(shù)求函數(shù) （ 為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù). .Cxf )(C解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim0 即即 0 C就是說就是說常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零. 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). .2)(xxf解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hhxhhxhxhh202202lim)(lim xhxh22lim0 即即 xx22

8、高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一般地一般地, ,有函數(shù)有函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). .).()(Rxxf1xx例如例如 xxx2121121 2111111xxxx 1 x 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxhxhsin)sin(lim0 hhhxh2sin)2cos(2lim0 xcos 類似有：類似有： xxsincos 即即 xxcossin 例例3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)44cos)(sin xxxx.22 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). .xaxf )( 1,0

9、aa解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 haaxhxh 0lim haahxh1lim0 aaxln 即即 aaaxxln 特別地特別地xxee 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例5 求函數(shù)求函數(shù) , ,的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). .xxfalog)( 1, 0 aa解解hxhxxfaahlog)(loglim)(0 hxhah)1(loglim0 haxhhln1lim0ax ln1 即即 axxaln1log 特別地特別地 xx1ln 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例6.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00

10、lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程：切線方程： 000)(xxxfyy 法線：過點(diǎn)法線：過點(diǎn) 且與切線垂直的直且與切線垂直的直 00,yxM 00, yxM法線方程法線方程： 000)(1xxxfyy 0)(0 xf性質(zhì) 若函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 存在存在, ,則曲線則曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切處的切線存在線存在, ,斜率為斜率為 . .)(xfy 0 x)(0 xf )(xfy 00,yx

11、M)(0 xf 線，稱為曲線在點(diǎn)線，稱為曲線在點(diǎn) 處的處的法線法線. . 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）3xxy 3xy) 1(431) 1(341 xyxy法法線線：切切線線： 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 可導(dǎo)必連續(xù)?？蓪?dǎo)必連續(xù)。證證 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(xfy 0 x)()()(lim0000 xfxxxfxfxx 故故).1 ()()()()(0000oxxxxxfxfxf即即)()()()(0000 xxoxxxfxfxf所以所以)()(lim00 xfxfxx 因而因而 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù). .)(xfy 0 x

12、 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）(2)連續(xù)不一定可導(dǎo)。連續(xù)不一定可導(dǎo)。如如xxf )(xyo).()()()(0000 xxoxxxfxfxf表明切線與曲線之間親密接觸。表明切線與曲線之間親密接觸。以直代曲以直代曲 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例7.0,0, 00,1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.1sinlim,00不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx .0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 00sin)(xbaxxxxfba,0 x例例8 8)(xf.0,1 ba例例422sinlim4 xxx.224cos 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）) 0()()(fexfxfx xxfxxfxfx