雙等腰三角形教師版

1、雙等腰三角形等腰三角形是幾何題目中常見的基本圖形，兩個(gè)等腰三角形為背景的題目也屢見不鮮，多數(shù)為兩 個(gè)等腰三角形共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，或兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，或兩個(gè)等腰三角形的腰在同一直線上, 那么有著特殊位置的兩個(gè)等腰三角形會(huì)有什么結(jié)論那？共腰雙等腰首先我們就一起研究一下兩個(gè)共腰的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用，共腰雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形各有一條腰在同一直線上，而剩余的腰和底不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角為兩個(gè)等腰三角形剩余底與底夾角的2倍。模型一、如圖，AB=AC, AD=AE,求證：ZBAD=2ZEDCo/ AB=AC,工設(shè) ZABC= ZACB= a , AD=AE,，

2、設(shè) NADE= NAED二 B ,其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AE與AC共線，那么剩余的底DE與剩余的底BC的夾角NEDC=B - a ,那么剩余的腰AB與剩余的腰AD的夾角NBAD=/ADC-NABC=2 B2。， AZBAD=2ZEDCo模型一變式、如圖，AB=AC, ZBAD=2ZEDC,求證：AD=AEO 如圖，AD二AE, NBAD=2NEDC,求證：AB=ACoword模型二、如圖，AB=AC=AD,求證：(1) ZCAD=2ZCBD： (2) ZBAC=2ZBDC.TAB=AD,，設(shè)NABD二NADB二。，AB=AC,，設(shè) ZABC= ZACB= B , 其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰

3、AB與AB共線， 那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角ZDBC= B口， 那么剩余的腰AC與剩余的腰AD ZCAD=ZBAD-ZBAC=2 P -2 a , AZCAD=2ZCBD.同理可證，ZBAC=2ZBDC.模型二變式、如圖，AB=AC, ZCAD=2ZCBD,求證：AB二AD。如圖，AB=AC, NBAC=2NBDC,求證：AB二AC.模型二思考、等腰AABC與等腰AACD也可以看成是兩個(gè)共腰的等腰三角形，那么圖中誰是剩余腰與腰的夾角，誰是剩余底與底的夾角，它們之間還是否滿足2倍的關(guān)系？模型三、如圖，AB=AC=AD,求證：(1) ZCAD=2ZCBD： (2) ZBAC=2ZBDC；

4、 (3) ZBAD=2ZBCD.TAB=AD,，設(shè)NABD二NADB二。，AB=AC,，設(shè) ZABC= ZACB= B ,其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角ZDBC= B +（】， 那么剩余的腰AC與剩余的腰AD的夾角ZCAD=2 B +2。， AZCAD=2ZCBD.同理可證NBAC=2NBDC； ZBAD=2ZBCDo模型二與模型三都可以看成點(diǎn)A為4BCD的外心。模型一、二、三中兩個(gè)等腰三角形不光共腰，它們還共點(diǎn)，那是不是一定要滿足共點(diǎn)這個(gè)條件那？模型四、如圖，等腰AABC中，AB=AC,等腰aDEF中，DE=DF,圖中AB與DE共線，那么剩余的

5、腰或底在圖中沒有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進(jìn)而找到剩余腰與腰的夾角和剩余底與底的夾角，通過前面的方法可證NCPF=2NFQC,典型例題賞析例 1：如圖，RtZABC 中，AB=AC, D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，連接AD、DE,若NBAD=2NCDE,CD=4, AE=4&，求 AC 的長(zhǎng)。例 1 解析：由 AB=AC 和NBAD=2NCDE,可得 AD=AE=4a，解AACD,可得AC=2+ 2好例2：如圖，正方形ABCD,過點(diǎn)A作NEAF=90 ,兩邊分別交直線BC于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,G為AE中點(diǎn)，連接BG,過點(diǎn)G作BG的垂線交對(duì)角線AC于點(diǎn)H,連接HF,若CH=

6、3AH,請(qǐng)你探究例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜邊中線，得BG=AG,B由正方形 ABCD,得NBAC=45 ,題中已知NBGH=900 得NBGH=2NBAH,由模型二的變式可得GH=GB,為接下來固定圖形起到了至關(guān)重要的作用，設(shè) AH=k, CH=3k, BC=2，Ik,連接 BH,得 BH=k,由 AGBId 為等腰直角三角形，得 GB=GH=k, 2AE=2BG=V10k. AB=2/2 k,得 BE=VJk,由ADFgZXABE, DF=BE=k, AF=加k, CF=k,解CFH,得 FH=J5k,得 AF=J5FH.例3：如圖，在菱形ABCD的對(duì)角線AC上取點(diǎn)E,連接BE,

7、使NBEC=60 ,在CD邊上取點(diǎn)F,連接2條件不知如何使用。連接 DE, AABEAADE, NABE=NADE,由 DA=DC, ZCEF=- /ADE,得 DE=DF, 2設(shè) EO=k,設(shè)=2k, DE=DF=2k DC=BC=2k+4, CO=16-k, 60=73 k,勾股BOC,得 k=5, AE=6.例4：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = -/+以+ c與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,直線AB的解析式為了 = 一工+ 3.（D求拋物線解析式：（2） P為線段0A上一點(diǎn)（不與0、A重合），過P作PQJ_x軸交拋物線于Q,連接AQ, M為AQ中 點(diǎn)，連接PM,過M作MNJ_PM

8、交直線AB于N,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n,求n與t例4解析：有已知可容易得(1)答案y = +2x + 3。(2) ZBAO=-Z2NMP, MA=MP,得 MN=MP,得aNAAPBHxc 一產(chǎn)+21 + 3)，由 M ViE 0作y軸的垂線，可得ANFM =0G_NF2122為等腰直角三角形,QMGP,設(shè)點(diǎn) P過M作x軸的垂(t, 0 ) ,Q(t,3為 AQ 中點(diǎn)，MG=一一C +t + -,223M NF=MG= 一一一+/ + ，所以22P(3)共腰雙等腰部分word(3) MN=MP=MQ,得NNQPn NMP=45 , ZNHQ=ZAHP=45 ,得NQNH=90 ,

9、得 EQLAB, 2MNAE,由M為AQ的中點(diǎn)，得N為EQ的中點(diǎn)，得AN垂直平分EQ,得AQ=AE, ZEAO=ZAEB-90=(45 +ZAEQ)-900 =ZAEQ-45 又; NAQP=NAQE-45, AZEAO=ZAQP, ZEOA=ZQPA=90C ,APQAOEA, AO=PQ=3,由 Q(t, -r+2r + 3) 得一產(chǎn)+ 2f + 3 = 3，6=。(舍)，2=2。強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖：在ABC 中，AB=AC, D、E 分別是 BC、AC 邊上一點(diǎn)，且 AD=AE, NBAD=68 ,求NCDE的度數(shù).若NBDE=5O0,求NDAC的度數(shù).代3、如圖，在AABC中，線段B

10、C的垂直平分線交AB于點(diǎn)F BD、CD,若4ACD為等邊三角形，EF=2,求BF的長(zhǎng).4、如圖，在四邊形ABDC中，連接AD、BC, AB=BC=BD, CD的長(zhǎng).45、如圖，在菱形 ABCD 中，tanZDAB=-, AE=AB, AH3BG, BG=1O 求 BE 的長(zhǎng).E,垂足為E, D為EF上一點(diǎn)，連接AD、A ,NDAC的正切值為若AB=5,求DBE于點(diǎn)H,連接DE交AH于點(diǎn)G,連接D_ C/ /2、如圖，在AABC中，ZABC=ZC, D、E分別在CB、AB的延長(zhǎng)線上,連接AD、DE,且NE=NADE,AH6、如圖，RtZSBC 中，ZB=90 , ZBAC=60，點(diǎn) E 是 AC

11、 邊的中點(diǎn)，D 為 BC 上一點(diǎn)，若 BA=BD, 求sin /ADE的值.7、已知，在AABC中，AC=BC, ZACB=90 , D是AC的中點(diǎn)，E為AC垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過E作EFJ_CE,垂足為E,射線EF交直線AB于F,若AC=4,四邊形BCEF的面積為4.5時(shí)，A 求AF的長(zhǎng).從8、如圖，在四邊形 ABCD 中，連接 AC、BD, AC=AD=BC, ZABC=60 , AD=2, CD=26,求BD的長(zhǎng).9、如圖，等邊AABC中,D為直線BC下方一點(diǎn),沿直線BD折疊得到點(diǎn)E,連接DE、AE,交射線DB于點(diǎn)F.(1)求證：ZAEC=30 ；(2)請(qǐng)你猜想AE、CE、BF

12、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10、如圖，在RtZABC中，ZACB=90 ,點(diǎn)0在AB邊上，OB=OC,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，連接 AD,點(diǎn) E 在 AD 上,OE 交 AC 于點(diǎn) F, OE=OC, ZABC=ZCAD+30 ,若 OF=4, DE=3,求 OD 的長(zhǎng).D答案：1、ZCDE=682、ZDAC=100Q3、BF=44、CD=7T0 5、BE=85/56、sin ZADE=- 27、AF=3點(diǎn)或 AF=58、 BD=89、(1)略：(2)-CE+BF=AE 310、OD=7共底雙等腰接下來我們就一起研究一下兩個(gè)共底的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共底雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形的

13、底在同一直線上，而剩余的腰不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰 三角形腰與腰的夾角等于兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角。模型一、如圖，AB=AC, BD=DE, (1)求證：ZABD=ZCDE： (2)延長(zhǎng) ED 交 AB 于 F,求證：ZBDC= NBFEc證明：(1) VAB=AC,，設(shè)NABC=NACB= a , VDB=DE,，設(shè)NDBE=NDEB= B ,其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角NABD=NABC-NDBE=a - B ,那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角NCDE=NACB-NDEB=。B , /. NABD=NCDE。(2) VAB=ACt 設(shè)NABC

14、=NACB=a , VDB=DE, 設(shè)NDBE=NDEB=B , 其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰 AB 與腰 DE 的夾角NBFE=180 NABC-NDEB=180 -aB, 那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角NBDC=180 NACB-NDBE=180 AZBDC=ZBFE.模型一變式、如圖，AB=AC, NABD=NCDE,求證：BD=DEO 如圖，BD=DE, ZABD=ZCDE,求證：AB=ACo模型二、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AB交DE于F,若AB二AC, DB二DE,求證：(1) ZABD=ZCDE； (2) ZBDC=ZBFE,證明：(1)

15、 AB=AC,，設(shè)NABC=NACB=u , VDB=DE,，設(shè)NDBE=NDEB= B ,其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角NABD=NDBE -ZABC = B。，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角ZCDE=ZDEB -ZACB=B -。，AZABD=ZCDEo(2) TAB=AC,工設(shè)NABC=NACB=。，VDB=DE. 設(shè)NDBE=NDEB= B ,其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰 AB 與腰 DE 的夾角NBFE=1800 -ZABC-ZDEB=1800那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角NBDC=180 NACB/DBE=18(TAZBD

16、C=ZBFE.DDa/ jwo.模型二變式、如圖，AB=AC, 如圖，BD=DE, 如圖,AB=AC, 如圖,BD二DE,NABD=NCDE, ZABD=ZCDE, ZBDC=ZBFE, NBDONBFE,求證:BD=DE。 求證：AB二AC。 求證:BD=DEo 求證:AB=AC。模型三、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為射線CB上一點(diǎn)，若AB=AC, DB=DE,求證：ZABD= ZCDEo證明：VAB=AC,，設(shè)NABC=/ACB=。，VDB=DE,，設(shè)NDBE=NDEB= B ,其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DB的夾角NABD=18(T NABCNDBE=18(T

17、 -。邛，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角NCDE=1800 -ZACB-ZDEB=180 -a-B,，ZABD=ZCDEO模型三思考：圖中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，腰AC與腰腰DB的夾角為NBDC,那么剩余 的腰AB與剩余的腰DE在圖中沒有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進(jìn)而找到剩余腰 與腰的夾角NAFD,通過前面的方法可證NBDC=/AFD,典型例題賞析例1：如圖,等腰直角ABC, ZBAC=90CD二DE,求證：BE=72 AD.例1解析：BMC, CD二DE,由共底雙等腰，得NBDE二NACD,過D作DFBC交AC于F,導(dǎo)角得 ZCFD=ZDBE=135G ,可得

18、CDFdEDB,，BE=DF,由 DF;&AD,，BE二&AD。例2：如圖， ABC為等邊三角形，D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CB連接BE并 延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AD=3, CF=7,求CD的長(zhǎng).例2解析：題目中已經(jīng)具備了等邊三角形ABC和等腰三角形CBE,并且兩個(gè)等腰三角形還是共腰的雙 等腰，但是并不足以解決求CD的問題，所以我們?cè)贑F上取點(diǎn)G,連接BG,使得FG=BG,再構(gòu)造出 一個(gè)等腰GFB,由CE=CB,形成共底雙等腰，得NGBC=NFCE,再由題目中的等邊三角形ABC,就 出現(xiàn)了我們非常熟悉的ACDg4BCG, AAD=CG=3, FG=CF-CG=7-3=

19、4,由ACDgZkBCG,， CD=BG=FG=4o例3：如圖，在半00中，AB為直徑，C在半。0上，且AC = BC,當(dāng)AB=4時(shí)，連接AC.(1)求AC的長(zhǎng):(3)wordoo在BC上有一點(diǎn)D,當(dāng)tan/。=,時(shí)，求AD的長(zhǎng): 3在（2）的條件下，C。上有一點(diǎn)E,過E作EF平行AC交AD于F,連接BE、BF,若BE=BF,例3解析：由已知條件，很容易求出（1） AC=2jW, （2） AD=?。（3）題目中己經(jīng)具備等腰三角形BEF,延長(zhǎng)EF交AB于P, .EFAC, .NEPB=NCAB=45 ,過E 作EMJ_AB于M,構(gòu)造出第二個(gè)等腰三角形MEP,由共底雙等腰得，ZBEM=ZFBP,過

20、F作FH_LAB 于 N, /.AEMBABNF,，F(xiàn)N=BM,設(shè) BM=k,則 FN=k,由 tanNDAB=1,，AN=2k, BN=42k, A 2EM=4-2k, VBM=k, A0M=2-k,連接 OE, V ZEMO=90 , 在OEM 中，OE2 =OM2 + EM2 ,2? =（2-攵尸+（4-2攵尸，k = 1（）2 （取加號(hào)時(shí)，k2,月P0 N MB強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖，等邊AABC中，D是BC的中點(diǎn)，P為射線AD上一點(diǎn), 的度數(shù).，加號(hào)舍去），VtanZDAB=- A 2/右PM6共底雙等腰部.若ABPA為等腰三角形，求NBPCA2、如圖，等邊AABC中，點(diǎn)D為射線BA上

21、一點(diǎn), 線BF,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AH_LCD于H,當(dāng).word作DE=DC,交直線BC于 點(diǎn)E. NABC的平分ZEDC=30 , CF=4,求 DH 的D 長(zhǎng).戈BECD、 DE,若 CD二DE, BE:BC=1:2, CD= J10 ,求 BD 的長(zhǎng).A 4、如圖，等腰AABC中，AB=AC,過A作AD_LAB交BC于D, 于 F,求證：EF=AB.FA 過D作DE_LAC于E,過B作BFLAC3、如圖，等腰直角4ABC, NBAC=90 , AB=AC, D是射線BA上一點(diǎn)，E是直線BC上一點(diǎn)，連接5、如圖、等腰ZABC, AB=AC, AD的垂線交AC延長(zhǎng)線于F,幸6、如圖，在4ABC 中，ZB=45AE=2DE,求 AC 的長(zhǎng).將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段AD,交BC于E,過