平面解析幾何知識點歸納

1、平面解析幾何知識點歸納知識點歸納直線與方程1. 直線的傾斜角規(guī)定：當直線 l與 x軸平行或重合時，它的傾斜角為 0 圍：直線的傾斜角 的取值圍為 0, )2.斜率： k tan (a 2)，kR斜率公式：經(jīng)過兩點 P1(x1,y1) ，P2(x2,y2) (x1 x2 )的直線的斜率公式為 kP1P2y2 y1x2 x13. 直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kx bk 是斜率b 是縱截距與 x 軸不垂直的直線點斜式y(tǒng)y0 k( xx0)(x0, y0 )是直線上的已知點兩點式y(tǒng)y1 xx1(x1,y1),(x2, y2)是直線上與兩坐標軸均不垂直y2y1 x2x1的兩個已知點的直

2、線(x1x2, y1y2)截距式xy1a 是直線的橫截距不過原點且與兩坐標abb 是直線的縱截距軸均不垂直的直線一般式AxBy C0當 B 0 時，直線的橫截距(A2B 2 0)為CA當 B 0 時，所有直線ACC, , 分別為直線BAB的斜率、橫截距，縱截距能力提升斜率應用例 1.已知函數(shù) f (x) log2(x 1) 且a b c 0，則 f(a), f(b), f(c) 的大小關(guān)系 abc例 2.已知實數(shù) x,y滿足 y x2 2x 2( 1 x 1)，試求 y 3 的最大值和最小值 x2兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩直線的方程分別為：l1 : A1x B1 yB2yl1 : y

3、 k1x b1 或l2 : y k2x b2或l2: A2xC0CC1 00；當 k1 k2或 A1B2 A2 B1時它們相交，交點坐標為方程組yyk1x k2 xb1 或 A1x B1y b2 或 A2 x B2 yC1C2位置關(guān)系l1 : y k1x b1 l2 : y k2x b2l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2x B2y C2 0平行k1 k2 ，且 b1 b2A1B1C11 11 (A1B2-A2B1=0)A2B2C2重合k1 k2，且 b1 b2A1 B1 C1A2 B2 C2相交k1 k2A1 B1A2 B2垂直k1 k2 1A1 A2 B1B2 0直線間的夾

4、角：若為l1到 l2的角，tank2 k11 k2k1或 tanA1B2 A2B1A1A2 B1B2若為l1和 l2的夾角，則 tan1k2 k2kk11 或tanA1B2 A2B1A1A2 B1B2當 1 k1k20或 A1A2 B1B2 0時，90o ；直線 l1到l2的角 與l1和l2的夾角(2或(2) ；距離問題1.平面上兩點間的距離公式 P1(x1, y1),P2(x2, y2) 則 P1P2(x2 x1) (y2 y1)2. 點到直線距離公式Ax0 By0 C點 P( x0 , y0 )到直線 l: Ax By C 0的距離為： d 0 2 0 2A1 2 B23. 兩平行線間的距

5、離公式已知兩條平行線直線l1和 l 2的一般式方程為 l1：AxByC10，C1C2l2 ： Ax By C20，則 l1與 l 2的距離為 dA2B24. 直線系方程 :若兩條直線 l1 ： A1x B1 y C10，l2：A2xB2y C2 0有交點，則過 l1與 l2交點的直線系方程為 (A1xB1 y C1) (A2x B2 yC2 )0或(A2 x B2 y C2)+ (A1x B1y C1) 0 (為常數(shù))x1 x2x2y y1 y22對稱問題1.中點坐標公式：已知點 A(x1,y1),B(x2,y2) ，則 A,B中點 H ( x, y)的坐標公式為點 P(x0, y0) 關(guān)于

6、A(a,b) 的對稱點為 Q(2a x0,2b y0) ，直線關(guān)于點對稱問題可以化為點關(guān)于點對稱問 題。2. 軸 對 稱 ： 點 P(a,b) 關(guān) 于 直 線 Ax By c 0(B 0) 的 對 稱 點 為 P'(m,n) ， 則 有n-bA(m-aBam2，直線關(guān)于直線對稱問題可轉(zhuǎn)化0為點關(guān)于直線對稱問題。2該點是兩個對稱點的中點， 用中點坐標公式求解， 點 A(a, b)關(guān)于 C(c,d) 的對稱點 (2c a,2d b) 直線關(guān)于點的對稱： 、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出 直線方程；、求出一個對稱點，在利用 l1/ l 2由

7、點斜式得出直線方程； 、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線 l1 : 2x 3y 6 0關(guān)于點 P(1, 1) 對稱的直線 l 2的方程。點關(guān)于直線對稱： 、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數(shù)。 、求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標公式求解。如：求點 A( 3,5)關(guān)于直線 l :3x 4y 4 0對稱的坐標。 直線關(guān)于直線對稱： (設(shè) a,b關(guān)于 l 對稱)、若 a, b相交，則 a到l的角等于 b到l的角；若 a/l，則b/l，且 a, b與l的距離相等。 、求出 a上兩個點 A,B關(guān)于 l

8、的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。、設(shè) P(x, y)為所求直線直線上的任意一點，則 P關(guān)于 l的對稱點 P'的坐標適合 a的方程。 如：求直線 a:2x y 4 0關(guān)于l :3x 4y 1 0對稱的直線 b的方程。 能力提升 例 1.點 P( 2,1)到直線 mx y 3 0(m R) 的最大距離為例 2. 已知點 A(3,1) ，在直線 y x 和 y 0 上各找一點 M 和 N ，使 AMN 的周長最短，并求出周長。 線性規(guī)劃問題：(1)設(shè)點 P(x0,y0)和直線 l: Ax By C 0，若點 P在直線l上，則 Ax0 By0 C 0；若點 P在直線 l的上方，則 B(Ax

9、0 By0 C) 0；若點 P在直線 l 的下方，則 B(Ax0 By0 C) 0；( 2 )二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0) ，當 B 0時，則 Ax By C 0表示直線 l : Ax By C 0上方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；當 B 0時，則 Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0下方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 上方的區(qū)域； 注意：通常情況下將原點 (0,0) 代入直線 Ax By C中，根據(jù) 0或 0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域

10、。( 3 )線性規(guī)劃： 求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解 (x, y )叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。 生產(chǎn)實際中有許多 問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當 B 0時，將直線 Ax By 0向上平移，則 z Ax By 的值越來越大；直線 Ax By 0向下平移，則 z Ax By 的值越來越小；當 B 0 時，將直線 Ax By 0向上平移，則 z Ax By 的值越來越小；直線 Ax By 0向下平移，則 z Ax By 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標平面的可行域(陰影部分且包括周界) ，目標函數(shù)z x

11、 ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 a 為 ； (1)設(shè)點 P(x0,y0)和直線 l: Ax By C 0，若點 P在直線 l上，則 Ax0 By0 C 0；若點 P在直線 l的上方，則 B(Ax0 By0 C) 0 ；若點 P在直線 l 的下方，則 B(Ax0 By0 C) 0；( 2 )二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0) ，當 B 0時，則 Ax By C 0表示直線 l : Ax By C 0上方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；當 B 0時，則 Ax By C 0表示直線 l : Ax By

12、C 0下方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 上方的區(qū)域； 注意：通常情況下將原點 (0,0) 代入直線 Ax By C中，根據(jù) 0或 0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。3 )線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解 (x, y )叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。 生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當 B0時，將直線AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；直線AxBy0向下平移，則zAxBy 的值越來越小；當B0時，將直線 AxBy0 向上平移，則 z

13、 AxBy 的值越來越??；直線AxBy0向下平移，則zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標平面的可行域(陰影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 a 為圓與方程2 2 22.1 圓的標準方程： (x a) (y b) r 圓心 C(a,b)，半徑 r M 在圓 C外 (x0 a)2 (y0 b)2 r22.3 圓的一般方程： x2 y 2 Dx Ey F 0 .當 D 2 E2 4F 0 時，方程表示一個圓，其中圓心E2 ，半徑 rD 2 E 2 4F2當 D E 4F 0 時，方程表示一個點DE2 , 222當 D 2 E2 4F 0 時，方程無圖形（稱虛圓）2

14、2注：( 1 )方程 Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F0表示圓的充要條件是：22B 0且 A C 0且D2 E2 4AF 0.圓的直徑系方程：已知 AB 是圓的直徑A(x1,y1)B(x2,y2) (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 02.4 直線與圓的位置關(guān)系： 直線 Ax By C 0與圓 （x a）2 （y b）2 r 2的位置關(guān)系有三種， d 是圓心到直線的距離，Aa Bb C(dAaA2BbB2C（1） d r 相離0 ； (2) d r 相切0；（3） d r 相交02.5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為 r 1，r2，O1O2 d 。

15、(1) d r1 r2外離4條公切線 ；（2） d r1 r2 外切 3條公切線 ；3 ) r1 r2 d相交 2條公切線 ；（ 4） d r1 r2內(nèi)切 1條公切線 ；外離外切 相交 切 含1. 直線與圓相切：（1）圓心到直線距離等于半徑 r ；（2）圓心與切點的連線與直線垂直（斜率互為負倒數(shù)）圓的切線方程y kx 1 k2 r 過圓 x 2 y2 Dx Ey F0上一點 P（x0 ,y0） 的切線方程為：x 0x y0y D x x 0 E y y 0 F 02.圓 x2 y2 r 2的斜率為 k 的切線方程是般方程若點 (x0 , y0 )在圓上，則 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)= R2.特別地，過圓 x2 y2 r 2上一點 P(x0,y0)的切線方程為 x0x y0y r2 .y1 y0 k(x1 x0 )若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為 (a,b) 則 b y1 k(a x1) ，聯(lián)立求出 k 切線方程RR2 12LR2 d223.圓的弦長問題： 1.半弦 L、半徑 r、弦心距 d 構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理：22 、弦長公式(設(shè)而不求) ：4x1x2AB (x1 x2)