201x屆高一數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：函數(shù)解析式的求法

1、 在給定條件下求函數(shù)的解析式在給定條件下求函數(shù)的解析式 f(x), 是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的內(nèi)容及的內(nèi)容, 形式多樣形式多樣, 沒(méi)有一定的程序可循沒(méi)有一定的程序可循, 綜合性強(qiáng)綜合性強(qiáng), 解起解起來(lái)有相當(dāng)?shù)碾y度來(lái)有相當(dāng)?shù)碾y度, 但是只要認(rèn)真仔細(xì)去探索但是只要認(rèn)真仔細(xì)去探索, 還是有一些常用還是有一些常用之法之法. 下面談?wù)勄蠛瘮?shù)解析式下面談?wù)勄蠛瘮?shù)解析式 f(x) 的方法的方法.一、配湊法一、配湊法例例1 已知已知 f( )= + , 求求 f(x). xx+1x2x2+1x1f(x)=x2- -x+1(x1). 解解: f( )= + xx+1x2x2+1x1=1+ +x21

2、x1=( +1)2- -( +1)+1 x1x1并且并且 1, xx+1=( )2- -( )+1 xx+1xx+1評(píng)注評(píng)注: 若在給出的函數(shù)關(guān)系式中若在給出的函數(shù)關(guān)系式中 與與 的關(guān)系的關(guān)系不明顯時(shí)不明顯時(shí), 要通過(guò)恒等變形尋找二者的關(guān)系要通過(guò)恒等變形尋找二者的關(guān)系. + x2x2+1x1xx+1例例2.2.已知已知22)1(2 xxxf，求求 (3),3ffxfx及解解：22)1(2 xxxf1)1(2 x1122xx1)(2xxf分析分析：這是含有未知函數(shù)：這是含有未知函數(shù)f(x)的等式，比較抽象。由函數(shù)的等式，比較抽象。由函數(shù)f(x)的定義可知，在函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則的定義可知，在函

3、數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則f不變的條件不變的條件下，自變量變換字母，以至變換為其他字母的代數(shù)式，對(duì)下，自變量變換字母，以至變換為其他字母的代數(shù)式，對(duì)函數(shù)本身并無(wú)影響，這類問(wèn)題正是利用這一性質(zhì)求解的。函數(shù)本身并無(wú)影響，這類問(wèn)題正是利用這一性質(zhì)求解的。方法一：方法一：223(3)1610yf xxxx 310f配湊法配湊法二、換元法二、換元法 方法二：令1,1txxt 則 22212212121f tf xxxttt ， 21f xx .223(3)1610yf xxxx 換元法換元法注意點(diǎn)注意點(diǎn)：注意換元的等價(jià)性，即要求出：注意換元的等價(jià)性，即要求出 t 的取值范圍的取值范圍. 310f.練習(xí)練習(xí).

4、.已知已知f f（ ）= =x x2 2+5+5x x, ,則則f f( (x x)=)= . . 解析解析)0(512xxx).()(),()()(),(,0510511510110222 xxxxfttttttfttxtxx故故即即令令x1三、解方程組法三、解方程組法例例3 已知已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求求 f(x). xx- -1解解: 記題中式子為式記題中式子為式, 用用 代替中的代替中的 x, 整理得整理得:xx- -1f( )+f( )= , xx- -11- -x1x2x- -1再用再用 代替中的代替中的 x, 整理得整理得:1- -x1f( )+f(

5、x)= , 1- -x11- -x2- -x解由解由 , , 組成的方程組組成的方程組, 得得: 2x(x- -1)x3- -x2- -1f(x)= . 例4.設(shè)f(x)滿足關(guān)系式求函數(shù)的解析式.分析：如果將題目所給的 看成兩個(gè)變量，那么該等式即可看作二元方程，那么必定還需再找一個(gè)關(guān)于它們的方程，那么交換 x與1/x形成新的方程 123f xfxx 1,fxfx123 ( 1 )123132 ( 2 )212 01111FxfxfxxFffffxxxxxxfxxxxx解 ： 設(shè)有 （） （） 得【練習(xí)練習(xí)】 （1 1）設(shè)二次函數(shù)）設(shè)二次函數(shù)f f( (x x) )滿足滿足f f( (x x-2

6、)=-2)=f f(-(-x x-2)-2)， 且圖象在且圖象在y y軸上的截距為軸上的截距為1 1，被，被x x軸截得的線段長(zhǎng)為軸截得的線段長(zhǎng)為 ，求，求f f( (x x) )的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f f( (x x) )滿足滿足2 2f f( (x x)+ =3)+ =3x x, ,求求f f( (x x).). 問(wèn)題（問(wèn)題（1 1）由題設(shè)）由題設(shè)f f（x x）為二次函數(shù)，）為二次函數(shù)， 故可先設(shè)出故可先設(shè)出f f（x x）的表達(dá)式，用待定系數(shù)法求解；）的表達(dá)式，用待定系數(shù)法求解； 問(wèn)題（問(wèn)題（2 2）已知條件是一復(fù)合函數(shù)的解析式，因此）已知條件是

7、一復(fù)合函數(shù)的解析式，因此可用換元法；問(wèn)題（可用換元法；問(wèn)題（3 3）已知條件中含）已知條件中含x x， ，可用，可用解方程組法求解解方程組法求解. . 22);(,2) 1(xfxxxf求)1(xfx1思維啟迪思維啟迪解解 : :（1 1）f f（x x）為二次函數(shù)，）為二次函數(shù)，設(shè)設(shè)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)，且，且f f( (x x)=0)=0的兩根為的兩根為x x1 1, ,x x2 2. .由由f f( (x x-2)=-2)=f f（- -x x-2-2），得），得4 4a a- -b b=0.=0.由已知得由已知得c c

8、=1.=1.由、式解得由、式解得b b=2,=2,a a= ,= ,c c=1,=1,f f（x x）= = x x2 2+2+2x x+1.+1.84,22|4|22221aacbaacbxx又2121).()(,)()()().()(),()(,)(.1),()(1111111122111112111222222 xxxfxxxxxxxfxxxftttfxxxftxttx且且得得代入代入則則設(shè)設(shè)方法二方法一).0(12)(,36)(323)()1(23)1()(2,3)()1(2,1)3(xxxxfxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxx所以得聯(lián)立方程得換成把題目中的四、遞推求和法四、遞

9、推求和法 例例4 已知已知 f(n)- -f(n- -1)=an, n 為不小于為不小于 2 的自然數(shù)的自然數(shù), a0 且且f(2)=8, 求求 f(n) 的解析式的解析式.解解: 由已知由已知, f(3)- -f(2)=a3, f(4)- -f(3)=a4, , f(n)- -f(n- -1)=an,將這將這(n- -2)個(gè)式子相加個(gè)式子相加, 得得: 評(píng)注評(píng)注: 這是運(yùn)用數(shù)列中遞推公式的思想這是運(yùn)用數(shù)列中遞推公式的思想. f(n)- -f(2)=a3+a4+an=n- -2 ( (a=1 時(shí)時(shí)) ); a3(1- -an- -2)(1- -a)- -1 ( (a1 時(shí)時(shí)) ). f(n)=

10、 n+6 ( (a=1 時(shí)時(shí)) ); 8+(a3- -an+1)(1- -a)- -1 ( (a1 時(shí)時(shí)) ). f(2)=8, 練習(xí)練習(xí)1.根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式(1)拋物線過(guò)點(diǎn)拋物線過(guò)點(diǎn) (0,0) (1,2) (2,3)三點(diǎn)三點(diǎn)解法解法:拋物線過(guò)一般三點(diǎn)拋物線過(guò)一般三點(diǎn) 通常設(shè)一般式將三點(diǎn)坐標(biāo)代入通常設(shè)一般式將三點(diǎn)坐標(biāo)代入 求出求出a,b,c的值的值解解:設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c則則32420cbacbac解得：解得：02521cba所求的拋物線解析式為所求的拋物線解析式為:xxy25221(2)拋物線頂點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)是

11、(2,-1)且過(guò)點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(-1,2)解法解法(一一)可設(shè)一般式列方程組求可設(shè)一般式列方程組求a,b,c解法解法(二二)可設(shè)頂點(diǎn)式可設(shè)頂點(diǎn)式解解:拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(2,-1) 設(shè)解析式為設(shè)解析式為:y=a(x-2)2-1把點(diǎn)把點(diǎn)(-1,2)代入，得代入，得 a(-1-2)2-1=2，12)2(3131xya所求的解析式為：所求的解析式為：解得：解得：(3)圖象與圖象與X軸交于軸交于(2,0) (-1,0)且過(guò)點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(0,-2)解法解法(一一)可設(shè)一般式可設(shè)一般式解法解法(二二)可設(shè)交點(diǎn)式可設(shè)交點(diǎn)式解解:拋物線與拋物線與X軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)(2,0)(-1,0)設(shè)解析式為設(shè)解析式為:y

12、=a(x-2)(x+1)把點(diǎn)把點(diǎn)(0,-2)代入代入a(0-2)(0+1)=-2解得解得 a=1y=(x-2)(x+1)即即:y=x2-x-2練習(xí)練習(xí)2:（求下列二次函數(shù)解析式）（求下列二次函數(shù)解析式）若拋物線若拋物線y=(m2-2)x2-4mx+n對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 直線直線x=2,且最高點(diǎn)在直線且最高點(diǎn)在直線 上上.121xy解法解法:可先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)可先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,2), 再由題意得再由題意得2)22(42)4()22(42)22(24022mmmnmmm解得解得:m=-1,n=-2.即：即：y=-x2+4x-2五、待定系數(shù)法五、待定系數(shù)法例例5 設(shè)設(shè) f(2x)+f(3x+1)=1

13、3x2+6x- -1, 求求 f(x). 解解: 由原式可知由原式可知 fg(x) 中的中的 g(x) 一個(gè)是一個(gè)是 2x, 另一個(gè)是另一個(gè)是 3x+1, 都是一次式都是一次式. 而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x) 是一個(gè)二次式是一個(gè)二次式, 則可設(shè)則可設(shè): f(x)=ax2+bx+c, 從而有從而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比較系數(shù)得比較系數(shù)得: a=1, b=0, c=- -1. 從而有從而有: f(x)=x2- -1. 評(píng)注評(píng)注: 先分析出先分析出 f(x) 的基本形式的基本形式, 再用待定系數(shù)法再用待定系數(shù)法, 求出各

14、求出各系數(shù)系數(shù).又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 與與 13x2+6x- -1 表示同一個(gè)式子表示同一個(gè)式子, 即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x- -1 . 例例6 已知已知 fff(x)=27x+13, 且且 f(x) 是一次式是一次式, 求求 f(x). 解解: 由已知可設(shè)由已知可設(shè) f(x)=ax+b, 則則: 六、迭代法六、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由題意知由題意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比較系

15、數(shù)得比較系數(shù)得: a=3, b=1. 故故 f(x)=3x+1. 評(píng)注評(píng)注: 本題的解法除了用迭代法本題的解法除了用迭代法, 還用了待定系數(shù)法還用了待定系數(shù)法. 1919202021212222七、數(shù)學(xué)歸納法七、數(shù)學(xué)歸納法例例7 已知已知 f(n+1)=2+ f(n)(nN+), 且且 f(1)=a, 求求 f(n). 12解解: f(1)=a f(2)=2+ a 12=4- -21+2- -1a, 故猜想故猜想: f(n)=4- -23- -n+21- -na, 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: f(5)=2+ f(4) 12f(3)=2+ f(2)=3+ a 1214=4- -2

16、0+2- -2a, f(4)=2+ f(3)= + a 127218=4- -2- -1+2- -3a, =4- -2- -2+2- -4a, =4- -22+20a, 證明從略證明從略.故故 f(n)=4- -23- -n+21- -na. 評(píng)注評(píng)注: 先用不完全歸納法摸索出規(guī)律先用不完全歸納法摸索出規(guī)律, 再用數(shù)學(xué)歸納法證再用數(shù)學(xué)歸納法證明明, 適用于自然數(shù)集上的函數(shù)適用于自然數(shù)集上的函數(shù). 例例8. 8. 已知集合已知集合A=a,b,c,B=-1,0,1,A=a,b,c,B=-1,0,1,映射映射f:ABf:AB滿滿足足f(a)+f(b)=f(c),f(a)+f(b)=f(c),求這樣的

17、映射共有多少個(gè)求這樣的映射共有多少個(gè)? ?f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0; f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0; f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0; f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0; f(a)=f(b)=f(c)=0;f(a)=f(b)=f(c)=0;解解:f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1; :f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1; f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1; f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1; f(a)=0,f(b)

18、=1,f(c)=1.f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1.八、映射方法八、映射方法222110,( )2( ),()2(),1122()2(),22aaaabapqbbbbaarpqrbb已知求證.例例 9：九、用構(gòu)造函數(shù)方法證明不等式九、用構(gòu)造函數(shù)方法證明不等式2221122:( )2( )()2()()2()1122aaaaaabbbbbb即2( )2 ,f xxx構(gòu)造函數(shù)1200112aaababbb由知,12( )()()12aaafffbbb( )f x則在(- ,1上為單調(diào)遞減的函數(shù)pqr證明證明:( )1(0,0)xmf xxmxmxm 證:設(shè)函數(shù)()( )a bccf a

19、bf ccm ( )f x易知在(0,+ )上為增函數(shù).,.ABCabcmabcambmcm已知的三邊長(zhǎng)是 、 、 且 為正數(shù)，求證：例 10：( )( )()()ababf af bambmabmabmabf ababm( )( )( )f af bf cabca mb mc m即整理課件整理課件29十、用構(gòu)造函數(shù)方法解方程十、用構(gòu)造函數(shù)方法解方程解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)f(x)x2011x，則，則f(x)是奇函數(shù)且為是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，得上的增函數(shù)，得 f(3xy)f(x)0，即，即f(3xy)=-f(x)= f(-x) .注意到注意到f(x)是奇函數(shù)且為是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，上

20、的增函數(shù)，所以所以 3xyx , 4xy0.3030十、用構(gòu)造函數(shù)方法解方程十、用構(gòu)造函數(shù)方法解方程解：原方程化為解：原方程化為(x8)2011(x8)x2011x0, 即即(x8)2011(x8)(x)2011(x),構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(x)x2011x, 知知f(x)是是R上的單調(diào)遞增函數(shù)上的單調(diào)遞增函數(shù),原方程等價(jià)于原方程等價(jià)于f(x8)f(x),而由函數(shù)的單調(diào)性可知而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是是R上的單調(diào)遞增函數(shù)上的單調(diào)遞增函數(shù),于是有于是有x8x, x4為原方程的解為原方程的解.3131知能遷移知能遷移1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)= )= 若若f f(-4)=(-4)=f

21、 f(0),(0),f f(-2)=-2,(-2)=-2,則關(guān)于則關(guān)于x x的方程的方程f f( (x x)=)=x x解的個(gè)數(shù)為（解的個(gè)數(shù)為（ ） 求方程求方程f f( (x x)=)=x x的解的個(gè)數(shù)，先用待定系的解的個(gè)數(shù)，先用待定系 數(shù)法求數(shù)法求f f（x x）的解析式，再用數(shù)形結(jié)合或解方程）的解析式，再用數(shù)形結(jié)合或解方程. . , 0, 2, 0,2xxcbxx思維啟迪思維啟迪解析解析 由由f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),得得b b=4,=4,再由再由f f(-2)=-2,(-2)=-2,得得c c=2,=2,x x0 0時(shí)，顯然時(shí)，顯然x x=2=2是方程是方程f f

22、( (x x)=)=x x的解的解; ;x x00時(shí)，方程時(shí)，方程f f（x x）= =x x即為即為x x2 2+4+4x x+2=+2=x x，解得，解得x x=-1=-1或或x x=-2.=-2.綜上，方綜上，方程程f f（x x）= =x x解的個(gè)數(shù)為解的個(gè)數(shù)為3.3.答案答案 C 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. .解決分解決分段函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住在不同的段內(nèi)研究問(wèn)題段函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住在不同的段內(nèi)研究問(wèn)題. .如如本例，需分本例，需分x x00時(shí)，時(shí)，f f（x x）= =x x的解的個(gè)數(shù)和的解的個(gè)數(shù)和x x00時(shí)，時(shí)，f f（x x）= =x x的解

23、的個(gè)數(shù)的解的個(gè)數(shù). .探究提高探究提高知能遷移知能遷移2 2 設(shè)設(shè) 則則f f g g(3)=_,(3)=_, =_.=_. 解析解析 g g(3)=2,(3)=2, f f g g(3)=(3)=f f(2)=3(2)=32+1=72+1=7， )(,)()()(xgxxxxxf00132,)()( 12122xxx)(21 fg16317 7.)()()(,)()(1631412412141212122 gfgf3535363637373838課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.已知已知 f(x) 是一次函數(shù)是一次函數(shù), 且且 ff(x)=4x- -1, 求求 f(x) 的解析式的解析式.5.若若 3f(x- -1)+2f(1- -x)=2x, 求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)= , 求求 f(x) 的解析式的解析式. 4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(- -x)=10 x , 求求 f(x). 6.已知已知 f(0)=1, f(a- -b)=f(a)- -b(2a- -b+1), 求求 f(x). 7.已知已知 f(x) 是是 R 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), 且且 f(x+4)=f(- -x), 當(dāng)當(dāng) x(- -2, 2)時(shí)時(shí), f(x)=- -x2+1, 求當(dāng)求當(dāng) x(- -6, - -2)