LQR控制算法推導(dǎo)以及簡(jiǎn)單分析

1、LQR控制算法推導(dǎo)以及簡(jiǎn)單分析1全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)在介紹LQ竝前.苜先.先回顧一下現(xiàn)在控制理詒中的基本的控制器全狀態(tài)反憒控制"上圖假設(shè)有一嚇線性希統(tǒng)用狀態(tài)向量表示:I = Ax + Bu y = Cx + Du其中x(i) e Rn. ut) e附,初始條件是工。 在此我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u = Kx便上述控制器閣達(dá)到期賽的育走性能，將式R)帝入基綻伏感方程中有i = (j4 BK)x Acx設(shè)走系統(tǒng)中的各個(gè)狀態(tài)星都可知.式所示的開環(huán)親統(tǒng).傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)矩陣A的特征值?，F(xiàn)在變換成了式(2)的閉環(huán)形式.通 過配置反饋矩陣K.可以使得閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到所期望的系統(tǒng)狀態(tài)。(注意

2、，這種控制器設(shè)計(jì)與矩陣C、D沒什么關(guān)系)so,來了一個(gè)新的問題，極點(diǎn)在什么樣的位置會(huì)使得系統(tǒng)的性能較好呢？芥且，當(dāng)系統(tǒng)變量很多的時(shí)候，就算設(shè)計(jì)極點(diǎn)宙達(dá)到了最 優(yōu).矩陣K的計(jì)韋如何計(jì)貝呢？ 因此，LQR提供了如下思路。2LQRLQR的目標(biāo)就是找到一組控制星5), ub 使得同時(shí)有引,叼，足夠小俸統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)走狀態(tài)).攻),切，足夠小(控制星盡星小的變化)， 選取代價(jià)函數(shù)為xtQx + utRu dt其中，Q、R就是霎要設(shè)計(jì)的半正定矩陣和正定矩陣?？瓷鲜?4)是不是線代中的二次型(線代頁(yè)的是一門重要的學(xué)科，工程中大星都是線代的運(yùn)算).而旦還是另附只有平方項(xiàng)的二次型，這樣就 成了最小二乘法的問題。代價(jià)函

3、數(shù)711要達(dá)到最小值，那么在£擔(dān)近于無窮時(shí)，狀態(tài)向Bz(f)肯主趙近于0.即是達(dá)到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)；同理， t趨近于無窮時(shí)，控制向量“也會(huì)趨近于0,怠味鼠 隨著時(shí)間的推移.需要對(duì)系統(tǒng)施加的控制量會(huì)越來越小怠味著使用最”曲控制量 使得票統(tǒng)達(dá)到了最終控制目標(biāo)。下面來聊聊Q、R值的選取.一來說.選取Q、礎(chǔ)陣的時(shí)候.為了方便觀祭各個(gè)屋統(tǒng)狀態(tài)量而選取對(duì)角陣，増加Q的一個(gè)值，意味看這 個(gè)值作用的系統(tǒng)狀態(tài)最 將以更快的速度衰減到0.這時(shí)候.舉個(gè)栗子還是很必要的.比如，Qii選取較大的值，會(huì)讓©很快的衰減到 o；另外一方面.力口大砸置 會(huì)使得對(duì)應(yīng)的控制星減小，控制器執(zhí)行更少的動(dòng)作，意味著粟銃的狀

4、態(tài)衰減將變風(fēng) 所以.a r的選 取.要綜合看具體譙際應(yīng)用場(chǎng)景來調(diào)節(jié)，俗話說，魚和廉拿不可兼得，這個(gè)矛盾就像做的軌跡跟蹤MPC中的設(shè)置不同的權(quán)重一樣.期 耍車輛后抽心cte值越小.那么到了轉(zhuǎn)穹處必須耍很大幅度的剎車，以及打方向盤.速度以及yaw會(huì)大幅度變化.而如果期望執(zhí)行器動(dòng) 作越小.那么就無法保證cte的準(zhǔn)確度一樣。好了，上面介紹了一些參數(shù)的意義問題，下面重點(diǎn)就是公式的推導(dǎo)了，在不同大神那看到了不同的推導(dǎo)方式，下面就把自己比較欣賞的一 種寫出來吧.雖說過程也很重要但是工程廝.只要結(jié)果對(duì).效果好.選個(gè)自己看起來舒服的方式就好了.開始推導(dǎo)過程1 將“ =-Kx代入代價(jià)函數(shù)后.有J = t j xt

5、(Q + KtRK)x dt(5)2. 假設(shè)純?cè)谝粋€(gè)集星矩陣P使得，-(xTPx) = -xt(Q + KtRK)x(6)dt3. 把式(6)代入(5)后.有1 f0017 = / (P)x dt = z(0)Px(0)(7)式的意思就是，t趨近于無窮時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)向星x(t)趨近于0,這樣就直接結(jié)算出了積分方程。4. 把式左邊微分辰開,xTPx + xTPx 亠 xtQx + xTKrRKx = 0狀態(tài)變星x的微分用式(3)表示,tAPx + xtPAcx + xtQx + xtKtRKx = 0整理后，有+ PAc + Q + KtRK)x = 0這樣，就又回到了二次型的問題，如果式(8)要

6、有解.那么括號(hào)里面的部分必須等于0AP + PAC + Q + KtRK = 0(9)把乂 = A - EK代入式(A - BK)tP + P(A - BK) + Q + KtRK = 0(10)At + PA + Q + KtRK - KtBtP - PBK = 0(11)5. 式)還是一個(gè)關(guān)于K的二次型，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量太復(fù)雜，so只要這個(gè)等式成立就好，那么這里令K = RBtP.然后式(11),可以化為,4r + PA + Q + KtR(RBtP) - K1 BrP 一 PB(RBtP) = 0人卩 + Pd + Q PBR"BtP = 0(12)式(12)中七B,Q,R都是

7、已知星.那么通過式(12)可以求解出P 式(12)就是著名的Riceti方程。上面，從理論以及公式推導(dǎo)兩個(gè)方面，介紹了LQR,現(xiàn)在從頭看一下LQR的思路：選擇參數(shù)矩陣QR求解Riccati方程得到矩陣P恨據(jù)P計(jì)算K = RBtP計(jì)算控制星"= -KxM PC與LQR比較M PC和LQR兩種控制方式有很多的相似之處f但是也有很多不相同的地方,首先,LQR的硏究對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間方程給出的線性粟統(tǒng)，而MPC的硏究對(duì)象可以是線性粟統(tǒng)，也可以是非線性殺 統(tǒng)。不過現(xiàn)在很多的做法都是將非線性系統(tǒng)線性化，然后進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，具休要抿據(jù)自己的工程情況來確走哪種方式比較好，比如之 前做MPC的時(shí)候，線控車底層速度控制接口就是加速度，那就沒必要根垢IMU再賽嵌個(gè)一層PID。其次.既然是優(yōu)化問題，那就離不開目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)，LQR的目標(biāo)函數(shù)在上面已經(jīng)有描述，MPC的目標(biāo)函數(shù).多數(shù)都是多個(gè)優(yōu)化目 標(biāo)乘以不同權(quán)3然后求和的方式.雖然方式不同，不過都是對(duì)達(dá)到控制目標(biāo)的弋價(jià)累計(jì)。最后，工作時(shí)域