N二次曲線的一般理論

1、5 5：二次曲線一般理論：二次曲線一般理論2211122212( , )2220.F x ya xa xya yb xb yc二次方程所確定的曲線二次曲線二次曲線我們的任務(wù)：我們的任務(wù)：1 1：選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，化簡上面的二次：選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，化簡上面的二次方程方程2 2：從二次方程的一般形式，識別二次曲：從二次方程的一般形式，識別二次曲線的類型，確定它們的形狀和位置。線的類型，確定它們的形狀和位置。1:坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換O x y坐標(biāo)系Oxy坐標(biāo)系Oxy坐標(biāo)系Ox y坐標(biāo)系( , )x y( ,)x y舊坐標(biāo)舊坐標(biāo)新坐標(biāo)新坐標(biāo)M點(diǎn)目的：目的： 確定點(diǎn)的新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系。確定點(diǎn)的新舊坐標(biāo)之間

2、的關(guān)系。這由新舊坐標(biāo)系的之間的位置關(guān)系來確定這由新舊坐標(biāo)系的之間的位置關(guān)系來確定. .坐標(biāo)系的位置是由坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的方向坐標(biāo)系的位置是由坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的方向確定。確定。新坐標(biāo)系的位置，就由新原點(diǎn)新坐標(biāo)系的位置，就由新原點(diǎn) 的舊坐標(biāo)，的舊坐標(biāo)，以及坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)軸 到新坐標(biāo)軸到新坐標(biāo)軸 的角度的角度 確定確定.OOxO x坐標(biāo)系的平移（移軸）坐標(biāo)系的平移（移軸）: 坐標(biāo)軸的方向不坐標(biāo)軸的方向不變，改變坐標(biāo)原點(diǎn)變，改變坐標(biāo)原點(diǎn)Oxy坐標(biāo)系移軸( , )M x y( ,)M x y問題問題是尋找坐標(biāo)變化規(guī)律是尋找坐標(biāo)變化規(guī)律MOOxyxy00 xxxyyy00(,)xyO是的舊坐標(biāo)Ox y坐標(biāo)

3、系坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)軸）：坐標(biāo)系的原點(diǎn)不變，坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)軸）：坐標(biāo)系的原點(diǎn)不變，改變坐標(biāo)軸的方向改變坐標(biāo)軸的方向xyxyOOxy坐標(biāo)系Ox y坐標(biāo)系轉(zhuǎn)軸( , )M x y( ,)M x yM= cossin ,sincos .x xyyxy變化規(guī)律變化規(guī)律逆變換逆變換= cossin ,sincos .xxyyxy 一般坐標(biāo)變換公式一般坐標(biāo)變換公式新坐標(biāo)系新坐標(biāo)系 的原點(diǎn)的原點(diǎn) 的舊坐標(biāo)為的舊坐標(biāo)為 , 軸到軸到 軸的夾角為軸的夾角為O x yO00(,)xyOxO x.:( , )Oxyx y:(,)O x yx y:( ,)O x yx y移軸轉(zhuǎn)軸OOxyxy00,xxxyyy移軸=

4、cossin ,sincos .xxyyxy轉(zhuǎn)軸變換公式變換公式00= cossin,sincos.x xyxyxyy0000=()cos()sin()sin()cos .xxxyyyxxyy 逆變換公式為121:0,:0(0,0).(0)O x yxylAxByClBxAyCABxx例 ：設(shè)的 軸和 軸分別為軸到 軸的角度為，求坐標(biāo)變換公式.122:3410,:4370.(0)O x yxylxylxyxx 例 ：設(shè)的 軸和 軸分別為軸到 軸的角度為，求坐標(biāo)變換公式.( , )0OxyF x yO x y設(shè)一條曲線在坐標(biāo)系中的方程為，那么，它在中的方程為：( , ).nF x yn如果是多項(xiàng)

5、式，經(jīng)過坐標(biāo)變換，多項(xiàng)式的次數(shù)不會增加.這說明多項(xiàng)式的次數(shù)不依賴于坐標(biāo)系的選取，把具有這樣性質(zhì)的曲線，稱為, 其中 是多項(xiàng)式次曲的次數(shù)線00(cossin,sincos)=0.F xyxxyy( ,).F x y方程的左端記為2 2：在坐標(biāo)變換下二次方程系數(shù)的變化：在坐標(biāo)變換下二次方程系數(shù)的變化2211122212( , )22201F x ya xa xya yb xb yc 二次方程（ ）轉(zhuǎn)軸對方程系數(shù)的影響轉(zhuǎn)軸對方程系數(shù)的影響: := cossin ,sincos .x xyyxy轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)變換公式：轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)變換公式：2211122212( ,)=222.F x ya xa x ya

6、yb xb yc 經(jīng)過變換變?yōu)椋航?jīng)過變換變?yōu)椋? , )F x y假設(shè)2 （ ） 系數(shù)與系數(shù)與 系數(shù)之間的關(guān)系系數(shù)之間的關(guān)系:( ,)F x y( , )F x y2211111222cos2sin cossinaaaa2212221112()sin cos(cossin)aaaa2222111222sin2sin coscosaaaa112cossinbbb212sincosbbb cc12112212,=cossin ,sincos .b bbbbbbb解出這說明的這說明的 變換規(guī)律和變換規(guī)律和 的變換規(guī)律的變換規(guī)律是一樣的，同時(shí)也說明，轉(zhuǎn)軸不能消去一次項(xiàng)是一樣的，同時(shí)也說明，轉(zhuǎn)軸不能消去

7、一次項(xiàng). .12( ,)b b( , )x y變換保持二次項(xiàng)部分，一次項(xiàng)部分，常數(shù)項(xiàng)不變換保持二次項(xiàng)部分，一次項(xiàng)部分，常數(shù)項(xiàng)不變，即變，即222211122211122222a xa x ya ya xa xya y1212b xb yb xb ycc12222211 112 1 222211 112 1 222222221212( , )( ,)22,.x yb ba ba bba ba ba bba bbbbb取，代入上式得到這是兩個(gè)與 無關(guān)的數(shù)，這表明，轉(zhuǎn)軸不會改變這兩個(gè)數(shù).*( , )(,)F x yFxy把(2)代入得到，即移軸對方程系數(shù)的影響移軸對方程系數(shù)的影響: :移軸的坐標(biāo)變換

8、公式：移軸的坐標(biāo)變換公式：*2*2*11122212(,)=222.Fxya xa x ya yb xb yc( , )F x y假設(shè)經(jīng)過上面的變換變?yōu)?0*0 xxxyyy(2)*2*1101200*2*2201020(,)()2()()()2 ()2().Fxyaxxaxxyyayyb xxbyycOxy坐標(biāo)系*O x y坐標(biāo)系移軸移軸*00(,)xyO是的舊坐標(biāo)展開后合并同類項(xiàng)就有展開后合并同類項(xiàng)就有*1111*1212*2222*11101201*21202202*221101200220102000,222(,)aaaaaaba xa ybba xa ybca xa x ya yb

9、xb ycF xy110120112022020,0,a xa yba xa yb二次項(xiàng)系數(shù)不變，一次項(xiàng)系數(shù)要改變，為了消去一次項(xiàng)，必須并且只須新坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足方程00(,)xy移軸以后移軸以后11 0120112022020,0,a xa yba xa yb方程組方程組111212220.aaaa如果，則方程組有唯一解1112111212221222=0:aaaaaaaa如果，即1112122212(1):aaaab b,此時(shí)方程是同解方程1112122212(2):aaaab b,此時(shí)方程是矛盾方程.11 0120112022020,0,a xa yba xa yb( , )0F x y 方程方程 無一次項(xiàng)時(shí)，曲線對稱于原點(diǎn)，下無一次項(xiàng)時(shí)，曲線對稱于原點(diǎn)，下面方程組有解面方程組有解 時(shí)，曲線對稱于點(diǎn)時(shí)，曲線對稱于點(diǎn)00(,)xy00(,)xy如果對稱中心是唯一的，就簡稱為曲線的如果對稱中心是唯一的，就簡稱為曲線的中心。中心。2213630