“定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值

1、1 1 1 1 “定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值 所謂“定區(qū)間動軸法”，就是將自變量所在區(qū)間 a,b(或(a,b)標在數(shù)軸上，無論該區(qū) 間是動的還是靜的， 根據(jù)運動的相對性， 都將其看作“靜止”的，然后分對稱軸x：a、a x0 兩種情況進行討論. .這樣讓區(qū) 2 2 間標在數(shù)軸上不動，而讓二次函數(shù)圖象的對稱軸移動， 分類方法非常明確、思路清晰、條理性強， 這樣可做到不重不漏，并且簡捷易行 1 1 條件中給出區(qū)間，直接采用 “定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值 2 例 1 1 已知f (x) = x 4x 3, R，函數(shù)g(t)、h(t)表示函數(shù)f (x)在區(qū)間t, t -1上的 最小值，最大值，求 g(t)、

2、h(t)表達式. . 分析：此題屬于區(qū)間最值問題，結合圖形，將區(qū)間 t,t 1在數(shù)軸上相對固定，讓對稱軸 x - -2的區(qū)間t,t 1內外移動，即分成 -2 ：t ； t -2 t 1 ； - 2 t 1三種情況進行討 t + (t +1) 論，結合圖形便可輕松求岀函數(shù) f (x)在區(qū)間t,t 1上的最小值. .而只需分-2 與 2 t +(t +1) -2 兩種情況討論便可求岀 f (x)在區(qū)間t,t 1上的最大值. . 2 解：由f (x) =X2 4x 3 =(x 2)2 -1，知圖象關于 x=-2對稱，結合圖象知, t2 6t 8,t (-：，-3) 幾 g(t) =，-1, t 匕-

3、3, -2. . 2 i +4t+3,t E (2,邑) t +(t +1) 5 當-2 時，h(t)二 2 2 1 1 1 1 t +(t +1) 5 當-2 ，即 t 時，h(t)二 2 2 t2 6t 8,t 三一5,-) 2 二 h(t) = 2 . . 2 _ 5 t 4t 3,t 二(一：,) I 2 評注：本題采用了 “定區(qū)間動軸法”， 分-2 t ; t -2 t 1; -2 t 1三種情況和 t +(t +1) t +(t +1) -2 -1恒成立，求t的取值范圍 分析：(2 2)若X72時，f(X)-1恒成立，條件的實質即為：當x-1,2時f (x) 的最小值在于或等于 -

4、1，從而將問題歸結為區(qū)間最值問題. .作岀函數(shù)的大致圖象，借助函數(shù)圖象 的直觀性讓區(qū)間定，對稱軸動，分三種情況進行討論 2 解：設 f (x)二 a(x -t) b，丁 g x 為一次函數(shù)， a= 1 又 f(1)=2， (1t)2 b=2， b=t2 2t 1， 二 f x 二 x2 -2tx 2t 1 即 fmin(x) -1 3 當 t ： -1 時，f(x)min 二 f (-1)= =2 4t -1，得 t - 4 當-1 t -1，得 1 - . 3 t -1，得 t 3 由，得：1-、3 2時，求證：在區(qū)間-1,5 上, y = kx+ 3k的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方 分

5、析：通過轉化思想，將文字語言 y二kx+ 3k的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方，轉化為 符號語言 g( x)= k( + 3-) -( x + 織+ 5 當Ox? 2 x? 1 ,時,g(x)= k(x+ 3)- (- x + 4x + 5) 0恒成立只需g(x)min 0，所以, 本題的實質為區(qū)間最值問題 . . 2 解：當 x ? 1, 5時，f (x) = - x + 4x + 5 . . ,16? (k 10)2 64, (k- 10)2- 64 0. . 4- k 當 6時，取 x= - 1， g(x)mi n= 2k 0. . 由、可知，當k 2時，g(x) 0， x? 1,5.

6、 . 因此，在區(qū)間-1,5 上, y= k(x+ 3)的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方 評注：因為k 2條件的限制，降低了問題的難度，使討論的情況減少 . .很多問題通過轉化 思想都可以達到化生為熟、化未知為已知、化繁雜為簡單的目的，體現(xiàn)了轉化思想的重要性 . .本 題就是轉化思想應用的一個典型， 通過轉化將本來抽象的問題歸結到區(qū)間最值的求解， 讓我們有 一種豁然開朗的感覺. . 1 , 5時|恒成立. .而當 2 4- k十 王- k2- 20k + 36 4 k c 4- k 彳 2 , 1. .又- 2 1 ?1，即 2 0且1 -x 0，即-K x 0, (3)當a 0時，函數(shù)y二m

7、t , P | ：2,2的圖像是 開口向下的拋物線的一段. 72 1 i 1) a , ，貝U g a = m a - 2 2 3 I a丿 2a 若 t 1 2, * ，即 a：-| 1,0 ，則 g a 二m 2 二a 2 . a I 2丿 1 a 2, a ： 0, 2 J, 2 . 由得, t的取值范圍是 m t 二 a i t2 -1 t l丿遼丿 =at2 t - a , t 2 1 2 (IIII)由題意知g a即為函數(shù)mt at2，t-a , t 1 1 2 注意到直線t (a=0)是拋物線m t at ta的對稱軸，分以下幾種情況討論. 2的圖像是開口向上的拋物線的一段，由

8、(1 )當a 0時，函數(shù)y = m t ， t 1 _ t 0 知 mt 在 22 J 2,2 的最大值. 上單調遞增， ga=m2=a，2 . (2(2)當 a 二 0 時，mt 二 t, t V2,21， g(a)=2. 若 t =-丄(0, -2)，即 a : a 則 g a = 若 t = 一1 J2,2，即 a 1 1 1 1 、2, a :綜上有 g(a)-a-丄，-匝 a 2a 2 1 1 1 1 評注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問題時，可采用化歸、轉化思想，將其轉化 為熟知的問題、簡單的問題，從“數(shù)”方面難以入手時，可考慮借助形來說理 例 5 5 求函數(shù)y =sin2 x psin x - q的最值. . 分析：由已知條件的形式特點，可采用配方法，從而將問題轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題， 但要注意_1 sinx 1的條件限制，在此條件限制下，其實質即為區(qū)間最值問題，采用“定” 區(qū)間“動”軸法，結合圖形便可求岀函數(shù) f(x)在區(qū)間-1,1上的最值. . sin x = 1 或 sin x = -1 時取得. . 若-p 一1，即 P 2，則當 sin x = -1 時，ym i n = 1 - P * q ;當 sin x = 1 時， ymax =1 p q- (3)(3)若一p 1，即 p