隨機變量及其分布課件

1、第第2 2章章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 為了深入研究和全面掌握隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，即將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，為此引入隨機變量的概念 2.1 隨機變量隨機變量分析分析 我們發(fā)現(xiàn)有些試驗的結(jié)果可以直接表現(xiàn)為數(shù)我們發(fā)現(xiàn)有些試驗的結(jié)果可以直接表現(xiàn)為數(shù)值比如，在抽樣檢驗產(chǎn)品中，出現(xiàn)廢品的個數(shù)；值比如，在抽樣檢驗產(chǎn)品中，出現(xiàn)廢品的個數(shù)； 、 擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)擲骰子出現(xiàn)的點數(shù) 可是有些試驗的結(jié)果沒有直接表現(xiàn)為數(shù)字，但可是有些試驗的結(jié)果沒有直接表現(xiàn)為數(shù)字，但我們?nèi)匀豢梢杂脭?shù)字來表示它我們?nèi)匀豢梢杂脭?shù)字來表示它比如（比如（1 1）某一工人一天）某一工人一天e e1

2、1=“=“完成定額完成定額”記為記為1 1， e e2 2=“=“沒完成定額沒完成定額”記為記為0 0； （2 2）拋一枚硬幣觀察其正面（）拋一枚硬幣觀察其正面（H H）、反面（）、反面（ T T） 的情況試驗中：的情況試驗中：“H”H”記為記為1 1，“T”T”記為記為0 0等等，2101S6543212，S一、隨機變量的定義一、隨機變量的定義 由此可見，由此可見，對于任何一個試驗的各種基本結(jié)果，對于任何一個試驗的各種基本結(jié)果，都可以用數(shù)量與之對應(yīng)都可以用數(shù)量與之對應(yīng)這樣一來，對于試驗的結(jié)這樣一來，對于試驗的結(jié)果就都可以給予數(shù)量的描述果就都可以給予數(shù)量的描述， 例例 1 袋中有袋中有3只黑球

3、，只黑球，2只白球，從中任意取出只白球，從中任意取出3只只球，觀察取出的球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)只球中的黑球的個數(shù)我們將我們將3只黑球分別記作只黑球分別記作1，2，3號，號，2只白球分別只白球分別記作記作4，5號，則該試驗的樣本空間為號，則該試驗的樣本空間為 543542532432541531431521421321，S返回主目錄例例 1（續(xù)）（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為我們記取出的黑球數(shù)為 X，則，則 X 的可能取值的可能取值為為1，2，3因此，因此， X 是一個變量是一個變量但是，但是， X 取什么值依賴于試驗結(jié)果，即取什么值依賴于試驗結(jié)果，即 X的的取值帶有隨機性，取值帶有隨機

4、性，所以，我們稱所以，我們稱 X 為隨機變量為隨機變量X 的取值情況可由下表給出：的取值情況可由下表給出：第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄例例 1（續(xù)）（續(xù)）樣本點樣本點黑球數(shù)黑球數(shù) X樣本點樣本點黑球數(shù)黑球數(shù) X321，3541，1421，2432，2521，2532，2431，2542，1531，2543，1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄 由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果果e都對應(yīng)著變量都對應(yīng)著變量 X 的一個確定的取值，的一個確定的取值，因因此變量此變量 X 是樣本空間是樣

5、本空間S上的函數(shù)上的函數(shù)： SeeXX第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄ReSX(e)X(e)隨機變量的定義隨機變量的定義設(shè)設(shè)E E是一個隨機試驗，是一個隨機試驗，S S是其樣本空間我是其樣本空間我們稱樣本空間上的函數(shù)們稱樣本空間上的函數(shù)）（SeeXX)(為一個為一個隨機變量隨機變量，隨機變量通常用大寫字母，隨機變量通常用大寫字母X,Y,ZX,Y,Z等表示。等表示。第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量 我們定義了隨機變量后，就可以用隨機我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件例如變量的取值情況來刻劃隨機事件例如2X

6、表示至少取出表示至少取出2個黑球這一事件，等等個黑球這一事件，等等 22XeXe： 表示取出表示取出2個黑球這一事件；個黑球這一事件；二、隨機變量的取值表示事件二、隨機變量的取值表示事件 其實，如果對于任意的實數(shù)其實，如果對于任意的實數(shù) ，集合，集合xxX 都是都是隨機事件隨機事件 例例 2 上午上午 8:009:00 在學(xué)校門口觀察，在學(xué)校門口觀察，令：令： Y表示該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)表示該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù) 則則 Y 就是一個隨機變量它的取值為就是一個隨機變量它的取值為 0，1，100Y 表示通過的汽車數(shù)小于表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；輛這一隨機事件；10050Y 表

7、示通過的汽車數(shù)大于表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過輛但不超過 100 輛這一輛這一隨機事件隨機事件 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄例例 3 擲一顆骰子，令：擲一顆骰子，令：X表示表示“出現(xiàn)的點出現(xiàn)的點數(shù)數(shù)” 求求4XP第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄解：因為試驗為古典概型，且基本事件總數(shù)為解：因為試驗為古典概型，且基本事件總數(shù)為, 6n事件事件4X包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為4k644nkXP一.離散型隨機變量的概念與性質(zhì)第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量1.離散型隨機變量的定義

8、離散型隨機變量的定義如果隨機變量如果隨機變量 X 的取值是有限個或可列無的取值是有限個或可列無窮個，則稱窮個，則稱 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量2離散型隨機變量返回主目錄第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 X 的所有可能取值為的所有可能取值為，nxxx21并設(shè)并設(shè),2, 1npxXPnn則稱上式或則稱上式或X1x2x，nxP1p2p，np為離散型隨機變量為離散型隨機變量 X 的分布律的分布律返回主目錄說說 明明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃即

9、離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這即離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定些值的概率唯一確定第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質(zhì)離散型隨機變量分布律的性質(zhì):0npn，有對任意的自然數(shù)1nnp返回主目錄例例 1將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次，令：次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求試求 X 的分布律的分布律解：解： X 的取值為的取值為-3，-1，1，3 并且并且X-3-113P81838381第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例例

10、2設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為的分布律為X012345P161163161164163164 則則2102XPXPXPXP161163161165第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布返回主目錄例例 2（續(xù)）（續(xù)）543XPXPXP1641631672135 . 0XPXPXP161163164第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄二、三種重要的離散型隨機變量的概率分布)10(1,0,)1(1 pkppkXPkk（一）（一） 分布分布)10( 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X只可能取只可能取0與與1兩個值，其分布律是兩個值，其分布律是則稱則稱

11、X服從服從 分布。分布。)10( )10( 分布的分布律也可寫成分布的分布律也可寫成Xkp10pp 1樣本空間只包含兩個樣本點的試驗可用此分布樣本空間只包含兩個樣本點的試驗可用此分布描述描述又稱兩點分布又稱兩點分布（二）貝努利試驗、二項分布定義定義1 1 設(shè)試驗設(shè)試驗E E只有兩個可能結(jié)果：只有兩個可能結(jié)果： , ,且且則稱則稱E E為為伯努利試驗伯努利試驗。定義定義2 2 將試驗將試驗E E獨立地重復(fù)地進(jìn)行獨立地重復(fù)地進(jìn)行n n次，則稱這次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為一串重復(fù)的獨立試驗為n n重伯努利重伯努利( (Bernoulli) )試試驗驗。AA 及及. )10(1)(,)( pqpA

12、PpAP注：注：（1 1）伯努利試驗符合（）伯努利試驗符合（0-10-1）分布）分布（2 2）獨立指每次試驗的結(jié)果互不影響）獨立指每次試驗的結(jié)果互不影響（3 3）重復(fù)指每次試驗中）重復(fù)指每次試驗中 保持不變保持不變?nèi)纾阂幻队矌艗伻纾阂幻队矌艗乶 n次，一個袋中有黑白兩種球次，一個袋中有黑白兩種球放回抽樣摸球放回抽樣摸球n n次等都是次等都是n n重伯努利試驗重伯努利試驗pAp)(問題：問題：若用隨機變量若用隨機變量X X表示表示n n重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件A A發(fā)生的次數(shù)，求發(fā)生的次數(shù)，求X X的分布律。的分布律。解：解：X X的所有取值為：的所有取值為：0 0，1 1，2 2，

13、n.n.nPXp)1 (011)1 (1nnPpCXp221)1 (C2nnPpXpknkknPpCkXp)1 (), 2 , 1 , 0(nk驗證：驗證：1)1 ()1 (00nnkknkknnkppppCkXP二項式2）二）二 項項 分分 布布如果隨機變量如果隨機變量 X X 的分布律為的分布律為 nkppCkXPknkkn，101 為參數(shù)為參數(shù)為自然數(shù)，為自然數(shù)，其中其中10 pnpnBXpnX,記作的二項分布，服從參數(shù)為則稱隨機變量（1 1）顯然，當(dāng)）顯然，當(dāng) n=1 n=1 時時 二項分布就是（二項分布就是（0-1)分布分布 （2 2）且）且n n重伯努利試驗可用服從二項分布的隨機重

14、伯努利試驗可用服從二項分布的隨機 變量描述變量描述)10(1,0,)1(1 pkppkXPkk例例3 一張考卷上有一張考卷上有5 5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4 4個可個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué)能答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能答對生靠猜測至少能答對4 4道題的概率是多少？道題的概率是多少？分析：每答一道題相當(dāng)于做一次分析：每答一道題相當(dāng)于做一次BernoulliBernoulli試驗，試驗，對的題數(shù)表示該學(xué)生靠猜測能答解：設(shè)X 41APA，則答對一道題則答則答5 5道題相當(dāng)于做道題相當(dāng)于做5 5重重BernoulliBernoulli試驗試驗415

15、，則BX返回主目錄所以所以44XPP道題至少能答對54XPXP5445414341 C6412離散型隨機變量返回主目錄例例4對同一目標(biāo)進(jìn)行對同一目標(biāo)進(jìn)行400400次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為中率均為0.020.02，試求至少擊中兩次的概率，試求至少擊中兩次的概率分析：對目標(biāo)進(jìn)行分析：對目標(biāo)進(jìn)行400次射擊相當(dāng)于做次射擊相當(dāng)于做400重重Bernoulli試驗試驗數(shù)次射擊中命中目標(biāo)的次表示令解400:X 則由題意則由題意4000.02XB，2離散型隨機變量返回主目錄4003992111011 0.98400 0.02 0.980.9972p Xp Xp XP

16、 X 由例題可以看出，在實際中，把概率很小由例題可以看出，在實際中，把概率很小( (一一般要求在般要求在0.050.05以下以下) )的事件稱為小概率事件在一的事件稱為小概率事件在一次試驗中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的，但當(dāng)試次試驗中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的，但當(dāng)試驗次數(shù)充分大時，小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎驗次數(shù)充分大時，小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎是必然的，因此不能忽視小概率事件。是必然的，因此不能忽視小概率事件。 （三）（三） 泊松分布泊松分布(Poisson) 如果隨機變量如果隨機變量 X X 的分布律為的分布律為 ，210! kekkXPk 為為常常數(shù)數(shù)其其中中0 則稱隨機變量則

17、稱隨機變量 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為的的Poisson Poisson 分布分布記為記為)(XPoisson分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用PoissonPoisson分布是概率論中重要的分布之一分布是概率論中重要的分布之一自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標(biāo)都服從自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標(biāo)都服從PoissonPoisson分布分布例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時間間容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，及書本上出錯隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，及書本上出錯誤數(shù)等等，在一