同振動方向簡諧振動的合成

1、7.2 7.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成一一. 同方向同頻率的簡諧振動的合成同方向同頻率的簡諧振動的合成1. 分振動分振動 : 2. 合振動合振動 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 仍是簡諧振動仍是簡諧振動討論討論: (1)若兩分振動同相，即若兩分振動同相，即 2 1=

2、2k (k=0,1,2,)(2)若兩分振動反相，即若兩分振動反相，即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)當(dāng)當(dāng) A1=A2 時時, A=0則則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強，兩分振動相互加強，則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱，兩分振動相互減弱，旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成當(dāng)當(dāng) A1=A2 時時 , A=2A111 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA二二. 同方向不同頻率的簡諧振動的合成同

3、方向不同頻率的簡諧振動的合成1. 分振動分振動 :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振動合振動 :21xxx當(dāng)當(dāng) 時時, 當(dāng)當(dāng) 時，時，合振動振幅的頻率為合振動振幅的頻率為:12122vvv結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 不再是簡諧振動不再是簡諧振動21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktA 有最大值有最大值A(chǔ) 有最小值有最小值t )(12tAtAxxx2121coscos當(dāng)當(dāng) 2 1 時時 , 2 - - 1 2 + + 1令令)2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt隨隨 t 緩變緩變隨隨 t

4、快變快變ttAxcos)(拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象（振幅相同頻率相近的簡諧振動的合成）（振幅相同頻率相近的簡諧振動的合成）tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212合振動合振動 :分振動分振動 :結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 可看作是振幅緩變的簡諧振動?？煽醋魇钦穹徸兊暮喼C振動。xx2x1ttt拍頻拍頻 : 單位時間內(nèi)單位時間內(nèi)合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即 12122)(vv/vOOO三三. .垂直方向同頻率簡諧振動的合成垂直方向同頻率簡諧振動的合成1.1.分振動分振動2. 合運動合運動)(sin)cos(21221221222212AyAxAy

5、Ax討論討論 當(dāng)當(dāng) = 2- 1=k （k為整數(shù)）時為整數(shù)）時: 0221222212AyAxAyAx 當(dāng)當(dāng) =( 2k +1 ) /2（k為整數(shù)）時：為整數(shù)）時： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAy 當(dāng)當(dāng) 為任意值時，軌跡仍為橢圓，只不過是斜橢圓，為任意值時，軌跡仍為橢圓，只不過是斜橢圓， 不同橢圓相對坐標(biāo)軸的傾斜程度不同。不同橢圓相對坐標(biāo)軸的傾斜程度不同。 結(jié)論結(jié)論 1. = k 時，合振動是諧振動，振動頻率與分振動相時，合振動是諧振動，振動頻率與分振動相同，但方向不同。反之，一個任意方向的諧振動一定同，但方向不同。反之，一個任意方向的諧振動一定可

6、以分解為兩個頻率相同、振動方向垂直的諧振動?？梢苑纸鉃閮蓚€頻率相同、振動方向垂直的諧振動。 2. k 時，合振動不是諧振動，軌跡是橢圓或圓。時，合振動不是諧振動，軌跡是橢圓或圓。反之，橢圓或圓振動可以分解為兩個頻率相同、振動反之，橢圓或圓振動可以分解為兩個頻率相同、振動方向垂直的諧振動。方向垂直的諧振動。 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = 3 /2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第四象限）（第四象限）兩振動互相垂直，兩振動互相垂直，但頻率不同但頻率不同 若若 2： 1為簡單整數(shù)比時，合振動軌跡為穩(wěn)定的閉為

7、簡單整數(shù)比時，合振動軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線（振動是周期的），這些曲線稱為利薩如圖，合曲線（振動是周期的），這些曲線稱為利薩如圖，見見P123，圖，圖6.25 若若 2： 1不是不是簡單整數(shù)比時，合振動軌跡永不閉合簡單整數(shù)比時，合振動軌跡永不閉合（振動是非周期的）。（振動是非周期的）。7.3 阻尼振動和受迫振動阻尼振動和受迫振動一一. 阻尼振動阻尼振動1. 阻尼力阻尼力xf 2. 振動的微分方程振動的微分方程(以彈簧振子為例以彈簧振子為例)xkxxm 0220 xxnx 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù): 2 n = / m3. 阻尼振動的振動方程、表達式和振動曲線阻尼振動的振動方程、表達式和振動曲線（2）過阻尼

8、和臨界阻尼）過阻尼和臨界阻尼（1）小阻尼）小阻尼 ( n2 02 )cos(220tnAexnt202n202n臨界阻尼臨界阻尼:過過 阻阻 尼尼:在過阻尼和臨界阻尼時在過阻尼和臨界阻尼時, ,無振動。無振動。二二. 受迫振動（受迫振動（在外來策動力作用下的振動在外來策動力作用下的振動） 1. 系統(tǒng)受力系統(tǒng)受力 彈性力彈性力阻尼力阻尼力 x 周期性策動力周期性策動力tFxkxxm cos 0 kx2. 受迫振動的微分方程受迫振動的微分方程tfxxnxcos220 tFFcos0其中其中mFfmnmk002FkxF 1xF 23.3.受迫振動微分方程的受迫振動微分方程的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)解解) cos(t

9、Ax小阻尼情況下，受迫振動微分方程的解為：小阻尼情況下，受迫振動微分方程的解為：) cos()cos(2200tAtneAxnt在加外力初期，振動情況比較復(fù)雜，經(jīng)過一段時間后，在加外力初期，振動情況比較復(fù)雜，經(jīng)過一段時間后，第一項將減弱到可以忽略不計，此時受迫振動達到穩(wěn)定第一項將減弱到可以忽略不計，此時受迫振動達到穩(wěn)定的等幅振動的等幅振動（受迫振動達到穩(wěn)態(tài)）（受迫振動達到穩(wěn)態(tài)）。穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解為為由理論計算可得穩(wěn)態(tài)時的振幅和初相：由理論計算可得穩(wěn)態(tài)時的振幅和初相：2/12222024)(nfA2202tann（1）位移共振（）位移共振（振幅取極值）振幅取極值）討論討論（振幅共振曲線）（振幅共振曲

10、線）共振頻率共振頻率 : :2202nr共振振幅共振振幅 : :2202nnfAr說明：說明： 從能量角度來看，受迫振動過程中，振動物體因從能量角度來看，受迫振動過程中，振動物體因策動力作功而獲得能量，該能量等于因阻尼而消策動力作功而獲得能量，該能量等于因阻尼而消耗的能量。耗的能量。 受迫振動達穩(wěn)態(tài)后，其角頻率與策動力的角頻率受迫振動達穩(wěn)態(tài)后，其角頻率與策動力的角頻率相同，振幅和初相與初始條件無關(guān)，它依賴于振相同，振幅和初相與初始條件無關(guān)，它依賴于振子性質(zhì)、阻尼的大小及策動力。子性質(zhì)、阻尼的大小及策動力。2/12222024)(nfA（2）速度共振）速度共振 (速度振幅速度振幅 A取極值取極值)共振頻率共振頻率 : :0共振速度振幅共振速度振幅 : :nfm2v（速度