高等數(shù)學(xué)課件：6 第一型線積分和面積分-2

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第一型線積分和面積分第一型線積分和面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實例實例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點在且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的

2、的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實例實例XYZiS ),(iii niiiiiiiiiiiSMSMniSn10),(lim),()2 , 1( 小小塊塊個個任任意意分分成成將將解解2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41.1.定義定義二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義 niiiiiiiiiiSfSSnzyxf10),(lim;),()4()()3(),()2( ;)1( 若若也也用用它它表表示示面面積積小小塊塊分分成成將將上上有有界界在在是是光光滑滑的的設(shè)設(shè)各小塊曲面各小塊曲面直徑的最大值直徑的最大值 ).(),(也也稱稱為

3、為第第一一類類曲曲面面積積分分上上對對面面積積的的曲曲面面積積分分在在則則該該極極限限值值稱稱為為 zyxf即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 dSzyxf),(記作記作2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5( , , ):( , , )x y zMMx y z dS面密度為連續(xù)函數(shù)的光滑曲面 質(zhì)量為2.2.對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì)的的面面積積）（ SdS11 21),(),(),(221dSzyxfdSzyxfdSzyxf）當(dāng)當(dāng)（則及可分為分片光滑的曲面若, 21200

4、7年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6xyDxoyyxzz面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在設(shè)設(shè) ),(:. 1 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,(),(由由曲曲面面積積分分的的定定義義三、計算法三、計算法面積元素面積元素 dxdyzzdSyx221-轉(zhuǎn)化為二重積分轉(zhuǎn)化為二重積分2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7三、計算法三、計算法-轉(zhuǎn)化為二重積分轉(zhuǎn)化為二重積分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面2.:( ,

5、 )yy x z若曲面2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8 計計算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9 dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10yxD例例2. 計算曲面積分,dzS其

6、中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11面面。所所圍圍區(qū)區(qū)域域的的整整個個邊邊界界曲曲及及其其中中計計算算1:,)(2222 zyxzdSyx1:),(2222 yxDyxyxzxy：錐錐 平平錐錐平平錐錐)12(2)12(20102 rdrrddxdyyxdSyxxyD)(12()(2222 2)()(1

7、,222222 yzxzyxyyzyxxxz1:),(1:22 yxDyxzxy平平例例3 3解解2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于拋物面拋物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yx

8、yxDxy, 0, 0 yx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14rdrrrrd 102222041sincos4 drrrd21050412sin22 令令241ru duuu2514141 .42015125 sincos ryrx 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15例例5. 計算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd

9、 原式 = 分別表示 在平面 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16練習(xí)練習(xí): 設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計算.d)1 (12SyxI解解:1zyx11o.d)1 (12SyxI上上下下左左后后在四面體的四個面上平面方程Sd投影域yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上0zyxdd2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d10210101021122111) 13(zzxxddyyxxIxd)1 (1d)13(102102ln) 13(2332007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18四、