高等數(shù)學(xué) §9.1多元數(shù)量值積分概念與性質(zhì)ppt課件

1、 設(shè)有一立體，它的底是xoy面上的有界閉D 區(qū)域， 側(cè)面是以的邊界 D曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的 z 柱面，它的頂是曲面),(yxfz ，0),(yxf且在 上D連續(xù)。這種立體稱為曲曲頂頂柱柱體體。試求該曲頂柱 體的體積。 9.1.1 9.1.1 數(shù)量函數(shù)積分的概念數(shù)量函數(shù)積分的概念例例1.1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積9.19.1多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì)多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì) 當(dāng)hyxf),(h為常數(shù),0h)時(shí)，為平頂柱體， 平頂柱體的體積底面積高V。yxzoD),(yxfz （2 2）近近似似 ) , (iii) , 2, , 1(ni，用以) , (iif為高， i為底的平頂柱體

2、的體積iiif) , (近似代替?zhèn)€第i 小曲頂柱體的體積，即 iiiifV) , () , 2, , 1(ni。 （1 1）分割。）分割。 將D 區(qū)域任意分成個(gè) n子域：1，2，n。 并以i) , 2, , 1(ni表示個(gè)第i子域的面積。然后以每個(gè) 子域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于軸 z的柱面，這些 柱面就把原來的曲頂柱體分成 n 個(gè)小的曲頂柱體。 ),(iiiyxzo) ) , ( , , (iiiifiiiifV) , (（4 4）取取極極限限 設(shè)max1的直徑inid，當(dāng)0d時(shí)上面和式的極限就是曲頂柱體的體積，即 iniiidfV10) ,(lim。（3 3）求求和和 將這 n 個(gè)小平

3、頂柱體的體積相加，得到原曲頂柱體 體積的近似值，即 iniiiniifVV11) ,( 設(shè)有一平面薄片在xoy平面上占有區(qū)域 D，其面密度 為 D 上的連續(xù)函數(shù)) ,(yx，求該平面薄片的質(zhì)量 m。 xyoD) , (iii 均勻薄片的質(zhì)量 面密度薄片面積（1 1）分分割割 將薄片(即區(qū)域 D)任意分成 n 個(gè)子域：n,21， 并以i) , 2, , 1(ni表示個(gè)第i子域的面積。 3求和求和4取極限取極限iniiidm10) ,(lim3 3二重積分的定義二重積分的定義即 Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim。 （1）定義定義 設(shè)) ,(yxf是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)。將閉

4、 區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域:i) 3, , 2 , 1(i，并 以i表示個(gè)第i小閉區(qū)域的面積。) , (iii， 作和式 iniiif1) ,(。若當(dāng)各小閉區(qū)域的最大直徑 0d時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限為) ,(yxf在閉 區(qū)域 D 上的二重積分，記作Ddyxf),(，即 Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim。 （1）其中稱為二重積分號(hào)，D稱為積分區(qū)域，) ,(yxf稱為被積函數(shù)，)d ,(yxf稱為被積表達(dá)式，d稱為面積元素， yx與稱為積分變量，iniiif1) ,(稱為積分和。若函數(shù)) ,(yxf在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則二重積分 Ddyxf),(必定存在。

5、由二重積分的定義，曲頂柱體的體積就是柱體的高0) ,(yxf在底面區(qū)域D上的二重積分，即 DdyxfV),(。 非均勻分布的平面薄片的質(zhì)量，就是它的面密度) ,(yx在薄片所占有的區(qū)域D上的二重積分，即 Ddyxm),(。 （1）當(dāng)0) ,(yxf時(shí)，曲頂柱體的體積DdyxfV),(。yxzoD),(yxfz 4.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（2）當(dāng)0) ,(yxf時(shí)，曲頂柱體在xoy平面的下方，曲柱體的體積DdyxfV),(，或DdyxfV),(。（3）當(dāng)) ,(yxf在上D有正有負(fù)時(shí)，若規(guī)定在xoy平面上方的柱體體積取正號(hào)，在xoy平面下方的柱體體積取負(fù)號(hào)，則Ddyxf),(的值就

6、是這些上下方柱體體積的代數(shù)和。例例根據(jù)二重積分的幾何意義判別積分的值根據(jù)二重積分的幾何意義判別積分的值. .:,d222222ayxDyxaD 3421d 3222ayxaD 解解投影區(qū)域?yàn)閳A域投影區(qū)域?yàn)閳A域.:222ayxD 被積函數(shù)半球面為被積函數(shù)半球面為,222yxaz 由二重積分得幾何意義由二重積分得幾何意義xyzO.323a 性性質(zhì)質(zhì) 1 1 DDdyxfkdyxkf),(),(（k 為常數(shù)） 。 性性質(zhì)質(zhì)2 2 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(。 性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若DDD21，21DD ，則 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf。 性性

7、質(zhì)質(zhì) 4 4 若在D上1) ,(yxf， 的面積為且 D， 則Dd。 .對(duì)積分區(qū)域具有可加性這一性質(zhì)表明二重積分9 9. .1 1. .2 2 二二重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì) 推推論論：DDdyxfdyxf),(),(。) ,() ,() ,(yxfyxfyxf，DDDyxfyxfyxfd) ,()d ,(d) ,(，即得性性質(zhì)質(zhì)5 5 若在D上) ,() ,(yxgyxf，則DDdyxgdyxf),(),(。 性質(zhì)性質(zhì) 6 6 若 M 和 m 分別為) ,(yxf在閉區(qū)域 D 上的最大值和 最小值，為D的面積，則 MdyxfmD),(。 設(shè)) ,(yxf在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，記的面積為 D，則

8、在 D上至少存在一點(diǎn)) ,(，使得),(),(fdyxfD。 性質(zhì)性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分中值定理.上有定義在的幾何形體，函數(shù)是一個(gè)有界的可以度量設(shè)f數(shù)量函數(shù)積分的概念數(shù)量函數(shù)積分的概念), 2 , 1nknk（個(gè)小部分任意分割成將定義1，的直徑記（其度量仍記為knkkdnk1max), 1kknkkkMfM)(1，作和式任取點(diǎn)如何選取，當(dāng)如何分割，點(diǎn)如果不論將kkM，即記為上的積分在上可積，極限值為幾何形體在極限，則稱函數(shù)時(shí)，上述和式有確定的dMfffd)(,0kknkdMfdMf)(lim)(10kknkkdDfdyxf),(lim,10二重積分；二重積分；三重積分：三重積分：kkknkkdvfdvzyxf),(lim),(10第一型曲線積分第一型曲線積分對(duì)弧長的曲線積分：kkknkkdLsfdszyxf),(lim),(10kknkkdLsfdsyxf),(lim),(10第一型曲面積分第一型曲面積分對(duì)面積的曲面積分：kkknkkdAfdAzyxf),(lim),(10的度量knkdd10lim時(shí)，1f