概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_習(xí)題集含答案匯總

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程習(xí)題集西南科技大學(xué)成人、網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院版權(quán)所有習(xí)題【說明】：本課程概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(編號(hào)為01008)共有計(jì)算題1,計(jì)算題2等多種試題類型，其中，本習(xí)題集中有 口等試題類型未進(jìn)入。、計(jì)算題11 .設(shè)A, B, C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A, B, C表示出來。(1) A出現(xiàn)，B、C不出現(xiàn)；(2) A、B都出現(xiàn)，而 C不出現(xiàn)；(3)所有三個(gè)事件都出現(xiàn)；(4)三個(gè)事件中至少一個(gè)出現(xiàn)；(5)三個(gè)事件中至少兩個(gè)出現(xiàn)。2 .在分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7,8的八張卡片中任抽一張。設(shè)事件A為“抽得一張標(biāo)號(hào)不大于4的卡

2、片”，事件B為“抽得一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片”，事件C為“抽得一張標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的 卡片”。試用樣本點(diǎn)表示下列事件：(1) AB; (2) A+B; (3) B; (4) A-B; (5) BC3 .寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1) 一枚硬幣擲二次，觀察能出現(xiàn)的各種可能結(jié)果；(2)對(duì)一目標(biāo)射擊，直到擊中4次就停止射擊的次數(shù)；(3)二只可辨認(rèn)的球，隨機(jī)地投入二個(gè)盒中，觀察各盒裝球情況。4 .設(shè)A, B, C為三事件，用A, B, C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生；(2) A, B, C都發(fā)生；(3) A, B, C中不多于一個(gè)發(fā)生。5 .甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以 A

3、、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)。試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：(1)至少有一人命中目標(biāo)(2)恰有一人命中目標(biāo)(3)恰有二人命中目標(biāo)(4)最多有一人命中目標(biāo)(5)三人均命中目標(biāo)6 .袋內(nèi)有5個(gè)白球與3個(gè)黑球。從其中任取兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率。7 .兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03 ,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02。加工出來的零件放在一起， 并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍， 求任意取出的零件是合格品的概率。8 .某地區(qū)的電話號(hào)碼由 7個(gè)數(shù)字組成(首位不能為0),每個(gè)數(shù)字可從 0, 1, 2,，9中任取，假定該地區(qū)的電話用戶已經(jīng)飽和，

4、求從電話碼薄中任選一個(gè)號(hào)碼的前兩位數(shù)字為24的概率。9 .同時(shí)擲兩顆骰子(每個(gè)骰子有六個(gè)面，分別有點(diǎn)數(shù)1, 2, 3, 4, 5, 6),觀察它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆骰子得點(diǎn)數(shù)不同的概率。10 . 一批零件共100個(gè)，其中次品有10個(gè)，今從中不放回抽取 2次，每次取一件，求第 一次為次品，第二次為正品的概率。11 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為求(1)系數(shù)A及B; (2) X的概率密度f (x) ; (3) X的取值落在(1,2)內(nèi)的概率。12 .假設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為求：(1) c 的值；(2) P( 1 X 1)13 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)

5、A(B arctan x)(C arctan y),求常數(shù)A, B, C ( x ),(14 .設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為求 PX 2, P0 X 3, P2 X15 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為16 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)5/2; (2)求概率密度fX(x)1 x 1 x 01 x 0 x 1 ,求 E(X) , D(X) o0 其它5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.17.設(shè)X的概率密度為f(x)x e2x e2x 0，試求兇的數(shù)學(xué)期望。x 018 .搜索沉船，在時(shí)間t內(nèi)發(fā)現(xiàn)沉船的概率為1 e t (入0),求為了發(fā)現(xiàn)沉船所需的平 均搜索時(shí)間。19 .設(shè)x服從參數(shù)為的

6、指數(shù)分布，即x有密度函數(shù)求：E (X) , E (X2)。X E(x) *一 *20 . X , ( )稱為對(duì)隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，求 E(X )及D(X )。 ；D(x)21 .已知XB(n,p),試求參數(shù)n,p的矩法估計(jì)值。22 .設(shè)總體X在a,b上服從均勻分布f(x,a,b) 飛 x a,b，試求參數(shù)a,b的矩法估計(jì)量。0x a, b23 .設(shè)Xi, ,Xn是來自N ( ,2)的樣本，求,2的最大似然估計(jì)。24 .設(shè)有一批產(chǎn)品。為估計(jì)其廢品率p,隨機(jī)取一樣本 Xi, X2,，X,其中(i=1,2,，n)且有 20。但 ，2均未知。又設(shè)2的矩估計(jì)量。0取得合格品Xi 1取得廢品1

7、n 一 則？ X Xi是p的一致無偏估計(jì)量。n i i25.設(shè)總體X的均值 及方差2都存在,2=5000 (小時(shí)2)的正態(tài)分布。Xi, X2,., Xn是來自X的樣本。試求 ，26.某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)電池，其壽命長期以來服從方差。今有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命波動(dòng)性較大。為判斷這種想法是否合乎實(shí)際，隨機(jī)取了 26只這種電池測(cè)出其壽命的樣本方差s2=7200 (小時(shí)2)。問根據(jù)這個(gè)數(shù)字能否斷定這批電池的波動(dòng)性較以往的有顯著變化(取a=0.02 ,查表見后面附表)？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)附表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.967

8、10.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949x 2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.

9、16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽樣分布27.某電站供應(yīng)10000戶居民用電，設(shè)在高峰時(shí)每戶用電的概率為0.8,且各戶用電量多少是相互獨(dú)立的。求：1、同一時(shí)刻有8100戶以上用電的概率；2、若每戶用電功率為100W則電站至少需要多少電功率才能保證以0.975的概率供應(yīng)居民用電？（查表見后面的附表）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.

10、40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949X 2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽樣分布28.某種電子元件的壽命 x（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布， j J均未

11、知，現(xiàn)測(cè)得16只元件, 其樣本均值為X 241.5,樣本標(biāo)準(zhǔn)方差為 S=98.7259。問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽 命大于225 （小時(shí)）？T分布表Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下有正態(tài)分布N(4.55 , 0.108 2)。現(xiàn)在測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為4.28, 4

12、.40, 4.42, 4.35, 4.37。問：若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無變化？( a=0.05)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽樣分布30.已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下

13、有正態(tài)分布N(4.55 , 0.108 2)?，F(xiàn)在測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37。問：若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無變化？(a=0.05)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.9945

14、0.99460.99480.9949常用抽樣分布答案、計(jì)算題11 .解：(1) ABC ; (2) ABC； (3) ABC; (4) A+B+C ; (5) AB+BC+CA (每個(gè) 3 分)2 .解：(1) AB=2 , 4; (2) A+B=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8;(3) B =1 , 3, 5, 7; (4) A-B=1 , 3; (5) BC =1,2,345,6,7,8(每個(gè) 3 分)3 .解：(1) (HH) (HT) (TH) (TT) (2) 4, 5, 6,(3) (12,0)(0,12)(1,2)(2,1 )其中：1 為一號(hào)球，2 為二號(hào)球(每個(gè) 5 分

15、)4 .解：(1)利用事件的運(yùn)算定義，該事件可表示為ABC o(2)同理，該事件可表示為ABC。(3) AB BC AC (每小題5分)5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.5.解：(1) A B C(2) ABC ABC ABC(3) ABC ABC ABC(4) BC AC AB(5) ABC (每小題3分)解：基本事件的總數(shù) n C。；基本事件數(shù)k C；。故所求的概率7.解：任取一零件，設(shè)Bi, B2分別表示它是第一、 二臺(tái)車床的產(chǎn)品，A表示它是合格品。 (4分)則21P(Bi) P(B2)- 33P(A| B1)

16、 1 0.03 0.97, P(A|B2) 1 0.02 0.98 (10 分) 由全概率公式得21八P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) 0.97 0.98 0.973 (15 分) 33 8.解：第一位數(shù)字不能是 0,這時(shí)，基本事件的總數(shù)為1069 (3分)A表示“任選的電話號(hào)碼的前兩位數(shù)字恰好為24”。由于電話號(hào)碼的前兩個(gè)數(shù)字為24,后五個(gè)數(shù)字中每一個(gè)可以由0,1,2,9中任取，故對(duì)A有利事件的數(shù)目為105。(6分)于P(A)1051069是1/ 八、(15 分)909,解：一個(gè)基本事件是由兩個(gè)數(shù)字組成的排列( i , j ), i,j=1,2,3,4,5,6,而

17、i,j可以重復(fù)，故基本事件的總數(shù)為62。(5分)A表示“兩顆骰子擲得的點(diǎn)數(shù)不同”。對(duì)A有利的基本事件數(shù)等于所有i wj排列方式的數(shù)目，即從 1, 2, 3, 4, 5, 6這六個(gè)數(shù)字任取其2A6 5作不可重復(fù)的排列方式數(shù)履,所以 P(A)皆 一(15 分)6610.解：記A 第一次為次品、B 第一次為正品，要求P (AB)。(2分)90,已知 P (A) =0,1,而 P (B A)90 ,因此(8分)99P (AB) = P (A) P (B A)90=-0.1 = 0,091 (15 分)9911.解:2X(1)由于 F( ) lim F(x) 1 ,所以有 lim (A Be 2) A

18、1。又由于XXX為連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x)應(yīng)為x的連續(xù)函數(shù)，應(yīng)有x2lim F(x) 0 lim F (x) lim (A Be 2 ) A Bx 0x 0x 0x2所以 A+B=0 , B=-A=-1，代入 A、B 之值得 F (x)1 e 2 x 0 (5 分)0 x 00 (10 分)0x22(2)對(duì)函數(shù)F(x)求導(dǎo)得x的概率密度為f(x) F'(x) xe0b(3)由 Pa X b f (x)dx F(b) F(a)式有 a1P1 X 2F(2) F(1) e 2 e 20.4712 (15分)12.解：(1)因?yàn)閒(x)是一密度函數(shù)，所以必須滿足f (x)dx 1,于是有(

19、5分)-3解得c 一(10分)8101P( 1 X 1) f(x)dx 0dx f (x)dx12,11°(15 分)3x2dx 1088A(B1 ( 4 分)13 .解：由分布函數(shù)的性質(zhì)得：Jim A(B arctanx)(C arctany) ylim A(B arctan x)(C arctan y) xlim A(B arctan x)(C arctan y) y由此可解得1C 2yA(B )(C arctan y) 0 (8 分) 2A(B arctan x)(C ) 0 (1 2 分) 2(1 5 分)0, x 114 .解：(1) FX(x)lnx, 1 x e1, x

20、 ePX 2 FX(2) In 2 (3 分)P0X3 Fx (3) Fx(10) 1 01(6 分)555P2X5/2 Fx(-)Fx (2)ln - ln 2 ln -(9 分)2240,其他(2)fx(x)Fx(x)'i(15 分)-,1 x e x15.解：因概率密度 f(x)在x 1,x2處等于零，即知x當(dāng) x 1 時(shí)，F(xiàn) (x) f (x)dxx0dx 0, (3 分)17文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.xF (x) f (x)dx 1 f (x)dx 當(dāng)x 2時(shí)，x(8分)1 0dx 1. xF(x)當(dāng)1 x 2時(shí)，故所求分布函數(shù)是xf (x)dxx2(x

21、 1) x i1x0dx 1 2(112(x 2).x(12 分)0,x 1,_一1一 一 F(x)2(x2),1x 2,(15 分)x1,x 2.16.解：E(X )xf (x)dx011 x(1 x)dx o x(1 x)dx 0 (7分)2-2D(x) E(X ) E(X)2 ,0 21 2x f (x)dx1 x (1 x)dx qx (11-x)dx -(15 分)617.解：令 Y=|X ,所以:E(X)0|x | f(x)dxxe .x dx2xe,xdx 1 (152分）18.解：設(shè)發(fā)現(xiàn)沉船所需要的搜索時(shí)間為X。由題設(shè)知PX tet F(t) (t>0)(5分)故X的概率

22、密度為 f （t）E(X)=1/19.解:分）20.解:0,可見 X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，因此0入,即發(fā)現(xiàn)沉船所需要的平均搜索時(shí)間為E (X)E(X2)*E(X )、計(jì)算題221.解：因?yàn)閄i1/入。（15分）可解得:22.解0 xe xdx2 ,x de0E(X)E(X)=npn?xdexxexdx -(7分)xdxxexdx0xexdx2(152E(X),D(X)*；D(X )D(XE(X)D(X)D(X)D(X)D(X)=np(1-p),n(Xi X)2 i 12(Xi X)2i 11nXin i 1由樣本的一階原點(diǎn)矩和二階中心矩及矩估計(jì)法知n?(1 ?)(10 分)(1 nnXii

23、1nXi)2 i 1 p 一 (Xi n i 1(20 分)為 E(X)D(X)(b a)212X)2nXi ，i 1c21 nS (n) (Xin i 12,X) (10 分)所以可建立方程:_ 2S (n)a? b?2 (2。分)(? b?)212解得：? X 、,3S(n)b?X <3S(n),這就是參數(shù)a,b的矩法估計(jì)值。23.解：x的密度函數(shù)為fx (x)(x )212 2re 2，故似然函數(shù)為(2分)2L( )(-1-)nen (Xi )26 6分)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:l()nln(2n .ln2n(Xi )2 i 1(10 分)似然方程為1 nF(Xii 10； (14 分)解

24、得:24.解:E(Xi)D(X。E(?)n2(Xi)(18 分)X, 2 s2,由題設(shè)條件p 1 (1 p) 0E(X：) E(XJ2可以驗(yàn)證使似然函數(shù)達(dá)到最大。(20 分)(2分)p2 1 (1 p)02 p2p(1P) (4分)1 nE(X) E(-Xi)n i 11 nE(Xi) n i 1p (6 分)由定義知?是p的無偏估計(jì)量，又1n 1n _1n1p(1 p)D(P) D(X) D(- XJ -12D(Xi);p(1 p)np(1 p)p(1 P)n i 1n i 1n i 1nn(10 分)由契比雪夫不等式，任給e>0,所以：lim P| ? p| 0 (17分)n1 n

25、故？ X Xi是廢品率p的一致估計(jì)量。n i 11 n (20 分)從而，？ X Xi是廢品率p的一致無偏估計(jì)量。n i 125.解:1 E(X)222 E(X2) D(X) E(X)27分)解得分別以A,A2代替1, 2,得2的矩估計(jì)量分別為2 (14 分)1A2A21O 21- OXi2 X (Xi X)2. (20 分)n i 1n i 126.解：本問題要求在水平0.02 下，檢3假設(shè) 氏 d 2=5000 (H: b >5000) (4 分)因?yàn)?12a/2(n 1)120.02/2(25)1 1.524, (8 分)22a/2(n 1)0.02/2(25) 44.314 (1

26、2分)2而 2邛_25 7200 36(18 分)05000由于；a/2(n 1)22/2(n 1)所以接受即認(rèn)為在0.02水平下這批電池的波動(dòng)性較以往的并無顯著的變化。(20分)27.解：(1)設(shè)隨機(jī)變量 Yn表示10000戶中在同一時(shí)刻用電的戶數(shù)，則YnB(10000,0.8),(2分)于是np=10000X0.8=8000, v'np(1p),10000 0.8 0.2 40 (6 分)8100npYnnp10000np所以概率為 P8100 Yn 10000 Pn n.np(1P)np(1 p). np(1p)P2.5Y_p_ 50(50)(2.5) 1 0.9938 0.0062 (10 分).np(1 p)（2）若每戶用電功率為 有（12分）100W則Yn戶用是功率為100YnW設(shè)電站供電功率為Qvy則按題意P100Yn Q PYn_Q_ PYn np100. np(1 p)800010040Q(1008000 )0.975 4080001.96,解得 Q=8