滬科版-數(shù)學(xué)-八年級上冊-《等腰三角形》要點全析

1、初中-數(shù)學(xué)打印版初中-數(shù)學(xué)-打印版等腰三角形要點全析1. 等腰三角形（isosceles triangle）有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.如圖14-3-1, ABC中，AB=ACt則ZVlBC 是等腰三角形.相等的兩條邊叫腰，另一條邊BC叫底邊，兩腰所夾的角叫頂角，如ZBAC, 底邊和腰的夾角ZABC和ZACB叫底角.如圖 14-3-2 中，ZC= 90o, AC=BCt 那么，AC. BQ 為腰，AB 邊為底，ZA. ZB 為 底角，ZC為頂角.【說明】要理解等腰三角形的泄義，需注意以下幾點：（1）等腰三角形的底不一泄在下方，而頂角不一定在上方，如圖14-3-2中，AB為底, ZC為頂

2、角.它是根據(jù)兩腰的位置來確左的.（2）等腰三角形的三邊仍要滿足條件：任意兩邊之和大于第三邊（或任意兩邊之差小a于第三邊）.若圖14-3-1中，AB=AC=m, BC=a,則2m>a,即加> 亍時，才能構(gòu)成三角 形，否則不成立.如邊長分別為2, 2.5的三條線段不能構(gòu)成三角形，因為2+2<5.例如：（1）下列各組數(shù)據(jù)為邊長時，能否組成三角形？ =2, b=3, c=5：=4,方=3, c=2;“=1, b=2, <?=2：=2 005, b=2 004, c=2 008.（2）已知等腰三角形的兩邊為6 cm, 7 cm,求苴周長.（3）已知等腰三角形的兩邊長為2 cm,

3、7 cm,求苴周長.解：（1）（0由于2+3=5,即"+b=c,而不滿足"+b>c,不能組成三角形. 由于2÷3=5>4,即b+c>a,所以"、b、C可以組成三角形. 由于1 +2>2,即“+b>c,所以"、b、C可以組成三角形. 由于"+b>c,因此"、b、C可以組成三角形.（2）因等腰三角形的兩邊長分別為6 cm、7cm當(dāng)腰長為6 cm時，周長為6÷6÷7=19 （Cm）當(dāng)腰長為7 cm時，周長為6÷7÷7=20 （cm）.等腰三角形的周長為19

4、 Cm或20 cm.（3）因等腰三角形的兩邊長分別為2 cm, 7 cm,所以腰長為7 cm,而不能是2 cm.若 為2cm,則2÷2=4<7,不能組成三角形.因此周長為7+7+2=16 （cm）,等腰三角形的周長為16 cm.2. 等腰三角形的性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角“）如圖 14-3-3, AABC , AB=AC.則ZB=ZC證法一：（利用軸對稱）過點A作AABC的對稱軸AD. AB=AC,：.點A在BC的垂直平分線上.又 AD為ZXABC的對稱軸， ABDACD （軸對稱性質(zhì)） ZB=ZC證法二：（作頂角平分線）過點人作AD平分ZBAC交BC于

5、D,如圖14-3-3,圖 14-3-3AB=AC< ZBAD=ZCAD n = A）在 AABD 和ZXACD 中 IZIU ABDACD （SAS）. ZB=ZC【說明】還可以作底邊BC的中線和髙來證明.證法三：如圖1434 過B. C分別作AC、AB邊上的高BD、CE,圖 14-3-4AB=AC.< ZA = ZA (公共角)，在BD 和ACE 中，IZyWB = ZAEC=90°' AABDAACE (AAS). BD=CEBC=CB<在 RtABCD 和 RtCBE 中，IBD=CE ：. RtBCDRtCBE, (HL). ZB=ZC 證法四：如圖

6、14-3-5,分別取A乩AQ的中點E、D,連接B0 CET AB=AC, AD=DC= 2 AG AE=BE= 2 AB,：.AD=BE=AE=DCAB=AC9< Z = ZA,在ZXABD 和/MCE 中，IAD=AE, AABD ACE (SAS) BD=CE.BC=CB,< CE=BD,在ZkBCE 和 ACBD 中E=CD9：.HBCE竺厶CBD (SSS). ZABC=ZACB 【說明】從以上的證法二、三、四中可以看出，要證兩角相等，都是想方設(shè)法把它們放 在兩個三角形中，證兩個三角形全等.3. 等腰三角形的性質(zhì)2 (簡稱“三線合一”)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

7、底邊上的高線相互重合.如圖14-3-6,在AABC中，AB=AC9 AD為頂角的平分線，那么AD既是中線，又是髙 線，這三條線重合.在使用時，在這三條線段中，只要作出其中一條，另外兩條也就可以認 為作岀來了團 14-3-6即ZkABC 中，AB=AC,若 AD 平分ZBAC,則 AD丄BC, BD=CD;若 BD=CD,則 AD丄BG 上BAD=ZCAD;若 AD丄BG 則 BD=DC, ZBAD=ZCAD.因此，等腰三角形中的這條線非常重要，一旦作岀，邊、角的等量關(guān)系就都有了.【說明】（I） “三線合一"僅限于等腰三角形中才有，其他三角形中沒有.（2）在一般三角形中，這三條線是不會

8、重合的.圖 14-3-7如圖14-3-7,在ZvlBC中，AD為高，AE為中線，AF平分ZBAC,因此，這三條線不 重合.只有等腰時，三條線才會重合；反過來，若某一三角形中三線重合，則該三角形為等 腰三角形.（3）在今后的證明題中，經(jīng)常會使用''三線合一“進行證明.例如：AABC中，AB=AC9 BD丄AC交AC于D,如圖1牛3-8求證：ZBAC=2ZDBCM 圖 14-3-8證法一：在 ZBCD 中，V BD 丄AC, ：. ZBDC=90°. ZDBC=90c-ZC.在BC 中，V AB=AC, ：. ZABC=ZACB ZBC=180o- (ZABC-I-ZAC

9、B) = 180o-2ZACB=2 (90。一ZC) ZBAC=2ZDBC證法二：借助于三線合一的性質(zhì)，過A作/1M丄BC于M,則AM平分ZBAC9 ZBAC=2ZBAM=2ZCAM 又 BD丄AC交AC于D, AM丄BC交BC于 ZDBC=90o-ZC又 AMlBC, ：. ZC4f=90o-ZC, /. ZDBC=ZCAM4. 等腰三角形的性質(zhì)3 （軸對稱性）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的髙）所在的直線就是 它的對稱軸.圖 14-3-9如圖14-3-9, ZkABC中，AB=AC. AD平分ZBAG 則AABC的對稱軸為AD所在的直 線，ZBDOZCD過D作DE

10、丄AB,交AB于E,作DF丄AC,交AC于F.由ADACD 可知 DE=DF同理，過D分別作AB、AC邊上的中線和角平分線，它們都相等.因此，得到等腰三 角形的一個重要結(jié)論.重要結(jié)論：過等腰三角形底邊的中點向兩腰所作的髙線、中線以及角平分線，苴與兩腰 所截得的線段都分別對應(yīng)相等.5. 等腰三角形的性質(zhì)4 （兩腰上的對應(yīng)線段相等）等腰三角形兩腰上的中線、髙線和兩底角平分線對應(yīng)相等.例如：如圖14-3-10,則 BD=CE.證明： AB=AC9 ：. ZABC=ZACB （等邊對等角）又BD丄AC9 CE丄AB, ZBDC=ZCEB=狩ZBCD=ZCBE,< ZBDC=ZCEB,在ABCD

11、和ZkCBE 中，IBC=C從 BCDCBE (AAS). BD=CE.丄 丄或 SMBC= 2 AB CE= 2 AC BDT AB=AC. ：. BD = CE.此法較為簡便.同樣道理，可分別作岀兩腰上的中線，兩底角的平分線，它們也分別對應(yīng)相等.6. 等腰三角形的判定定理（等角對等邊）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.例如：如圖 14-3-11, AABC 中，若ZB=ZC,貝J AB=AC證明：過點A作AD平分ZBAC,交BC于點D,則 ZBAD=ZCA D.在 ZkABD 和 ZXACD 中， ABDACD （AAS）. ：.AB=AC因此

12、，這一結(jié)論可直接利用.【說明】（I）在使用“等邊對等角”或“等角對等邊”時，一定要注意是在同一個三角形中 才有這一對應(yīng)關(guān)系，不在同一三角形中的邊、角沒有這一對應(yīng)關(guān)系.（2）有了這一結(jié)論，為今后證明線段相等又添了一種重要的解題途徑.例如：如圖14-3-12, ABC中，AB=C, BD、CE相交于O點.且BE=CD求證：OB=OC A證明： AB=AC9：.ZABC= ZACB （等邊對等角）BE=CD,< ZEBc=ZDCB,在ZBCE 和 ACBD 中BC=C9：.HBCEm厶CBD （SAS） ZBCE= ZCBD,即 ZOBC= ZBCo：.OB=OC （等角對等邊）【說明】證兩條

13、線段相等，若這兩條線段在同一個三角形中，可利用等腰三角形的判泄 定理來證明.7. 已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形已知線段“、b,求作等腰三角形ABC,使底邊BC=u,高為b.作法：（1）作線段BC=“：（2）作線段BC的垂直平分線MN與BC交于點D：（3）在MN上截取AD=b；（4）連接AB、AC, ABC就是所求的等腰三角形.【說明】（1）由作法知MN為BC的垂直平分線，. AB=AC：.ABC為等腰三角形，如圖14-3-13（2）以前所作的三角形分別為：已知三邊，兩邊夾角，兩角夾邊和已知斜邊、直角邊 求作三角形，今天又學(xué)習(xí)了已知底邊和底邊上的高求作等腰三角形，共有五種情況，今后還 將

14、學(xué)習(xí)一些更為復(fù)雜的作法，都是以這五種為基礎(chǔ)進行作圖的.8等邊三角形（equikiteral triangle）（1）泄義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形.如圖14-3-14, ZMBC中，AB=BC=CA.則ABC為等邊三角形（2）性質(zhì)： 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60。.如圖14-3-14中，若AABC 為等邊三角形，則ZA = ZB=ZC=60°. 除此之外，還具有等腰三角形的一切性質(zhì)，如三線合一，軸對稱等.（3）判定： 三個角都相等的三角形是等邊三角形. 有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.下而證明以上兩條判左.判崔：如圖14-3-15,已知ZXA

15、BC中，ZA=ZB=ZC求證：AABC是等邊三角形.圖 14-3-15證明： ZB=ZC, ：. AB=AC又 T ZA = ZB AC=BC：.AB=AC=BG AABC是等邊三角形判泄：如圖143J5,已知AABC中，AB=AG ZB=60。求證：AABC是等邊三 角形.證明： AB=ACf ZB=ZC又 Zfi=60o, ZB=ZC=60°.又 T ZA +ZB+ZC= 180°, ZA = I80o- (ZB÷ZC) =60°. ZA = ZB= ZC, AB=BC=AC.AABC為等邊三角形.(4) 應(yīng)用：例如：如圖14-3-16, AABC為

16、等邊三角形，D、E為直線BC上的兩點，且BD=BC=CE.求ZDAE的度數(shù)圖 14-3-16分析：要求ZDAE的度數(shù)，需分開求，先求ZBAC,再求ZDAB和ZCAE.由AABC 為等邊三角形知ZBAC=60°,又T BD=BC,而BC=BA,則BD=BA9 . ZVlBD為等腰三角形， ZD=ZDAB= 2 ZABC=30°.同理可知，ZCAE=30°. 解： AABC為等邊三角形， AB=BC=AC. ZBAC= ZABC= ZACB=60°.又 T BD=BC, ：. BD=BC=AB ZDAB= ZD,又T ZABC= ZD÷ ZDAB,

17、 ZABC=2ZDAB=6Qq. ：. ZDAB=30Q.同理，ZCAE=30°.：.ZDAE= ZDAB+ ZBAC+ ZeAE= 30。+60。+30。= 120?！菊f明】本題中用到了等邊三角形的性質(zhì).再如：如圖14-3-17,已知ZVlBC為等邊三角形，D、E、F分別為AABC三邊上的點, 且BD=CE=AF,直線AD. BE、CF兩兩相交于點/?、Q、P.求證：ZkP0R是等邊三角形圖 14-3-17分析：本題既用到了等邊三角形的性質(zhì)，又用到了其判左.要證APQR為等邊三角形, 證三邊相等難度較大，可考慮證苴三角相等.也可先證ZPQR=60°,而ZPQR=ZACQ+

18、 ZQAC.又因為ZACQ+ZBCF= 60S只需證ZBCF=ZDAC,由此可聯(lián)想證ZXBCF與 CAD全等.證明： ABC為等邊三角形， ZBAC= ZABC= ZBC=60o, AB=BC= CA 又 T BD=CE=AF,：.BF=DC=AEAB=BC=CA,ZBAE= ZFBC= ZDCA,在ZXABE 和ABCF 和ZkCAD 中,IaE=BF=CD, AABE竺ABCF竺 CAD （SAS）. ZABE= ZBCF= ZCAD V ZACQ+ ZBCF=60。, A ZACQ+ ZCAQ=60Q.：.ZAQF= ZACQ+ ZCAQ=60S 即ZPQR=60°.同理，ZR

19、PQ=ZPRQ=60。:仏PQR為等邊三角形.【說明】（I）此題證明思路比較淸晰，只是步驟書寫較繁，書寫應(yīng)認真：（2）在證明過程中用到了三個三角形全等的連等形式，可仿照兩個三角形全等的方式 使用.9. 含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.團 14-3<如圖 14-3-18,在 RtAABC 中，ZC=90o, ZA=30% IjIIJ BC= 2 AB.這一性質(zhì)反過來 J_也成立即在 RtBC 中，ZC=90o, BC= 2 AB.則ZA = 30°.因此 RtABC 中，ZC 丄=90o, ZA =

20、30。OBC=亍 AB這一性質(zhì)在解題中經(jīng)常用到.例如：如圖14-3-19在RtABC中，ZBAC為直角，髙AD交BC于D ZB=30% BC= 12 米，求CD BD的長.解：在 RtzMBC 中，ZBAC=90o, ZB=30% ZC=60o. BC=IACJ_ AC= 2 BC=6 （米）在 RtZVICD 中，Y AD±BC, ZC=60o, ZCAD=30°.丄 £ DC= 2 AC= 2 ×6=3 （米） BD=BC-DC=9-6= 12-3=9 （米）【說明】在本題中兩次用到直角三角形的這一性質(zhì)，并且用的方式都一樣.10. 證明線段相等的方法

21、到目前為止.學(xué)過的證明線段相等的方法，有以下幾種：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等（在兩個三角形中）.（2）等角對等邊（在一個三角形中）.（3）軸對稱的性質(zhì)（在某條直線的兩側(cè)）.（4）角平分線的性質(zhì)（在角的平分線上的兩條線段）.（5）中點的概念（在一條直線上）.（6）利用第三條等疑線段.（7）作輔助線、創(chuàng)造條件.例如：如圖 14-3-20,點 Zx E 在 BC 上，AB=AC. AD=AE求證：BD=CE.圖 14-3-20分析：因BD與CE在一條直線上，且又在兩個三角形中，可考慮證兩個三角形全等或 用中點的概念進行證明，也可用軸對稱的性質(zhì)進行證明.證法一：用全等三角形V AB=AC9 ：. Z

22、B=ZC又 AD=AE9 ：. ZADF= ZAEF又 ZADF= ZB+ ZBAD. ZAEF= ZC÷ ZCAE.：.ZBAD=ZCAE在 ABD 和 ZA CE 中，AB=AC, ZBAD=ZCAE. AD=AE,：.ABDACE （SAS）. BD=CE.證法二：用中線如圖14-3-20,過A點作AF丄BC于F.Y AB=AC9 AF丄Ba BF=CF （三線合一）又 AD=AE. AF丄DE, DF=EF （三線合一） BF DF=CF-EF, ：. BD=CE證法三：用軸對稱過A作BC邊上的垂線，垂足為F.V AB=AC. AF丄BC,：.AABC關(guān)于直線AF對稱. BF

23、=CF同理,DF=EF BF-DF=CF-EF即 BD=CE.【說明】從以上的證明可以看出，一個結(jié)論有多種證明途徑和證明方法.11. 證明角相等的方法到目前為止，學(xué)過的證明角相等的方法，有以下幾種：（1）角平分線的沱義及性質(zhì).（2）全等三角形的對應(yīng)角相等（在兩個三角形中）.（3）等邊對等角（在一個三角形中）.（4）軸對稱的性質(zhì).（5）找第三等量角（如ZA = ZC. ZB=ZC,則ZA = ZB）.（6）作輔助線，創(chuàng)造條件.例如 如圖 14-3-2b ABC 中，AB=AC, Z1 = Z2.求證：ZBAD=ZCAD圖 14-3-21分析：要ZBAD= ZCAD.因兩角在兩個三角形中，可考慮選

24、用全等三角形和角平分 線，以及軸對稱進行證明.證法一：用全等三角形V Z1 = Z2, DB=DC在/MBD 和 ZkACD 中，AB=AC, DB=DG AD=AD9：.ZABD9ACD （SSS）. ： ZBD=ZCAD證法二：用軸對稱 Z1 = Z2, DB=DC.點D在BC的垂直平分線上.又. AB=AC, A點也在BC的垂直平分線上. AABD與ZXACD關(guān)于直線AD對稱. ZBAD=ZCAD （軸對稱的性質(zhì)）證法三：用角平分線V Z1 = Z2, DB=DC又 AB=AC,.點A、D都在BC的垂直平分線上. AD也為ZBAC的平分線（三線合一）. ZBAD=ZCA D.例如：如圖1

25、4-3-22, ZXABC中，AD平分ZBAC, AD的垂直平分線交AD于E,交BC 的延長線于F.求證：ZB=ZCAF.圖 14-3-22分析：要證ZB=ZCAF,根據(jù)全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分線也用不上, 可考慮用第三等呈角.證明：V EF垂直平分AD, ：. FA=FD Z1 = Z3÷Z4.又 ZADC為ZVlBD的外角， Zl = ZB+ Z2. ZB+ Z2= Z3+ Z4.又Z2=Z3, ZB=Z4.即 ZB=ZCAF.12. 三角形中的不等關(guān)系（1）大邊對大角：在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么這兩條邊所對的角也不等，并且較大的邊所對 的角也較大，簡稱&

26、#39;'大邊對大角”.如圖 14-3-23,在ABC 中，若 AB>AG 則ZOZB（2）大角對大邊：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么這兩個角所對的邊也不等，并且較大的角所對 的邊較大，簡稱“大角對大邊如圖 14-3-23,在ABC 中，若ZOZB9 貝IJ AB>AC【說明】（I）上述兩個泄理的使用條件是在一個三角形中，否則不成立；（2）上述不等關(guān)系具有傳遞性，即AABC中的三邊分別為心b、c,若Qb, b>c則 a>ci同樣所對的角也如此.若ZVlBC中，ZA>ZB, ZB>ZC,則ZA>ZC例如：判斷下列說法是否正確，為什么？（1）

27、在一個三角形中，若最長邊所對的角為銳角，則此三角形為銳角三角形.（2）直角三角形中，斜邊最長.（3）鈍角三角形中，鈍角所對的邊不一定是最長邊.分析：此題目的在于考查三角形中邊、角不等關(guān)系的靈活應(yīng)用情況.解：（1）正確.因最長邊對的角是最大角，而最大角是銳角，那么這個三角形一泄是銳 角三角形.（2）正確.因為直角三角形中，直角最大，那么斜邊應(yīng)是最長的.（3）不正確因為鈍角三角形中，鈍角最大，它所對的邊應(yīng)該最大，所以，上述說法 不正確.再如：已知ABC中，AB>AC, AD為BC邊上的中線.求證：ZBADVZCADE圖 14-3-24分析：要比較兩個角的大小，需將苴放入同一個三角形中.如何放入一個三角形中，通 常采用平移法，延長AD至& DE=AD,連接BE,則公BDE竺MDA,有ZE=ZCAD9 BE=AC,在ZVlBE 中，AB>BE則 ZE>ZBAD.即 ZBAD< ZCAD 成立證明：延長AD至E, DE=AD,連接BE在