八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形(提升篇)(Word版含解析)

1、八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱三角形填空題（難）1.在等腰血中，AV上BC交直線BC于點(diǎn)、D,若止則嫉的頂角的度數(shù)為【答案】30或150或90【解析】試題分析：分兩種情況：8c為腰，8c為底，根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于 斜邊的一半判斷出乙48=30。，然后分4。在48C內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求解即可.解：8c為腰,VAD1BC 于點(diǎn)。，AD= - BC ,2，ZACD=30 t如圖1 , AD在MIC內(nèi)部時(shí)，頂角NC=30。,如圖 2 , AD 在2c 外部時(shí)，頂角 NACB=180 - 30=150 ,ND J_8c 于點(diǎn) D r AD=-

2、BC , 2：.AD=BD=CD ,：,ZB=ZBAD , NC=/CAD , ：,ZBAD+ZCAD=-xl30=90 ,2.頂角 N8AC=90 ,綜上所述，等腰三角形48c的頂角度數(shù)為30?；?50?；?0。.故答案為30。或150。或90 .點(diǎn)睛：本題考查了含30。交點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A (2, 3),在x軸上找一點(diǎn)P,使得AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有 個(gè).【答案】4【解析】【分析】以。為圓心，0A為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P、P3,以A為圓心，A0為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P4,作0A的垂直平分線交x軸于P2

3、.【詳解】解：如圖，使AAOP是等腰三角形的點(diǎn)P有4個(gè).故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中尋找等腰三角形，掌握兩圓一線找等腰三角形是解題的關(guān) 鍵.3 .如圖，P為NAOB內(nèi)一定點(diǎn)，M , N分別是射線OA, 0B上一點(diǎn)，當(dāng)PMN周長(zhǎng)最小 時(shí)，ZOPM = 50,則 NAOB 二.【答案】400【解析】【分析】作P關(guān)于0A , 0B的對(duì)稱點(diǎn)Pi , P2.連接OP1,0P2.則當(dāng)M , N是PiP2與0A , 0B的交點(diǎn) 時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：NOPiM=NOPM=50。，OPi=OP2=OP， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖：作P關(guān)于0A ,

4、0B的對(duì)稱點(diǎn)Pi , P2.連接OPi , OP2.則當(dāng)M , N是P#2與OA、OB的交點(diǎn)時(shí)，PIVIN的周長(zhǎng)最短，連接PQ、P2O ,PPi關(guān)于OA對(duì)稱，.ZPiOP=2ZMOP , OP1=OP , PiM=PM , ZOP1M=ZOPM=50同理，NP20P=2NNOP , OP=OP2 ,A ZP1OP2=ZPiOP+ZP2OP=2 ( ZMOP+ZNOP ) =2ZAOB , OPi=OP2=OP ,.P】0P2是等腰三角形.,.ZOP2N=ZOPiM=50 ,.,.ZP1OP2=180o-2x50o=80 ,ZAOB=400 ,故答案為：40【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出

5、圖形，證得PQP2是等腰三角形是解題的關(guān)犍.4.在A43C中，邊48、4c的垂直平分線分別交邊8C于點(diǎn)。、點(diǎn)石，ZDAE = 20 ,則 =【答案】80或100【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)D和點(diǎn)E的位置不確定，需分析誰(shuí)靠近B點(diǎn)，則有如下圖（圖見(jiàn)解析）兩種 情況：（1）圖1中，點(diǎn)E距離點(diǎn)B近，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，BD = AD,AE = CE,從而有/3 = /1 + /942/。= /2 + /4七，再根據(jù)三角形的 內(nèi)角和定理可得N8 + NC+N8AC = 180。，聯(lián)立即可求得：（2）圖2中，點(diǎn)D距離點(diǎn)B 近，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，BD = AD、AE = CE,從而有N8 = N3

6、,NC = N4 ,由三 角形的內(nèi)角和定理得N3+NC+N5AC = 180。，聯(lián)立即可求得.【詳解】由題意可分如下兩種情況：（1）圖1中，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，BD = AD、AE = CE,.ZB = Z1 + NDAE, ZC = Z2+ ZDAE（等邊對(duì)等角），兩式相加得 NB + NC = N1 + NDAE + N2+NZME,又 N1 + N2+NZME = ZB4C:.ZB+ZC = ZBAC+ZDAE = ZBAC+20由三角形內(nèi)角和定理得NB + NC+NB4c = 180。， /. ABAC+200 + ABAC = 180ABAC = 80（2）圖2中，根據(jù)垂直平分線

7、性質(zhì)可知，BD = AD,AE = CE,：.NB = Z3, ZC = Z4（等邊對(duì)等角），兩式相加得ZB + ZC = Z3+Z4,又 N3 +N4+NDAE = NB4C,N3+N4 = ABAC - ZDAE = ABAC - 20.ZB+ZC = ZBAC-20由三角形內(nèi)角和定理得NB + NC+NB4c = 180。，ABAC - 20 + ZBAC = 180.ZBAC = 100故答案為80或100.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）、等腰三角 形的定義和性質(zhì)（等邊對(duì)等角）、以及三角形內(nèi)角和定理，本題的難點(diǎn)在于容易漏掉第二 種情況，出現(xiàn)

8、漏解.5.如圖，NMON=30。，點(diǎn)飛、A?、A3在射線ON上，點(diǎn)氏、B2, B3在射線0M上， A】B】A2, AA2B2A3, 4A3B3A4均為等邊三角形，從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記a】，第 2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為S,以此類推，若04=3,則。2=, 02019=.【答案】6：3X22。9【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A衛(wèi)】A2BzA3B3，以及az=2a1=6,得出 a3=4ai，a4=8an a5=16ai進(jìn)而得出答案.【詳解】解：如圖，Bi,vA1B1A2是等邊三角形，.A1B1=A2B1 Z3=Z4=Z12=60%AZ2=120%VZMON=30,

9、 AZl=180o-120-30=30XVZ3=60%.Z5=180-60o-300=90%VZMON=Z1=30* 0Ai=AiBi=3，AA2B1=3,A2B2A3、AsB3A4 是等邊三角形,.*.Zll=Z10=60% Z13=60Z4=Z12=60% ，AiBlA2B2A3B3，B1A2B2A3,AZ1=Z6=Z7=3O% Z5=Z8=90,Aa2=2ai=6a3=4ai， a4=8sia5=16ai,以此類推：a2o】9=22o】8a】=3x220】8故答案是：6： 3Q2。包【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a2=2ai=6, a3=4ai，

10、a4=8ai, as=16ai.進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.6.如圖，8c中，48=8, AC=6, NA8c與NAC8的平分線交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE/BC,分別交A8、4C于點(diǎn)。、E,則的周長(zhǎng)為,A【答案】14.【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得8D=DF, C=F,則的周長(zhǎng)=A8+4C= 14.【詳解】81平分 N48C,：.ZDBF=ZCBF,9：DE/BC.；./CBF=/DFB,：.ZDBF=ZDFB.：.BD=DF.同理FE=EC,，AAED 的周長(zhǎng)=4D+4E+ED=48+4C=8+6 = 14.故答案為：14.【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角

11、形的等角對(duì)等邊的性質(zhì).7.如圖，在四邊形A8CQ中，AB = AD BC = DC , NA = 60。，點(diǎn)石為AO邊上一 點(diǎn)，連接8O.CE, CE與BD交于點(diǎn)F,且CEAB,若A8 = 8, CE = 6,則8c的 長(zhǎng)為.【答案】2/【解析】【分析】由=BC = OC知點(diǎn)AC都在BD的垂直平分線上，因此，可連接AC交30于【答案】8cm.【解析】【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)ED交BC于M,延長(zhǎng)AD交BC于N,作DFBC,VAB=AC, AD 平分NBAC, AANXBC. BN=CN, VZEBC=ZE=60, .BEM為等邊三角形， .EFD為等邊三角形， BE=6cmt DE=2cm,ADM

12、=4,:BEM為等邊三角形，AZEMB=60,VANXBC.AZDNM=90,AZNDM=36,，NM=2,，BN = 4, / BC=8.9.如圖，NBOC=60。，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=10cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB 以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)0出發(fā)沿0C以lcm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí) 出發(fā)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)仁 s時(shí)，POQ是等腰三角形.【答案】?或10【解析】【分析】根據(jù)APOQ是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)P在BO上，分別計(jì) 算，即可得解.【詳解】當(dāng)PO=QO時(shí)，APOQ是等腰三角形，如圖1所示 當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，VPO=AO-A

13、P=10-2t, OQ=t當(dāng)PO=QO時(shí),10-2r = r當(dāng)PO=QO時(shí)，POQ是等腰三角形，如圖2所示 當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)PO=AP-AO=2t-10, OQ=t當(dāng)PO=QO時(shí),2t-10 = t解得I = 10故答案為：?或10【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想是 解題關(guān)鍵.10.已知，NMOA/=30,點(diǎn)4、4、4在射線O/V上，點(diǎn)81、Bz. 83在射線OM上，4814、428/3、48/a均為等邊三角形，若O4=q,則67874的邊長(zhǎng)為【答案】64a【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出4瓦4歷小83,根據(jù)30角所對(duì)

14、直角邊 等于斜邊的一半得到482=28認(rèn)2，進(jìn)而得出483=484=4, 484=88A=8a, 485=168vV 從而得到答案.【詳解】4832 是等邊三角形，48i=428i，Z3=Z4=Z12=60 , ：. Z2=120 .V ZMON=30 , AZ 1=180 -120 - 30 =30 .又/3=60 , AZ5=180o -600 -30 =90 .VZA4OA/=Zl=30 ,，041=481=。，：.A2Ba,A28N3、是等邊三角形，/.Zll=Z10=60 , Z 13=600 .V Z4=Z 12=60c ,，418142824383，BlA2/B1A39 A Zl

15、=Z6=Z7=30 , Z5=Z8=90 , ：.A2B2=2BiA2, 8/3=283，483=4832=4。，4484=8832=8。， 485=16832=16。，以此類推：487=64832=64。.故答案為:64a.【點(diǎn)暗】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30角的直角三角形的性質(zhì)，根 據(jù)已知得出48產(chǎn)48認(rèn)2, 48產(chǎn)8832, 485=1682進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱三角形選擇題（難）11.如圖，ZAOB = 20P,。尸平分NAO8,且OP = 2,若點(diǎn)、M、N分別在。4、OB 上，且為等邊三角形，則滿足上述條件的;“的有（）A. 1個(gè)B,

16、2個(gè)C. 3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意在OA、OB上截取OE=OF=OP,作NMPN=60 ,只要證明PEMgZkPON即可反 推出APIVIN是等邊三角形滿足條件，以此進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.【詳解】解：如圖在OA、0B上截取OE=OF=OP,作NMPN=60.二OP 平分NAOB. ZAO3 = 120。，AZEOP=ZPOF=60C ,VOE=OF=OP,.,.OPE, AOPF是等邊三角形，EP二OP, ZEPO=ZOEP=ZPON=ZMPN=60 ,，NEPM=NOPN, 在PEM和PON中， PEM = /PONE，故錯(cuò)誤：利用三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等得到 GD

17、手GH ,故錯(cuò)誤.【詳解】 ： DEAB,DF AC,.ZDEA=ZDFA=90 , , abac = no,，ZEDF=360-ZDEA-ZDFA-ZBAC=60 ,故正確； ZBAC = 120.ZB+ZC=60o, 點(diǎn)瓦尸分別是AABC的邊A3、4c的中點(diǎn)，DE A.AB.DF A.AC tBH=AH, AG=CG,NBAH=NB, NGAC=NC, .,.ZBAH+ZGAC=60 , 無(wú)條件證明NGAD=NHAD, AD不一定平分ZGAH ,故錯(cuò)誤； VZADF+ZDAF=90 , ZB=ZBAH, /BAH + ZDAF W 90 . N8WNAF，故錯(cuò)誤：/B + /BHE = 9

18、0 , N8W30 , /BHE于60 , ZDHG 工 60， ZDHG + ZHDG.:GD豐GH、故錯(cuò)誤，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用三角形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和求角度，利用 對(duì)頂角相等，等角對(duì)等邊推導(dǎo)邊的關(guān)系.16.如圖，在R3ABC中，ZACB=90, ZA=30,在直線AC上取一點(diǎn)P,使得ZkPAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）A. 6個(gè)B. 5個(gè)C. 4個(gè)D. 3個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)題意，PAB為等腰三角形，可分為：PA=PB, PA=AB, PB=AB三種情況，如圖所示：符合條件的

19、點(diǎn)P共有4個(gè)：故選擇：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的判定定理解 答.17.如圖，中，NAC8 = 90，AC = 3, 8C = 4, 48 = 5,將邊4：沿 CE翻 折，使點(diǎn)八落在八8上的點(diǎn)D處：再將邊8c沿CF翻折，使點(diǎn)8落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn) 6處，兩條折痕與斜邊A8分別交于點(diǎn)、F,則線段EF的長(zhǎng)為（）253【答案】B【解析】【分析】先利用折疊的性質(zhì)證明出4ECF是一個(gè)等腰直角三角形，因此EF=CE,然后再根據(jù)文中條件綜合得出S“bc=LaCBC=LaBCE,求出CE進(jìn)而得出答案即可.22【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)可知：CD=AC=3, BC=

20、8C=4, NACE=/DCE, NBCF=N8CF, CE_LAB,，ZDCE+Z 3CF=NACE+/BCF, ZACB=90,，NECF 二 45。，又CE_LAB,ECF是等腰直角三角形，AEF=CE,r11又 VSaabc= - AC-BC= - AB-CE,22，ACBC=ABCE,V AC = 3, BC = 4, AB = 5t：,CE = .所以答案為B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形與等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.18.如圖，己知48C與CDE均是等邊三角形，點(diǎn)8、C、E在同一條直線上，*與8。 交于點(diǎn)O, AE與8交于點(diǎn)G,AC與8D交于點(diǎn)F

21、,連接0C、FG,則下列結(jié)論： Q）AE=BD ；AG=8F ；FGII BE ；N 80C=Z E0C.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）BXT EA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一求證，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】(1 )和OCE均是等邊三角形，點(diǎn)8 , C, E在同一條直線上，：.AC=BC t EC=DC , ZACB=ZDCE=60 t A ZACf=Z8CD= 120 . AC = BC在88 和4C 中，V ZBCD = ZACE t ：./BCDAACE , ：.AE=BD t 故結(jié)論正 CD = CE確；(2： BCDAECA .：/

22、GAC=/FBC .又,/4CG=N8CF=60。，AC=BC , A AACGABCF , ：.AG=BF ,故結(jié)論正確；(3 ) / ACGW4BCF t ：. CG=CF .Z ACB=A DCE=60, Z ACD=60 t /. FCG 為等邊三角形，.N FGC=60 ,Z FGC=N DCE t ：. FGW BE ,故結(jié)論正確； (4)過(guò) C作 CN_L4 于 N, CZ_L8。于 Z,貝INC/VE=NCZD=90。. V AACEABCD，:/CDZ=/CEN ./CZD = /CNEEaCDZ 和CEN 中, ZCDZ = /CEN .:CDZWACEN，:.CZ=CN

23、. CD = CE9：CNLAE t CZLBD , ：.ZBOC=ZEOC ,故結(jié)論正確.綜上所述：四個(gè)結(jié)論均正確.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定 理等重要幾何知識(shí)點(diǎn)，有一定難度，需要學(xué)生將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用.19.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2, 2)、B(4, 0),若在x軸上取點(diǎn)C,使ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()A A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到AB=2 JI，然后分類討論：若AC=AB：若BC=AB：若CA=CB,確 定C點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】 點(diǎn)A

24、、B的坐標(biāo)分別為(2, 2)、B(4, 0). .AB=2 0如圖，若AC=AB,以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)(含B點(diǎn)),即(0, 0)、(4, 0), .滿足ZkABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；若BC=AB,以B為圓心，BA為半徑畫(huà)弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，即滿足aABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)：若CA=CB,作AB的垂直平分線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，即滿足ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有綜上所述：點(diǎn)C在x軸上，aABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有4個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】本題主考查了等腰三角形的判定以及分類討論思想的運(yùn)用，分三種情況分別討論，注意等 腰三角形頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上.20.如圖，在 AABC中，ZB = 2ZC, AHA.BC, AE平分C，M 是 BC中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）(1) AB + BE = AC (2) AB +