基本不等式教案第一課時(shí)

1、日（星期 ）第 周第 課時(shí)授課時(shí)間：20 年 月課題：§ 3.4基本不等式同32第1課時(shí)授課類(lèi)型：新授課【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定 理中的不等號(hào)取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2 .過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；3 .情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【能力培養(yǎng)】培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)習(xí)能力，辯證地分析問(wèn)題的能力，學(xué)以致用的能力，分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式abb ab的證明過(guò)程;2教教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式J

2、ab a-b等號(hào)成立條件2【板書(shū)設(shè)計(jì)】課題：§3.4基本不等式Jab 當(dāng)上（第1課時(shí)）21.課題導(dǎo)入基本不等式 Jab 的幾 2何背景：如圖是在北東召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)， 會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家 趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明 暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代 表中國(guó)人民熱情好客。你能在 這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān) 系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不 等關(guān)系。2.講授新課1 .問(wèn)題探究一一探究 圖形中的不等關(guān)系。2 .總結(jié)結(jié)論：3 .思考證明：你能給 出它的證明嗎？補(bǔ)充例題3 .隨堂練習(xí)4 .課時(shí)小結(jié)5、能力提高【教學(xué)過(guò)程】1 .課題導(dǎo)入a b基本不等式j(luò)a

3、b 的幾何背景：2如圖是在北京召開(kāi)的第 24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng) 車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。 你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不 等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2 .講授新課1 .問(wèn)題探究一一探究圖形中的不等關(guān)系。將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形ABC由右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為 a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為 4ab2。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的2 2和是2ab,正萬(wàn)形的面積為 a b。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：a2 b2

4、2abo當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形 EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有22_a b 2ab。2 .總結(jié)結(jié)論：一般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取""號(hào)) 結(jié)論的得出盡量發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性，讓學(xué)生總結(jié)，教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)。3 .思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)閍2 b2 2ab (a b)2當(dāng) a bt,(a b)2 0,當(dāng) a b5l(a b)2 0,2_22所以，(a b) 0,即(a b ) 2ab.4. 1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替 a、b ,可得a b

5、 2JOE ,通常我們把上式寫(xiě)作：,ab ab（a>0,b>0）2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式相S2用分析法證明：要證ayb, ab（I）只要證a+b （2）(3)(4)要證（2）,只要證a+b- 0要證（3）,只要證a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)3）理解基本不等式疝號(hào)的幾何意義 探究：課本第110頁(yè)的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn) C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE連接AR BDs你能利用這個(gè)圖 形得出基本不等式 Vab a-的幾何解釋嗎？2易證 RtAC DRtADC B,那么 CE2=CA CB即 C D=

6、Vab .這個(gè)圓的半徑為ab ,顯然，它大于或等于 CD即a_b Jab,其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) C與 22圓心重合，即a= b時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式 Tab 里上幾何意義是“半徑不小于半弦”2評(píng)述：1.如果把a(bǔ)b看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)， Jab看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)， 2那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)2.在數(shù)學(xué)中，我們稱(chēng)ab為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng) Jab為a、b的幾何平均數(shù).本 2節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)補(bǔ)充例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1) - - >2; x y(2) (x+y) (x2+y2) (

7、x3+y3) > 8 x3y3.a b分析：在運(yùn)用定理：ab ，ab時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把2握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.解：x, y 都是正數(shù)1- x >0, >0, x2>0, y2>0, x3>0, y3>0y x、xyxyxy(1) 22 =2 即一->2.yxyxyx(2) x+y>2x'xy >0x2 + y，2jx2y2 >0x3+y，2vx3y3>0. . (x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 2xy - 2x2y2 - 2；x3y3 =8 x3y3即

8、(x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 8 x3y3.3.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證(a+b) (b+c) (c+a) > 8 abc分析：對(duì)于此類(lèi)題目，選擇定理：ab JOE (a>0, b>0)靈活變形，可求得結(jié)2果.解： a, b, c都是正數(shù)a+ b>2 vab >0b+ c>2 Vbc > 0 c+ a>2 Jac > 0(a+b) (b+c) (c+a) > 2Jab 2Vbe 2Jac = 8 abc即(a+b) (b+c) (c+a) > 8 abc.4.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2+b2>2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)(b ),2幾何平均數(shù)(Tab )及它們的關(guān)系(b > vab ).它們成立的條件不同，前者只要求a、2b都是實(shí)數(shù)，而