重慶市南開(kāi)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試試題文(含解析)

1、重慶市南開(kāi)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試試 題文（含解析）注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改 動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在 本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知集合 A x|sinx 0 , B x|log2 x 2 ,則集合 AI B （）A. 0B.C. 0,D

2、.2【答案】B【解析】【分析】求出集合A B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】A= x|x=kTt, kCZ, B= x|0vxv4,.An B= 兀.故選 B.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，涉及三角方程的解法以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用.2 .命題“若x 0 ,則2x 1 ”的否命題是（）A.若 x0 ,貝 2x1B.若 x0 ,貝 2x1C.若 x0,貝 2x1D.若2*1 ,貝U x0【答案】C【解析】分析】根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，直接寫(xiě)出否命題即可.【詳解】命題“若 x>0,則2x>1的否命題是：若x<0,則2x<1,故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系

3、應(yīng)用。3 .已知復(fù)數(shù)z,若z的實(shí)部為1,且三的模長(zhǎng)為2,則z （）iA. 1 iB. 1 iC. 1 , '3iD. 1 . 3i【答案】D【解析】2列式求得m值，則z可求.【分析】由已知設(shè)z=1+mi （你R）,代入,再由模長(zhǎng)為 i【詳解】設(shè)z= 1+mi (mC R),則i,=3i'mi iiJm2 1 2,A.今年每天氣溫都比去年氣溫高C.去年8-11號(hào)氣溫持續(xù)上升D.今年8號(hào)氣溫最低解得 mJ3 .，z= 1J3i .故選 D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的公式應(yīng)用。4 .今年入夏以來(lái)，我市天氣反復(fù)，降雨頻繁.在下圖中統(tǒng)計(jì)了上個(gè)月前 15天的氣溫，以及相對(duì)去

4、年同期的氣溫差（今年氣溫 -去年氣溫，單位：攝氏度），以下判斷錯(cuò)誤的是（）B.今年的氣溫的平均值比去年低觀察圖象，即可判斷結(jié)果?！驹斀狻坑蓤D可知，1號(hào)溫差 負(fù)值，所以今年1號(hào)氣溫低于去年氣溫，故選項(xiàng)A不正確;除6、7號(hào)，今年氣溫略高于去年氣溫外，其它日子，今年氣溫都低于去年氣溫，所以今年的 氣溫的平均值比去年低，選項(xiàng)B正確；今年8-11日氣溫上升，但是氣溫差逐漸下降，說(shuō)明去年8-11號(hào)氣溫持續(xù)上升，選項(xiàng) C正確；由圖可知，今年 8號(hào)氣溫最低，選項(xiàng) D正確； 綜上，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模能力。5.設(shè) a sin 2, b logo.3 , c 40.5,則()A.

5、b a cB. a b cC. c a bD.b c a【答案】A【解析】 【分析】先得出a,b,c的范圍，從而得出 a, b, c的大小關(guān)系.【詳解】' 0 a sin2 1 , b log0.3 log。/ 0, c 40.5 40 1，b< a< c,故選 A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小。26.不等式x 1 323x 1 3的解為()A. 1,1B. 1,03C. 0,1D.,01,【答案】B【解析】【分析】22 _將不等式x 1 3 3x 1 3化為V(x 1)2> #(3x 1)2 ，再利用函數(shù)y W的單調(diào)性即可解出

6、。22 詳解】x 1 3 3x 1 3 等價(jià)于 3 (x 1)2>3(3x 1)2 (x 1)2(3x 1)2解得1 x 0 .故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與根式的轉(zhuǎn)化，以及募函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。7.函數(shù) y sin 2A.B.C.D.先把橫坐標(biāo)擴(kuò)先把橫坐標(biāo)擴(kuò)先把橫坐標(biāo)縮/先把橫坐標(biāo)縮/個(gè)單位 32-個(gè)單位3一個(gè)單位32M個(gè)單位3口何變換得到cosx的圖像()由題意利用誘導(dǎo)公式 y cosx sin(x 一),再根據(jù)函數(shù)y= Asin (x+巾)的圖象變換規(guī)律, 2得出結(jié)論.【詳解】先把函數(shù) y=sin (2x )的圖象先把橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，可得y=sin (x至)的圖象，再向左平

7、移 2一個(gè)單位，可得y=sin (x )= cos x的圖象，故選 B.336【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及函數(shù)y = Asin (x+4 )的圖象變換規(guī)律。8.求值2sin5o cos25o<3sin25oA. 2【答案】D【解析】B. ,3C. 1D. -1由sin5o sin(30o 25°),依兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可.2sin5 cos25、3sin252sin 3025 cos25x3sin252sin30 cos252cos30 sin25 cos25、3sin252cos30 sin25J3sin252巨2、3=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用

8、兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。9 .已知等腰梯形的上底與高相等，腰長(zhǎng)為72,則該梯形的面積最大值為()A. 2B. 3C. 12D. 3 ' 32【答案】C【解析】【分析】設(shè)上底與高均為x,利用勾股定理求得下底的長(zhǎng)度，結(jié)合等腰梯形的面積公式列出代數(shù)式，利 用三角代換求最大值.【詳解】設(shè)上底與高均為 x (0vx< J2),則下底長(zhǎng)為 2穴X.梯形的面積Sx 2 2 x2 x2x - 2 x2 x令 xV2sin ，1,S= 2sin 2 a +2sin a cos a ,2sin 2°, 一 24時(shí)，Smax【點(diǎn)睛】本題通過(guò)計(jì)算等腰梯形的面積，考查三角代換以及三角函數(shù)的

9、最值求法。10 .新高考的改革方案開(kāi)始實(shí)施后，某地學(xué)生需要從化學(xué)，生物，政治，地理四門(mén)學(xué)科中選課,每名同學(xué)都要選擇其中的兩門(mén)課程.已知甲同學(xué)選了化學(xué)，乙與甲沒(méi)有相同的課程，丙與甲恰有一門(mén)課相同，丁與丙也沒(méi)有相同課程.則以下說(shuō)法正確的是（）A.丙沒(méi)有選化學(xué)B. 丁沒(méi)有選化學(xué)C.乙丁可以兩門(mén)課都相同D.這四個(gè)人里恰有2個(gè)人選化學(xué)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意合理推理，并作出合理的假設(shè)，最終得出正確結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得，甲選擇了化學(xué)，乙與甲沒(méi)有相同課程，乙必定沒(méi)選化學(xué)；又.丙與甲有一門(mén)課相同，假設(shè)丙選擇了化學(xué)，而丁與丙無(wú)相同課程，則丁一定沒(méi)選化學(xué)；若丙沒(méi)選化學(xué)，又二丁與丙無(wú)相同課程，則丁必

10、定選擇了化學(xué).綜上，必定有甲，丙或甲，丁這兩種情況下選擇化學(xué)，故可判斷A, B不正確，D正確。假設(shè)乙丁可以兩門(mén)課都相同，由上面分析可知，乙丁都沒(méi)有選擇化學(xué)，只能從其它三科中選兩科。不妨假設(shè)選的是生物、政治，則甲選的是化學(xué)和地理，而丙和甲共同選擇了化學(xué)，另一門(mén)課丙只能從生物、政治中選一科，這樣與“丁與丙也沒(méi)有相同課程”矛盾，故假設(shè)不成立，因此C不正確?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力。2211.過(guò)雙曲線C .12 1 a 0,b 0的右焦點(diǎn)且垂直于 x軸的直線l與雙曲線的兩條漸 a b'近線圍成面積為3y3的正三角形，則雙曲線 c的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. 2B. 3.3C. 4D. 4,

11、3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正三角形面積公式求出邊長(zhǎng)，計(jì)算出C,再利用b tan 30o Y1,以及c2 a2 b2 ,a3能求出雙曲線 C的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】如圖，直線AB過(guò)雙曲線 C的右焦點(diǎn)，且 OAB是面積為3 J3的等邊三角形，|OA |2 373 OA= OB= AB= 2向，.C=2V3 cos30 =3, 4又 b tan30o ，且 c2= a2+b2.a312.已知f x cosx ,點(diǎn)P 0, 1 ,若y f x圖像上存在一點(diǎn)Q x0,y0處的切線與直線PQ和y軸圍成底邊在y軸上的等腰三角形，則2xo 1 tan xoXoA. 2B. 3C. 4D. 6設(shè)切線與y軸交于H

12、,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線方程，令 x=0,可得H的坐標(biāo)，由題意可得| QH= I QP,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得xo 1 CosXo，代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)可得sinxo所求值.【詳解】設(shè)y f(x)圖象上一點(diǎn)Q( %, cosx。)處的切線與y軸交于H,f xcosx的導(dǎo)數(shù)為 f Xsin x ,可得切線的斜率為sin x0,所以切線方程為 y cosxosin Xo(xXo),(o<X0< 1)2令 x=0,可得 y cosx0 xosinxo,可得 H (0, cosxo Xo sin Xo),由題意可得|QH=|QP,即|QH2=IQP2,即 Xo2Xo sin Xo2

13、22Xo 1 CosXo ,可得 Xo sin Xo11 cosxo cosxo ,即 xosinxo2xo1 tanxo則-oXo1 cosxosinxo(sinxo1 cosxo)sinxo?cosxo1 2cosxo cos2xo sin2xo ? sinxosinx0 1 cosx0cosx02cosx0 1 cosx0sinx0 1 cosx0sinx0? 2.cosx0故選A.2,頂角的余弦值為-,8【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變換。二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。16題第一空2分，第二空3分。13. A

14、BC的內(nèi)角A, b, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,且asinC 2ccosA,則 tan A .【答案】2【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，邊化角即可得出。【詳解】由正弦定理得，sin Asin C= 2sin CcosA.。是 ABC勺內(nèi)角，0v Cv 兀，即 sin C>0.sin A= 2cosA tan A= 2.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系應(yīng)用。14 .已知圓錐的正視圖是如圖的等腰三角形，若該三角形的腰長(zhǎng)為【分析】 由題意知圓錐的母線長(zhǎng)，求出底面半徑，即可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題意知圓錐的母線長(zhǎng)為1=2,頂角的余弦值為 二，底面半徑為 8r 1

15、22 22 2 2 213,如圖所示;2 ,82【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的應(yīng)用，圓錐的結(jié)構(gòu)特征以及圓錐側(cè)面積的計(jì)算。15 .已知定義在R上的奇函數(shù)f x滿足f x f 2 x ,則f 1og2 48 f log 2 3.【答案】0【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，f (x)為奇函數(shù)，則有f ( - x) = - f (x),又由 f (x) = f (2 x),則有 f (2 x) = - f ( x),即 f (x+2) = - f (x),變形可得：f(x+4)=- f(x+2)= f(x),即函數(shù)f(

16、x)是周期為4的周期函數(shù)，則 f log 2 48f (4 log 2 3) f (log 2 3),故 f 1og2 48f log 2 3=0?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用。16.已知函數(shù)f x sin0 滿足 f 1 f 3 f 9 m ,且 f x 在 3,9上無(wú)最小值，則 ,函數(shù)f x的單調(diào)減區(qū)間為 【答案】(1). (2). 8k 2,8k 2 k Z4【解析】【分析】由題意可得x = 2、x=6為函數(shù)f(x)的圖象上2條相鄰的對(duì)稱軸，f(2)為最小值，f(6)為最大值，由此求出函數(shù)的解析式，可得它的減區(qū)間.【詳解】.函數(shù) f (x) =sin (

17、co x+4) («> 0)滿足 f (1) =f (3) =f (9) =mi 且 f x在3,9上無(wú)最小值，x=2、x=6為函數(shù)f (x)的圖象上2條相鄰的對(duì)稱軸，f (2)為最小值，f (6)為最大值.故函數(shù)的最小正周期為 2X (6-2) =8 2,. 4, f (x) = sin ( x - % ) = - sin x.令 2k 兀一一x w 2k it ,求得 8k - 2& x w 8k+2, 242可得函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間為8 k- 2, 8k+2 , kCZ,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法。三、解

18、答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知函數(shù) f x 3sin x cos2x 1.2(1)求函數(shù)f x 值域；(2)求f x在0,2的所有零點(diǎn).【答案】(1)25,3 (2) -或史833【解析】【分析】 (1)化簡(jiǎn)函數(shù)f x為cosx的二次函數(shù)，根據(jù) cosx的范圍，利用二次函數(shù)的圖象，求得(x)的值域;(2)由零點(diǎn)的定義f (x) =0,求出在0, 2兀的所有零點(diǎn).由于cosx所以值域?yàn)樗詘 3(1) f x3cos x 2cos2 x 2 21,1 ,則在 cosx3一時(shí)取得最小值4cosx2582538 ,.2 cosx2k或x252k/日 10得cosx

19、 一或2cosx0,2225,8cosx 1取得最大值3,2 (舍)，點(diǎn)睛】本題主要考查含三角函數(shù)的二次函數(shù)值域問(wèn)題求法、函數(shù)的零點(diǎn)求法以及三角方程的解法。18.甲乙兩位同學(xué)整理了某學(xué)科高三以來(lái)9次考試的成績(jī)(甲缺席了其中 3次考試，只有6次成績(jī))，得到如下莖葉圖.3【答案】(1) 35甲84(1)若用分層抽平抽樣時(shí)對(duì)甲的成績(jī)5(2)試通過(guò)表中的【解析】6 1的15個(gè)成績(jī)選取5個(gè)評(píng)估，應(yīng)選取甲的幾次成績(jī)？若分層求選取到的甲的成績(jī)至少有一次高于85分的概率;均水平和穩(wěn)定性來(lái)評(píng)判兩位同學(xué)該學(xué)科的考試成績(jī)甲更高，穩(wěn)定性也更好，綜合認(rèn)為，乙的更好。(1)按照比例，應(yīng)該取甲的2次成績(jī).設(shè)甲的6個(gè)成績(jī)由高

20、到低為AB,C,D,E,F,高于85分的是A, B兩個(gè)，利用列舉法能求出選取到的甲的成績(jī)至少有一次高于85分的概率.(2)先計(jì)算出甲的均值為81分，乙的均值為82分，由此求出甲的方差和乙的方差，從而得到乙的平均分比甲更高，穩(wěn)定性也更好,綜合認(rèn)為乙的更好.【詳解】(1)因?yàn)榧滓铱荚嚧螖?shù)比例為所以抽取5個(gè)成績(jī)，應(yīng)該取甲的 2次成績(jī);設(shè)甲的6個(gè)成績(jī)由高到低為 A, BE, F ,高于85分的是A, B兩個(gè),則取法有AB , ACAFBCBD , BE , BF , CD , CE , CFDF , EF 共 15 種,其中至少有一次高于85分的有ABAC,AD , AE , AF , BC , BD

21、 , BE ,BF共9.9種，概率為15(2)甲的均值為57875 72 86681 94 81 分,72乙的均值為7275 78 82 82 82 83 91 93 ” 八82 分, 9_2，_2_2_ 2所以甲的方差為 9一6一3一05一13- 3206653.33 ,22222_2乙的方差為10740 0 0 11199368 40.89, 9所以乙的平均分比甲更高，穩(wěn)定性也更好，綜合認(rèn)為，乙的更好【點(diǎn)睛】本題主要考查通過(guò)莖葉圖考查平均數(shù)、方差的求法，分層抽樣的特征，以及古典概型概率的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力。19.已知離心率為Y3的橢圓C：;與1 a b 0經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

22、1, 2a2 b22(1)求橢圓C的方程;(2) A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線AM，BM分別交直線x 4于P , Q兩點(diǎn)，求PQM的面積.2【答案】(1) - y2 1 (2) 3/34【解析】【分析】(1)利用已知條件列出方程，求出 a,b,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)已知條件求出直線am，利用三角形面積公式即可求出.BM的方程，則可求出三角形底邊兩點(diǎn)P、Q間的距離,【詳解】(1)離心率為 K3,則a222b,橢圓為C ： J匕4b b代入M 1,2解得b1,a 2,2所以橢圓方程為C：4y2 1.(2)由題意 A 2,0 , B 2,0 ,直線 AM ： y g x 2 , B

23、M ： y x 2 , 62代入x 4得yp事，Vq B所以 Spqm 2 4 XmypVq2 (4 1) 2底 373.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的性質(zhì)求橢圓方程，以及三角形面積的求法，意在考查學(xué)生 的計(jì)算能力。20.如圖，四邊形 ABCD 中 BAC 90°, ABC 30°, AD CD ,設(shè) ACD(1)若 ABC面積是 ACD面積的4倍，求sin 2 ;若 ADB 一,求tan . 6【答案】(1) sin 22 2) tan【解析】【分析】(1)設(shè) AC= a,可求 AB J3a, AD= asin 0 , CD= acos 0 ,由題意 $ abc= 6ac

24、d 利用三角形的面積公式即可求解;(2)在 ABD, BCDK 分別應(yīng)用正弦定理，聯(lián)立可得用兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)設(shè) AC a,則 AB 73a, AD asin2sin ( Q ) = 3sin 0 ,利CD a cosS ABC 4s ACD ,1: 一 1則一a J3a 4 -acos asin ,所以 sin2. BD(2)由正弦定理，ABD中，一BD一sin BADsin ADBsinBD,3aasin 6BCD 中,sinBDBCDBDsin CDB，即 sin -32asin 3一得:2sin3sin ，化簡(jiǎn)得3 cos2sintan遮

25、222同角三角函數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，正弦定理，兩角和的正弦公式, 基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想.21.已知函數(shù) f x ex ax2 ln x a 1.(1)若y f x在函數(shù)x 1處的切線垂直于 y軸，求f x在1,的最小值；(2)求證：a 0時(shí)，f x 1恒成立.【答案】(1) 0(2)詳見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出參數(shù)a,再判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值.(2)利用函數(shù)的二次求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值點(diǎn)，得到函數(shù)的最小值，再利用基本不等式即可求出.【詳解】(1) f ' xC 12a

26、x 一 x此時(shí)f'f '' x所以從而(2)因?yàn)?aex1),x在1,因?yàn)閍g'所以g單增,0,1,0,lnx單增,一，x0 x0x g x0單增，最小值為所以f xlnx0 ,x0e In mg' 1所以x0x01 0.ln xg' xexIn x 1,0有唯一根 小，為g x的極小值點(diǎn),本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力。2B請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)用鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C ：x 2 2cosy 2sin(為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程;(2)若射線分別交曲線C于異于極點(diǎn)。的A，B,求 AOB面積的最大 3值.2【答案】(1)曲線C的普通萬(wàn)程x 2y2