高一立體幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)總(學(xué)生版)Word版

1、第一章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、平面通常用一個(gè)平行四邊形來(lái)表示.平面常用希臘字母、或拉丁字母M、N、P來(lái)表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫(xiě)字母A，B，C，表示點(diǎn)，小寫(xiě)字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：a) Al點(diǎn)A在直線l上；A點(diǎn)A不在平面內(nèi)；b) l直線l在平面內(nèi)；c) a直線a不在平面內(nèi)；d) lm=A直線l與直線m相交于A點(diǎn)；e) l=A平面與直線l交于A點(diǎn)；f) =l平面與平面相交于直線l.二、平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的

2、點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3 經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行直接證法三、證題方法反證法證題方法 間接證法 同一法練習(xí)1、已知直線，且直線與都相交，求證：直線共面四、空間線面的位置關(guān)系 共面 平行沒(méi)有公共點(diǎn)(1)直線與直線 相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交) 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共

3、點(diǎn)(2)直線和平面 直線不在平面內(nèi) 平行沒(méi)有公共點(diǎn) (直線在平面外) 相交有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行沒(méi)有公共點(diǎn)五、異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”.練習(xí)2、求證：兩條異面直線不能同時(shí)和一個(gè)平面垂直練習(xí)3、四面體中，各個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為的正三角形，分別是和的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是多少？六、線面平行與垂直的判定 (1)兩直線平行的判定定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么

4、這條直線和交線平行，即若a,則a。垂直于同一平面的兩直線平行，即若a，b，則ab（線面垂直的性質(zhì)定理）兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若,=b,則ab（面面平行的性質(zhì)公理）中位線定理、平行四邊形、比例線段，=b,則ab.（線面平行的判定定理）平行于同一直線的兩直線平行，即若ab,bc,則ac.（公理4） (2)兩直線垂直的判定定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若bc,ab,則ac一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,b，ab.三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和

5、這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a,b,則ab. (3)直線與平面平行的判定定義：若一條直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a,b，ab,則a.（線面平行的判定定理）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若,l，則l.練習(xí)4、如圖：是平行四邊形平面外一點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，且=， 求證：平面_H_M_N_F_E_D_C_B_A練習(xí)5、兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=F

6、N，求證 MN平面BCE （用兩種方法來(lái)證） (4)直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l.（線面垂直判定定理）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la,a,則l.一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若,l，則l.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若,a=，l，la,則l.(面面垂直的性質(zhì)定理)練習(xí)6、已知E，F(xiàn)分別是正方形

7、ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求證：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離練習(xí)7、如圖2.3.1-2，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有（ ）A、AHEFH 所在平面 B、ADEFH所在平面C、HFAEF所在平面 D、HDAEF所在平面練習(xí)8 、三棱錐的高為，若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則為的（ ）A 內(nèi)心 B 外心 C 垂心 D 重心(5)兩平面平行的判定定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)

8、，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn).如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,則.（面面平行判定定理）推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,則.(6)兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a=90°.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l,l，則.（面面垂直判定定理）練習(xí)9、 直三棱柱中，各側(cè)棱和底面的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，則三棱錐的體積為（ ）A B

9、 C D 練習(xí)10、在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，、分別為的中點(diǎn) （）證明：；（）求二面角-的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離 練習(xí)11、正方體中，是的中點(diǎn) 求證：平面平面七、空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.1、異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa,bb,則a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：0°90°.(3)求解方法根據(jù)定義，通過(guò)平移

10、，找到異面直線所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.2、直線和平面所成的角斜線和射影所成的銳角 (1)取值范圍0°90°(2)求解方法作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以?xún)蓚€(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，通常認(rèn)為二面角的平面角的取值范圍是0°180

11、°(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法()根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見(jiàn)方法先找(或作)出二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求得的值.練習(xí)12、正四棱錐（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_ A B C D E F H 練習(xí)13、在正四面體中，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.13.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義：面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線段；抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)