中考試題中的數(shù)學思想方法例析(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考試題中的數(shù)學思想方法例析山東省臨沭縣第一初級中學 劉金廣 分析近幾年的中考試題，不難看出,中考命題都遵循著兩條線:一條是明線：以選擇題、填空題、解答題等外在形式考察數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角形、四邊形、圓等初中數(shù)學的重點內(nèi)容；一條是暗線：通過試題重點考察初中數(shù)學常用的思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學的生命和靈魂，是數(shù)學知識的精髓，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。隨中考改革的深入,中考試題從知識型轉(zhuǎn)到能力型，更加突出了對數(shù)學思想方法的考察。一、數(shù)學思想初中階段常用的數(shù)學思想有：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想等。1、數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)式與圖形

2、結(jié)合起來、代數(shù)與幾何結(jié)合起來，進行分析、研究、解決問題的思維策略。例1 已知：a>0,b<0,a+b<0,那么下列各式中正確的是（）-b<-a<b<a -a<b<a<-b b<-a<-b<a b<-a<a<-b分析：本題考察數(shù)的大小比較，靈活性強,用代數(shù)的方法思考，極易出錯；若借助數(shù)軸，利用圖形，則一目了然。-ab0a-b解：根據(jù)a>o,b<0,a+b<0,易在數(shù)軸上標出a、b的位置(如圖),再標出-a、-b的位置，顯然有b<-a<a<-b.故應選D.例2 二次函數(shù)y=

3、x2+x+1與反比例函數(shù)y= 在同一直角坐標系中交點的個數(shù)是( )A 0 B 1 C 2 D 3分析:如果用代數(shù)方法，解方程組代入求得:x3+x2-1=0,來討論三次方程根的個數(shù),是困難的 ；如果在同一直角坐標系中,分別作出y=x2+x+1和y= 的草圖(如圖2),容易看到:兩曲線只有一個交點,故應選B02、分類討論思想數(shù)學中的分類討論就是把研究的對象所可能出現(xiàn)的情況不重復、無遺漏的分別加以討論，從而獲得完整的解答。例3 某單位計劃5月份組織員工到H地旅游，人數(shù)估計在10-25人之間。甲、乙兩旅行社的服務質(zhì)量相同，且價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時，甲旅行社表示可予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行

4、社表示可免去一位游客的旅游費用，其余游客八折優(yōu)惠。問該單位應怎樣選擇，使其支付的旅游費用較少？分析：本例是市場決策型分類，具有時代特色，解決此題的關鍵是以到H地旅游人數(shù)為標準，分為三種情況逐一討論。解：設該單位到H地旅游人數(shù)為x人，選擇甲旅行社所需費用為y1元，選擇乙旅行社所需費用為y2元，則有y1=200×0.75x,即y1=150x;y2=200×0.8(x-1)，即y2=160x-160. （1）若y1y2，解得x=16； （2）若y1y2,解得x<16; （3）若y1y2,解得x>16.所以，當人數(shù)為16人時，選擇甲或乙旅行社所付費用一樣多，即可任選其一

5、 ；當人數(shù)在17-25人之間時，選擇甲旅行社所需費用較少；當人數(shù)在10-15人之間時，選擇乙旅行社所需費用較少。3、轉(zhuǎn)化思想數(shù)學解題 的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程,換句話說,解題就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題的過程,通過對條件的轉(zhuǎn)化,結(jié)論的轉(zhuǎn)化,使問題化難為易,化生為熟,最終求得問題的解答.例4 如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長40米,寬26米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路,使其中兩條與AB平行,另一條與AD平行,其余部分種草,若使每一塊草坪的面積都為144米2,求小路的寬度.分析:若從總面積中減去各條小路的面積,計算較繁,且因有重合部分,極易出錯;不妨把各條小路平移到邊上,把各小塊草

6、坪轉(zhuǎn)化為一大塊草坪去思考,問題就易解決了.把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,是解決本題的 關鍵.解:設小路寬為x米,可得(402x)(26-x)144×6,解得x2答:略.4、方程思想方程思想是指對所求問題通過列方程（組）求解 的 一種思維方法，中考試題中用方程思想求解的題目隨處可見。同時，方程思想也是解幾何計算題的重要策略。例5 如圖，已知在ABC中，B=90°,O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2,AE=1,求CD的長。分析：本題分別應用切割線定理和勾股 定理，列出方程，問題即得到解決。ABCDEO解：由B=90°，可知

7、BCAB.BE為O的直徑,CB切O于BAC切O于點D,CD=CB由切割線定理,可得AD2=AE×ABAB= 設CD=x,則AC=x+2,由勾股定理,可得AC2=AB2+BC2即(x+2)2=42+x2,化簡,整理并解之,得CD=x=3.5.函數(shù)思想函數(shù)思想就是用運動、變化的觀點來觀察、分析問題，并借助函數(shù)關系思考解決問題。例6 某大學的校門是一拋物線形水泥建筑物(如圖1)，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，求校門的高。（精確到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不計)分析:將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行研究,建立適當?shù)淖鴺讼?確定函數(shù)解析式

8、,再求函數(shù)值.解:以大門所在平面與地面的交線為x軸,以大門的對稱軸為y軸,建立直角坐標系(如圖2),則A(-4,0)、B（4，0）、C（3，4）、D（-3，4）.設函數(shù)解析式為y=a(x+4)(x-4).C(3,4)在拋物線上,4=a(3+4)(3-4), a= - , y= - (x+4)(x-4).門高即為函數(shù)的頂點的縱坐標,如圖頂點(0,y),當x=0時,y= - (0+4)(0-4)= 9.1(米)6、整體思想按常規(guī)求某一未知量不易時，可打破常規(guī)，由題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決。例7 已知方程組 求 的值 。 分析:此題若從方程組中解出的值再代入

9、代數(shù)式求值.解答比較麻煩.若注意到所求代數(shù)式與方程的關系,用整體法求解將比較簡便.解:把方程×2,×3得2x+4y=2, 6x-9y=6 整體代入得原式= 二、 數(shù)學方法初中數(shù)學常用的數(shù)學方法有:換元法、配方法、參數(shù)法、特殊值法、待定系數(shù)法等。1、換元法就是用新元代替舊元,通過變量代換創(chuàng)造條件，化難為易，化繁為簡,使問題得到解決。例8 解方程 + =11 分析：此題如果用去分母的方法，所得的整式方程為：8(x2+2x)2+3(x2-1)2=11(x2-1)(x2+2)展開整理后，一則很繁，再則不是二次方程，難以解決；仔細觀察，可以看出方程左邊兩個分式中的 與 互為倒數(shù)，根據(jù)

10、這一特點，可以用換元法來解。解:設 =y,那么 = ,于是原方程變形為8y+ =11,整理得8y2-11y+3=0,解得y1=1,y2= .由 =1,解得x1= - ;由 = ,解得x2= - 3,x3= - .經(jīng)檢驗，三個都是原方程的根.原方程的根是x1= - ; x2= - 3, x3= - . .2、配方法通常是把已知式子配成完全平方，然后根據(jù)配方后的式子求出未知量。例9 通過配方求拋物線 的對稱軸和頂點坐標。解：對稱軸是x=4,，頂點坐標是(4, - 5).3、參數(shù)法在解題過程中，引入新的變量，根據(jù)題設推理計算，從而獲解的方法叫參數(shù)法。參數(shù)法常用于解答涉及連等一類的題目。例10 已知 求 的值. 4、特殊值法 在字母的允許值的范圍內(nèi)取特殊值進行解題的方法，稱為特殊值法。例11 已知 1<b<0, 0<a<1, a+b, a-b, a2+b, a+b2中,最大的是(）A a+b B a-b C a2+b D a+b2解： 1< b<0, 0<a<1, 不妨取a=0.5,b= - 0.5, 則a+b=0, a-b=1, a+b2=0.75, a2+b= - 0.25,最大的是 a-b ,故選B5、待定系數(shù)法先設出式子的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫出這個式子的方法，稱為待定系數(shù)