等差數(shù)列一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【知識(shí)梳理】1 .等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號(hào)表示為a"1an d(nCN*, d為常數(shù)).a b(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是 A = a/,其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).2 .等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an = ai + (n 1)d.n n 1ai + an n(2)前 n 項(xiàng)和公式：Sn= na1 +2 d =2.【易誤點(diǎn)】1.要注意概念中的“從第 2項(xiàng)起”.如果一個(gè)數(shù)列不是從第 2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或 第4

2、項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列.2.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別.試一試1.在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Sn =.解析：- a4+ a8= 16,，a6=8, 611 = 11a6 = 88.2. an是等差數(shù)列，a1=1,公差dw 0,Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2, a5成等比數(shù)列，則S8=.解析：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，且 a1, a2, a5成等比數(shù)列，所以 a1(a1 +4d)= (a1 + d)2,解得d=2a1 =2,所以 S8= 64.【方法匯總】1.等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an+1an=d(

3、d是常數(shù))？ an是等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)法：2an+1=an+an+2(nC N*)? an是等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式：an=pn+q(p, q為常數(shù))？ an是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))？ 九是等差數(shù)列.2.活用等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣： an=am+ (n m)d, (n, mC N*).(2)若an為等差數(shù)列，且 k+l=m+n, (k, l, m, nC N*),則 ak+ai=am+an.(3)若an是等差數(shù)列，公差為 d,則ak, ak+m, ak+2m, (k, m C N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm , Sm

4、 Sm, S3m S2m,也是等差數(shù)列.3.用方程思想和化歸思想在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解.練一練1.已知等差數(shù)列an滿足a3+a7=10,則該數(shù)列的前 9項(xiàng)和S9=.9 a1 + a99 a3+ a7解析：由題知，So=2=2=45.解析：由題知 a3+a5+a7= 3a5= 9,則 a5=3,所以 S9=9a5 = 27.【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S1,若Sm-1=2, Sm= 0, Sm+1= 3,則m=.解析：根據(jù)已知條件，得到 am和am+1,再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d,最后建立

5、關(guān)于ai和m的方程組求解.由 Sm 1 = 2 , Sm= 0, Sm+1 =3, 得 am= Sm Sm 1 = 2, am+1 = Sm+ 1 Sm= 3,所以等差數(shù)列的公差為 d=am+1- am= 3-2=1, am= a1 + m 1 d = 2,a1+m1 = 2,a1= 2由1得 1解得Sm=a1m+2mm1 d = 0,a1m + 2m m 1 = 0,m=5.2.在等差數(shù)列an中，若 a + a2=4, a9+a1o=36,則 S1o=10 a1+ a1o解析：法一： 由于 a1 + a2+a9+a1o = 2(a +ao) = 4O,故 a1+a10=20,從而 S1o=2

6、=100.2a1 + d=4，a1= 1,10x 9d法二：由題意得解得從而So=1Oa + 一2-=100.2a1+17d = 36,d = 2,2類題通法1 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1, an, d, n, Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問(wèn)題的思想.2 .數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明1一 *【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且滿足a1=2，an= 2SnSnT(n>2且n C N ).1 .(1)求證：數(shù)列 Sn是等差

7、數(shù)列.(2)求Sn和an.解(1)證明：當(dāng)n>2 時(shí)，an=Sn1 = 2SnSn1,.Sn(1 +2Sn1)=Sn1.由上式知若 Sn-1W0,則SnWO.S1 = a1W0,由遞推關(guān)系知 $wO(nCN*),由式得1- =2(n>2).*是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為4 = - = 2,公差為2.Sn Sn 1SnS1 a1 9=2+281) = *2(n1)，'Sn.1_ 一 一 1一當(dāng) n>2 時(shí)，an= Sn Sn-1= 2，當(dāng) n= 1 時(shí)，a= Si= 2不適合上式,- -an =12,1, n>2.2n n- 1【一題多變】若將條件改為Sn. 1a1=2

8、, Sn=2S_1T1(n>2)”，如何求解.Sn- 11 2Sn- 1 + 1解：(1)：Sn =,2Sn 1+ 1SnSn 11Si 1-1+ 2與1 =2. Sn 111、，一、，.石是以5為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.,113 r一一 1(2)由(1)知=1+(n 1)X 2=2n-,即 Sn =-.Sn 2232n-當(dāng) n > 2 時(shí)，an = Sn Sn 1 =3 72n 2 2n-2-23 一當(dāng)n=1時(shí)，a1= 2不適合an,故an =-2(2n 2)(2n 7)n>2 .2n 萬(wàn) 2n-類題通法1 .解答題判斷等差數(shù)列，常用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前

9、n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷.2 .用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用兩個(gè)式子an+1 21=和anan-1 = d,但它們的意義不同，后者必須加上“ n>2",否則n= 1時(shí)，ao無(wú)定義.針對(duì)訓(xùn)練在數(shù)列an中，a1 = -3,an=2an-1+2n+3(n>2,且 nC N*).(1)求a2,a3的值;an + 3*_ ,、，(2)設(shè)bn=-27(nC N ),證明：bn是等差數(shù)列.解：(1) .a1 = 3, an=2an 1 + 2n + 3(n>2,且 nC N*),，a2 = 2a1 + 22+3= 1, a3= 2a2+23+3= 13.(

10、2)證明：對(duì)于任意 nCN*,an+1 + 3 an+ 311bn+1bn=7 =(an+1 2an) 3=小(2n+1 + 3) 3 = 1,a1 + 3 3 + 3數(shù)列bn是首項(xiàng)為2=一2一=0,公差為1的等差數(shù)列.考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)【例3】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a+a3+a5= 105, a2+a4+a6=99, an的前n項(xiàng)和為Sn,則使 得Sn達(dá)到最大時(shí)n=.(2)設(shè)數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，若 a+b1=7, a3+b3=21,則 a5+b5=.解析(1)ai+a3+a5=105? a3=35, a2+a4 + a6=99? a4=33,則an的公差 d= 33-35=-

11、2, ai = a32d = 39, Sn=n2+40n,因此當(dāng) Sn取得最大值時(shí)，n=20.(2)設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為Cn,由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且C1=7, C3=21,則C5=2C3-ci=2X21-7 = 35.類題通法等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列 an中，am-an = (m- n)d? 北_:n = d(mwn),其幾何意義是點(diǎn) (n, an), (m, am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則&n = n(a1 +a2n)=二 n(an+an+1)； S2n 1= (2n 1)an.針對(duì)訓(xùn)練在等差

12、數(shù)列an中，已知a3 + a8=10,則3a5+a7=.解析：因?yàn)?a3+a8=10,所以 3a5+a7=2(a3+a8) = 20.考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例4】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為S7,且|a7|v|a8|,求使Sn>0的n的最大值.解：由S7值最大，可得a7>0,a8<0,由|a7|v|a8|,得a7< a8,即a7+a8<0,故a + a4=a7+a8V 0.13 a1 + a1314 a1+ a14若 a7>0,則 S13 =2=13a7>0, S14=2°，即 Sn>0 的最大正整數(shù) n= 13.1

13、2 a1+ a12若 a7=0,則 a6>0, &3=13a7=0, $2 =2= 6(a6+a7) = 6a6>0,即 Sn>0 的最大正 整數(shù) n=12.綜上所述，當(dāng)a7W0時(shí)，使Sn>0的最大正整數(shù)n為13;當(dāng)a7=0時(shí)，使Sn>0的最大正整數(shù)n為 1 2.類題通法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式 Sn=an2 + bn,通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：_am>°, a1>0, d<°時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為 Sm；am+

14、1< 0amW °當(dāng)a1<°, d>°時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.am + 1 >0由an>0或anW 0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值或最小值的項(xiàng)數(shù)n,代入前n項(xiàng)和公式求最值.【針對(duì)訓(xùn)練】已知an為等差數(shù)列，若 墨V 1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小 正值時(shí)，n等于多少？解：由已知得，an是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的遞減等差數(shù)列，.an,口口由一v 1,得 a10+a11<0 且 a10>0, an<0,a1020 ai+ a2020 aio+aii，S2o=2=2= 10(aio+

15、aii)< 0.而 Si9= 19aio>0,，Sn取最小正值時(shí) n=19【鞏固練習(xí)】1 .已知數(shù)列an為等差數(shù)列， S為其前n項(xiàng)和，a7-a5=4, aii = 21, 3=9,則k=解析： % a5=2d=4,貝U d = 2.a1= an 10d= 21 20= 1,k k-1*Sk= k+2* 2= k2= 9.又 kC N ,故 k= 3.2 .在等差數(shù)列an中，若 a3+a9+a27= 12,則 a3 =.解析：等差數(shù)列an中，由a3+a9+a27= 12得3a13= 12,所以a13 = 4.3 .已知等差數(shù)列an滿足a2=3, Sn-Sn 3= 51(n>3)

16、, Sn= 100,則n的值為.解析：由 & Sn 3=51 得，an- 2+an-1+an=51,所以 an 1=17,n a2 + an 1又 a2= 3, Sn =2=100,解得 n = 10.4. （2013蘇錫常鎮(zhèn)、連云港、徐州六市調(diào)研（二）設(shè)Sn, Tn分別是等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和,左r Sn 2n+1*a10,an已知h=, nC N ,貝U+=Tn 4n 2b3+b18 b6+b15解析：因?yàn)閍n, bn是等差數(shù)列,a10 ana10+a11a1+a20故 b3+b18= b6+b15, 所以+=b3+b18b6+b15b3+b18b1+b2。S20 2X20

17、+141T20 4X 202 78.5 .已知等差數(shù)列an中，a4+a6=10,前5項(xiàng)和Ss=5,則其公差為 .fir_a5_ a3 5 一 1解析：由 a4 + a6= 10,得 2a5 = 10,故 a5= 5.由 S5= 5a3 = 5,得 a3= 1,所以 d = 2 = -2- = 2.6 .已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sio>0并且Sii= 0,若Sn<Sk對(duì)nCN*恒成立，則正整數(shù)k構(gòu)成的集合為.解析：在等差數(shù)列an中，由S10>0, S11=0得，10 a1+ a1011 a1 + anSio=2>0? a + a10>0? a5 + a6&

18、gt;0, Sii=2= 0? a1 + an =2a6= 0,故可知等差數(shù)列an是遞減數(shù)列且a6=0,所以S5=S6>Sn,其中nCN ,所以k= 5或6.7 .設(shè)等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，若 a+a2+a3=15, a1a2a3=80,則 an+a12+a13 =.解析：由條件可知，a2= 5,從而a+a3=10, a1a3=16,得a1=2, a3 = 8,公差為3,所以an + a12+ a13=2X 3+ (10+11+12)X3= 105.8 . (2013南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若13=；則|6=.解析：由 S3=3a2, S7=7a4, S = 3得 9a2= 7a4= 7(a2+2d),即 a2=7d,所以 a3=8d, a4 = 9d,從而17S6= 3(a3+ a4)= 51 d, Sz = 7a4=63d,故結(jié)果為 2y.9.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an滿足a2=4Sn 2an1(nC N*),其中Sn為an的前n項(xiàng)和.(1)求ai, a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)