冪級(jí)數(shù)的收斂域

1、9.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)五、和函數(shù)的分析性質(zhì)五、和函數(shù)的分析性質(zhì) 定理定理 6（連續(xù)性）（連續(xù)性） 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在區(qū)間在區(qū)間I 上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在I 上也上也連續(xù)連續(xù)在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即序，即0011lim( )lim( ).nnxxxxnnuxux 9.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 定理定理 7（逐項(xiàng)求積分）（逐項(xiàng)求積分） 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在在a , b 上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則

2、其和函數(shù)在其和函數(shù)在a , b 可可積，且積，且11( )d( )d .bbnnaannuxxuxx 定理定理 8（逐項(xiàng)求導(dǎo)）（逐項(xiàng)求導(dǎo)） 若若 un(x)在在I收斂，收斂，un (x) 在在 a , b 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，un(x) 在在a , b 上一致收斂，上一致收斂，則其和函數(shù)在則其和函數(shù)在I連續(xù)可導(dǎo)，且連續(xù)可導(dǎo)，且. )(dd)(dd11 nnnnxuxxux9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的一般形式為冪級(jí)數(shù)的一般形式為20120()()()nnnayaaayaaya20120(1)nnnnna xaa xa xa x(),nnaya：則得最簡形式的冪級(jí)數(shù)則得最

3、簡形式的冪級(jí)數(shù)令令, xay 9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域定理定理1 1 ( (阿貝爾第一定理阿貝爾第一定理) )001)0nnna xx若若冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂, ,00:| |nnna xxxx則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在都都絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；一、冪級(jí)數(shù)的收斂域.00都都收收斂斂在在首首先先，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) xxannn102)nnna xx若若冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 發(fā)發(fā)散散，10:| |nnna xxxx則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在都發(fā)散都發(fā)散.9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域注注 由定理由定理1知道知道: : 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(1)(1)的收斂域是以原點(diǎn)為中的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間心的對(duì)稱區(qū)

4、間. . 若以若以2r表示區(qū)間的長度，則表示區(qū)間的長度，則r稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) r;0收收斂斂冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)僅僅在在時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 r;),(收斂收斂冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)在時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) r0,),(收收斂斂冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在rr .散散處處，可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)至至于于rx 9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域定理定理2(lim)nnnal則則1(i) 0,;lrl 時(shí)時(shí) 此此冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑(ii)0,;lr 時(shí)時(shí) 此此冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑(iii),0.lr 時(shí)時(shí) 此此冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑，若若對(duì)對(duì)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nn

5、nxalaannn |lim19.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域證證 0|,nnna x對(duì)對(duì)于于冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)由由于于lim |lim | |,nnnnnnna xaxl x根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法, 當(dāng)當(dāng)| 1l x 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0|nnna x| 1l x 收斂收斂. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 于是于是0l | 1l x (i) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 由由得冪級(jí)數(shù)收斂半得冪級(jí)數(shù)收斂半 徑徑1;rl0,lx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)任任何何皆皆有有| 1,l x (ii) 所以所以;r 9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域,0lx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 則則對(duì)對(duì)除除外外的的任任x何何皆皆有有(iii)

6、 |1,0.l xr 所所以以.211斂斂域域的的收收斂斂半半徑徑，并并討討論論收收、求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例nnnxn ,2:nann 解解,1211 nann|lim1nnnaal nnnnn212lim1 212lim nnn.21 r收收斂斂半半徑徑為為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x;1)21(211發(fā)發(fā)散散 nnnnnn時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21- x收收斂斂 111)1()21(2nnnnnnn).21,21 收收斂斂域域?yàn)闉?.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域.!121斂斂域域的的收收斂斂半半徑徑，并并討討論論收收、求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例nnxn ,!1:nan 解解,)!1(11 nan|lim1nnna

7、al )!1(!lim nnn011lim nn. r收收斂斂半半徑徑為為.R收收斂斂域域?yàn)闉?.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域.31斂斂域域的的收收斂斂半半徑徑，并并討討論論收收、求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例nnnxn ,:nnna 解解. 0 r收收斂斂半半徑徑為為.0收收斂斂域域?yàn)闉閘im |nnnlalimnnnnlimnn 9.3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂域.)2(1412斂斂域域的的收收斂斂半半徑徑，并并討討論論收收、求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例nnxn ,12nan ,)1(121 nan|lim1nnnaal 22)1(lim nnn1 . 112 rnynn收收斂斂半半徑徑為為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 y 1212