第13講-周期信號的頻譜及其特點

1、2021/8/21第3章 信號與系統(tǒng)的頻域分析本章首先以正弦、余弦或復(fù)指數(shù)函數(shù)為基本信號，通過傅里葉本章首先以正弦、余弦或復(fù)指數(shù)函數(shù)為基本信號，通過傅里葉級數(shù)將信號分解為這些基本信號之和，引出級數(shù)將信號分解為這些基本信號之和，引出周期信號頻譜周期信號頻譜，并討，并討論其特點。論其特點。通過討論周期信號周期趨于無窮大時頻譜的變化，引出通過討論周期信號周期趨于無窮大時頻譜的變化，引出傅里葉傅里葉變換定義變換定義，并學(xué)習(xí)常用基本信號的頻譜密度函數(shù)（頻譜）。，并學(xué)習(xí)常用基本信號的頻譜密度函數(shù)（頻譜）。傅里葉變換傅里葉變換建立了信號時域與頻域建立了信號時域與頻域表示表示之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系，而傅里葉，而

2、傅里葉變換的性質(zhì)則揭示了信號時域變化相應(yīng)地引起頻域變化關(guān)系。變換的性質(zhì)則揭示了信號時域變化相應(yīng)地引起頻域變化關(guān)系。從從頻譜密度頻譜密度角度理解周期信號的頻譜，使周期與非周期信號統(tǒng)角度理解周期信號的頻譜，使周期與非周期信號統(tǒng)一用傅里葉變換作為分析工具。一用傅里葉變換作為分析工具。 2021/8/22第3章 信號與系統(tǒng)的頻域分析本章介紹系統(tǒng)的本章介紹系統(tǒng)的頻域分析方法頻域分析方法。首先給出。首先給出系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)頻率特性的的概念和物理意義，從系統(tǒng)頻率特性對輸入信號頻譜為達(dá)到特概念和物理意義，從系統(tǒng)頻率特性對輸入信號頻譜為達(dá)到特定功能而進(jìn)行調(diào)整的角度，討論輸出信號的頻譜，進(jìn)而求系定功能而進(jìn)行調(diào)整的

3、角度，討論輸出信號的頻譜，進(jìn)而求系統(tǒng)對任意信號的響應(yīng)。統(tǒng)對任意信號的響應(yīng)。通過學(xué)習(xí)通過學(xué)習(xí)采樣定理采樣定理，進(jìn)一步理解時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系。，進(jìn)一步理解時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系。本章還結(jié)合系統(tǒng)頻域分析方法，介紹一些工程應(yīng)用中非常本章還結(jié)合系統(tǒng)頻域分析方法，介紹一些工程應(yīng)用中非常重要的概念，例如，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)、理想低通濾波器、信重要的概念，例如，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)、理想低通濾波器、信號的調(diào)制與解調(diào)等等。號的調(diào)制與解調(diào)等等。2021/8/23本章主要內(nèi)容n3.1 3.1 周期信號的分解與合成周期信號的分解與合成n3.2 3.2 周期信號的頻譜及特點周期信號的頻譜及特點n3.3 3.3 非周期信號的頻譜非

4、周期信號的頻譜n3.4 3.4 傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（1 1）n3.5 3.5 傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（2 2）2021/8/24本章主要內(nèi)容n3.6 3.6 周期信號的頻譜周期信號的頻譜n3.7 3.7 系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析n3.8 3.8 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想低通濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想低通濾波器n3.9 3.9 取樣定理及其應(yīng)用取樣定理及其應(yīng)用n3.10 3.10 頻域分析用于通信系統(tǒng)頻域分析用于通信系統(tǒng)2021/8/25第第 13 講講周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點2021/8/26 上一講對周期信號的分解與合成上一講對

5、周期信號的分解與合成仍然是在時間域進(jìn)行的。仍然是在時間域進(jìn)行的。只要周期信號滿足狄里赫利條件，都可分解為一系列諧波分只要周期信號滿足狄里赫利條件，都可分解為一系列諧波分量之和，而一個量之和，而一個余弦分量余弦分量由由振幅、頻率和相位振幅、頻率和相位確定，即一個確定，即一個余弦分量波形由這三個參數(shù)完全決定。余弦分量波形由這三個參數(shù)完全決定。 同樣，一個同樣，一個復(fù)指數(shù)分量復(fù)指數(shù)分量完全由其完全由其幅度和相位幅度和相位決定。決定?？梢圆槐禺嫵鲋芷谛盘査械母鞔沃C波的波形，而只用所可以不必畫出周期信號所含有的各次諧波的波形，而只用所含各次諧波的振幅、頻率和相位信息描述這個周期信號。含各次諧波的振幅

6、、頻率和相位信息描述這個周期信號。 周期信號從時域到頻域的表示周期信號從時域到頻域的表示 2021/8/27周期信號從時域到頻域的表示周期信號從時域到頻域的表示 2021/8/28周期信號頻譜的概念n為方便和明確地表示一個周期信號所含有的頻率分量以及各頻率分量所占的比重，常畫出周期信號各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。n一個信號的頻譜圖包括幅度頻譜圖和相位頻譜圖。n幅度頻譜圖描述各次諧波的幅度與頻率的關(guān)系。n相位頻譜圖描述各次諧波的相位與頻率的關(guān)系。n根據(jù)周期信號展開成傅里葉級數(shù)的不同形式，頻譜圖又分為單邊頻譜圖和雙邊頻譜圖。2021/8/29周期信號的單邊頻譜周期信號的單邊頻譜

7、周期信號周期信號( )f t的的三角函數(shù)形式三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為的傅里葉級數(shù)展開式為 011( )cos()nnnf tAAntnA1n與與的關(guān)系稱為的關(guān)系稱為單邊幅度單邊幅度頻譜；頻譜； n1n與與的關(guān)系稱為的關(guān)系稱為單邊相位單邊相位頻譜。頻譜。 2021/8/210對稱方波的傅里葉級數(shù)展開式為對稱方波的傅里葉級數(shù)展開式為 111111114111( )(sinsin3sin5sin7)3574111cos()cos(3)cos(5)cos(7)2325272Af tttttAtttt周期信號的單邊頻譜2021/8/211周期鋸齒脈沖信號的頻譜 220d)sin()(2TTktt

8、ktfTb 由于由于f(t)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，a0=ak=0 2002d)sin(4TttktTE 1)1( kkE )4sin(41)3sin(31)2sin(21)sin()(0000ttttEtf )24cos(41)23cos(31)22cos(21)2cos(0000 ttttE2021/8/212周期鋸齒脈沖信號的頻譜)24cos(41)23cos(31)22cos(21)2cos()(0000 ttttEtf振幅頻譜振幅頻譜相位頻譜相位頻譜2021/8/213周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 周期信號的單邊頻譜1111111( )cos()cos(2

9、)cos(3)cos(4)22223242AAf ttttt2021/8/214 421505100 tttfcos).cos()()42cos(cos2sin1)(000 ttttf畫出周期信號畫出周期信號 f(t) 的振幅頻譜和相位頻譜。的振幅頻譜和相位頻譜。 周期信號的單邊頻譜2021/8/215已知周期信號已知周期信號 63sin41324cos211)( tttf 34cos21 t求其基波周期求其基波周期T，基波角頻率基波角頻率 0，畫出它的單邊頻譜畫出它的單邊頻譜圖。圖。解：將解：將f(t)改寫為：改寫為： 263cos41324cos211)( tttf顯然顯然，1為該信號的直

10、流分量為該信號的直流分量。周期為周期為8； 323cos41 t周期為周期為6；周期信號的單邊頻譜2021/8/216解：解：所以，所以，f(t)的周期的周期T=24，基波頻率基波頻率 0=2 /T = /12 34cos21 t是是f(t)的的3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41 t是是f(t)的的4次諧波分量。次諧波分量。周期信號的單邊頻譜2021/8/217 f(t)的的單邊振幅頻譜圖單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖相位頻譜圖如下圖：如下圖：k kA0A 323cos4134cos211)( tttf周期信號的單邊頻譜2021/8/218周期信號的雙邊頻譜周期信號的雙邊頻譜周期信號周期

11、信號( )f t展開為展開為指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) 1( )jntnnf tF enjnnFF enF1n幅度幅度與與的關(guān)系稱為的關(guān)系稱為雙邊幅度雙邊幅度頻譜頻譜 n1n相位相位與與的關(guān)系稱為的關(guān)系稱為雙邊相位雙邊相位頻譜頻譜 2021/8/219周期矩形信號的頻譜0022221( )ddTjktjktTkEFf t etetTTE0t2 2 )(tfTT )(1220220000 jkjktjkeeTjkEejkTE 002sin2 kkTE 22sin00 kkTE 指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)：指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)：2021/8/220（ k = 0 ,1，2，）0Sa ()2

12、kEkFT )(SaTkTE 2021/8/221FATnnSa()02周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)為 若把相位為零的分量的幅度看作正值，而把相位為 的分量的幅度看作負(fù)值，那么左圖即可合二為一，如下圖所示周期矩形信號的雙邊頻譜2021/8/222周期信號的頻譜的特點周期信號的頻譜的特點(1) 離散性：譜線是離散的而不是連續(xù)的，因此稱為離散頻譜。單邊譜中一條譜線代表了一個諧波分量，而雙邊譜中左右對稱的兩條譜線代表了一個諧波分量。離散頻譜中每個頻率分量在頻譜圖中都是用一根線來表示，所以有時又稱為線譜。(2) 諧波性：譜線所在頻率軸上的位置只能是基頻的整數(shù)倍，其實諧波性已經(jīng)說明了離散性。(3) 收斂

13、性：譜線幅度隨 而衰減到零。n 2021/8/223 在右圖中，連接各譜線頂點的曲線稱為譜線包絡(luò)線，它反映了各分量的幅度變化規(guī)律。如果把按抽樣函數(shù)規(guī)律變化的頻譜包絡(luò)線看成一個個起伏的山峰和山谷，其中最高峰稱為主峰。通常把包含信號主要頻譜分量的 這段頻率范圍，稱為矩形脈沖信號的有效頻帶寬度或帶寬，即矩形脈沖的頻帶寬度為2B或1fBFAT02上圖的主峰高度 ，包絡(luò)主峰兩側(cè)第一個零點為頻譜的有效寬度頻譜的有效寬度- -頻帶寬度頻帶寬度20 2021/8/224周期矩形脈沖的周期矩形脈沖的頻譜頻譜隨隨脈寬脈寬的變化而變化的關(guān)系的變化而變化的關(guān)系T保持周期矩形信號的周期保持周期矩形信號的周期而而改變脈沖

14、寬度改變脈沖寬度 12T2則此時譜線間隔則此時譜線間隔 頻譜中的第一個過零點頻率頻譜中的第一個過零點頻率 因因即即信號的頻帶寬度增大信號的頻帶寬度增大，并且各次諧波，并且各次諧波的的振幅減小振幅減小，即振幅收斂速度變慢。若，即振幅收斂速度變慢。若增大，則反之。增大，則反之。 不變不變不變不變的減小而增大，的減小而增大，2021/8/225周期矩形脈沖的周期矩形脈沖的頻譜頻譜隨隨周期周期的變化而變化的關(guān)系的變化而變化的關(guān)系T當(dāng)脈沖寬度當(dāng)脈沖寬度保持不變，保持不變，增大周期增大周期12T(1) 離散譜線的間隔隔離散譜線的間隔隔變小變小即譜線變得更加密集即譜線變得更加密集 ATT(2) 各譜線的幅度

15、各譜線的幅度因因包絡(luò)線變化緩慢，即包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢振幅收斂速度變慢 的增大而變小的增大而變小2(3) 因因不變，第一個零分量頻率不變，第一個零分量頻率不變，即不變，即有效頻譜寬度不變有效頻譜寬度不變 2021/8/226周期矩形脈沖信號的頻譜周期矩形脈沖信號的頻譜22)2(0)2()(1ttEtf2021/8/227ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSa2021/8/228n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn2021/8/229周期矩形脈沖的頻譜分析表明

16、n離散頻譜，離散頻譜，譜線間隔為基波頻率譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，脈沖周期越大，譜線越密。譜線越密。n各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。期成反比。n各譜線的幅度按各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。包絡(luò)線變化。 過零點過零點n主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：)(1TnSam22B2021/8/230周期矩形的頻譜變化規(guī)律：22112T12若不變，在改變T時的情況若T不變，在改變的情況下：2021/8/231對稱方波是周期矩形的特例)(tx.5cos513cos31cos2)(111tttEt

17、f)(11TnSaTEFnntjnneFtf1)(2021/8/232對稱方波的頻譜變化規(guī)律113151513113nnana)(tx172021/8/233周期矩形信號的頻譜特點周期矩形信號的頻譜特點sinSa( )xxx 2 B(4) 頻帶寬度頻帶寬度：第一個零分量頻率：第一個零分量頻率：(3) 不變，不變，T 增大時，增大時，相鄰相鄰譜線的間隔變小譜線的間隔變?。煌l率分；同頻率分量的量的譜線幅度減小譜線幅度減小。(2) 頻譜具有離散性、諧波性和衰減性頻譜具有離散性、諧波性和衰減性（1）頻譜包絡(luò)按照取樣函數(shù)變化頻譜包絡(luò)按照取樣函數(shù)變化2021/8/234周期矩形信號的頻譜特點周期矩形信號

18、的頻譜特點(6) 減小時，減小時，頻帶寬度增大。頻帶寬度增大。當(dāng)當(dāng) 趨近于無窮小，趨近于無窮小，頻帶頻帶寬度也無限增大，此時信號能量不再集中于低頻分量中，寬度也無限增大，此時信號能量不再集中于低頻分量中，而是均勻分布在整個頻段。而是均勻分布在整個頻段。(5) 如果如果周期周期T無限增長無限增長（這時就成為非周期信號），那么，（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。2021/8/235 100)cos()(kkktkAAtf )0(0 k0j( )ntnnf tF e)(0 k周期信號頻譜的概念2021/8/236周期信號頻譜的特點n頻譜由不連續(xù)的線條組成，每個線條代表一頻譜由不連續(xù)的線條組成，每個線條代表一個正弦分量，因此這樣的頻譜稱為個正弦分量，因此這樣的頻譜稱為離散頻譜；離散頻譜；（離散性）（離散性）n離散頻譜的每條譜線，都出現(xiàn)在離散頻譜的每條譜線，都出現(xiàn)在基波頻率基波頻率 0的整數(shù)倍