北師大版初三二次函數(shù)知識點及練習(xí)

1、知識回顧一、二次函數(shù)概念:1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c（a ,b ,c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)， 叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0，而b，c可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2.二次函數(shù)y ax2bx c的結(jié)構(gòu)特征: 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量a ,b ,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)， 例 1 （基礎(chǔ)）二次函數(shù)y 3x26xA （-1 , 8） B. （1 , 8）C習(xí)題精練oa1、二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y=-與正比例函數(shù)y=（bx+c）x在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）2、若二次函數(shù)y x2bx 5配方后為

2、y （x 2）2k則b、k的值分別為（）A .0 5 B .0. 1.5.13、圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在丨時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面 2m,水面寬 4m 如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（ ）A.B.C.D.二次函數(shù)x的二次式，x的最高次數(shù)是 2 b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.5的圖像的頂點坐標(biāo)是（）（-1 , 2） D （ 1, -4 ）圖（1）圖（2）4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達式為()A.y2x2x3B.yx22x 3C. y2x2x3D.yx22x 35若y2axbx c,則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()

3、x1012ax1ax2bx c832 2 2A.y x 4x 3B.y x 3x 4C.y x 3x32D.y x 4x 86、巴人廣場中心標(biāo)志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高為1 米的噴水管噴水最大高度為 3 米，此時噴水水平距離為-米，在如圖 4 所示的坐標(biāo)系中，這支2噴泉滿足的函數(shù)關(guān)系式是()A)y(x-)23(B)y 3(x -)21(2 21212C)y 8(x -)3(D)y 8(x-)322二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì): a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo) 對稱 軸性質(zhì)a 0向上0，0y 軸x 0時，y 隨x的

4、增大而增大；x 0時， y 隨x的增大而減??；x 0時，y 有最小值0.a 0向下0，0y 軸x 0時，y 隨x的增大而減?。粁 0時， y 隨x的增大而增大；x 0時，y 有最大值02.y ax2c的性質(zhì):上加下減。a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo) 對稱 軸性質(zhì)a 0向上0, cy 軸x 0時，y 隨x的增大而增大；x 0時， y 隨x的增大而減??；x 0時，y 有最小值ca 0向下0, cy 軸x 0時，y 隨x的增大而減小；x 0時， y 隨x的增大而增大；x 0時，y 有最大值c.23.y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a 0向上h，0X=hx h時，

5、y 隨x的增大而增大；x h時， y 隨x的增大而減小；x h時，y 有最小值0a 0向下h，0X=hx h時，y 隨x的增大而減小；x h時， y 隨x的增大而增大；x h時，y 有最大值024.y a x hk的性質(zhì):a的符號開口方 向頂點坐 標(biāo)對稱 軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時，y 隨x的增大而增大；x h時， y 隨x的增大而減??；x h時，y 有最小值ka 0向下h, kX=hx h時，y 隨x的增大而減小；x h時， y 隨x的增大而增大；x h時，y 有最大值k三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：2方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) a x hk，確定其頂點坐標(biāo)h ,

6、 k； 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下減”.方法二：y ax2bx c沿y軸平移：向上(下)平移m個單位，y ax2bx c變成y ax2bx c m(或y ax2bx c m)y ax2bx c沿軸平移：向左(右)平移m個單位，y ax2bx c變成2 2y a(x m) b(x m) c(或y a(x m) b(x m) c)考點 1.二次函數(shù)的平移小試牛刀|例 2 已知，在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y-與二次函數(shù)y x22x c的x圖像交于

7、點A( 1, m).(1)求 m、c的值;(2)求二次函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標(biāo)例 3 把拋物線 y=3x2向上平移 2 個單位，得到的拋物線是（專題練習(xí)1io161. 對于拋物線 y= -x2+x ，下列說法正確的是（）333A.開口向下，頂點坐標(biāo)為（5， 3） B.開口向上，頂點坐標(biāo)為（5， 3）C.開口向下，頂點坐標(biāo)為（-5， 3） D.開口向上，頂點坐標(biāo)為（-5， 3）2. 若拋物線 y=x2-2x+c 與 y 軸的交點為（0，-3 ），則下列說法不正確的是（）A. 拋物線開口向上B. 拋物線的對稱軸是 x=1C.當(dāng) x=1 時，y 的最大值為-4D.拋物線與 x 軸交點為（-1，0）

8、，（ 3，0）所得圖象的函數(shù)表達式是_4.小明從圖 2 所示的二次函數(shù)y ax2bx c的圖象中， 觀察得出了下面五條信息：c 0:abc 0:a b c 0:2a 3b 0:c 4b 0，你認為其中正確 信息的個數(shù)有（填序號）考點 2.根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)確定二次函數(shù)表達式1.若已知拋物線上三點的坐標(biāo)，則可用一般式：y=ax2+bx+c （a 工 0）;2. 若已知拋物線的頂點坐標(biāo)或最大（?。┲导皰佄锞€上另一個點的坐標(biāo)，則可用頂 點式：y=a （x-h ）2+k （ a 工 0）；3. 若已知拋物線與 x 軸的兩個交點坐標(biāo)及另一個點，則可用交點式：(x-x2)( a 工 0)=3 (x+2)

9、2=3(x-2 )2=3x2+2 =3x2-23.將二次函數(shù) y=x2的圖象向左平移1 個單位長度，再向下平移2 個單位長度后,y=a (x-x1)yx例 2 已知拋物線的圖象以 A （-1 , 4）為頂點，且過點 B （2, -5 ），求該拋物線 的表達式例 3 已知一拋物線與 x 軸的交點是 A（-2，0）、B（ 1，0）,且經(jīng)過點 C（2,（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點坐標(biāo)專項練習(xí)二1. 由于世界金融危機的不斷蔓延，世界經(jīng)濟受到嚴(yán)重沖擊為了盤活資金，減少損失，某電器商場決定對某種電視機連續(xù)進行兩次降價若設(shè)平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為 y 元，原價為 a 元，

10、則 y 與 x 之間的函數(shù)表達式為（）2 2=2a（ x-1 ） =2a（ 1-x ） =a （ 1-x ） =a （ 1-x ）2. 如圖 2,在平而直角坐標(biāo)系 xOy 中, 拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于 A、B 兩點，1點 A 在 x 軸負半軸，點 B 在 x 軸正半軸，與 y 軸交于點 C,且 tanZACO=,2圖 2CO=BO AB=3,則這條拋物線的函數(shù)解析式是 _ .3. 對稱軸平行于 y 軸的拋物線與 y 軸交于點（0, -2 ），且 x=1 時，y=3; x=-1 時y=1,求此拋物線的關(guān)系式1.當(dāng)a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標(biāo)為b 4ac b2

11、2a 4a4.推理運算：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,3),B(2,3),C( 1,0).(1) 求此二次函數(shù)的關(guān)系式；(2) 求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移_ 個單位，使得該圖象的頂點在原點.k與y ax2bx c是兩種不同的表達形式，后者通2 2 2b 4ac bb , 4ac b，其中 h , k2a 4a2a4a五、二次函數(shù)y ax2bx c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2bx c 化為頂點式 y a(x h)2k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的

12、交點 0, c、以及 0, c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h , c、與x軸的交點 xi , 0 ,x, 0 (若與x軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸 對稱的點)畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點四、二次函數(shù)yk與y ax2bx c的比較從解析式上看,過配方可以得到前者，即y a x六、二次函數(shù)yax2bx c的性質(zhì)x注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都 可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac 0時，拋物線的解析式 才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化專項練習(xí)三2.當(dāng)aA 時，y 隨 x 的增大

13、而減小；當(dāng)2a2時，y 有最小值4ac b2a4aA 時，y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)2a0時，拋物線開口向下，對稱軸為2a頂點坐標(biāo)為三，當(dāng)x時,2a 4a2ay 隨x的增大而增大；當(dāng)x時，y 隨x的增大而2a減?。划?dāng)x時，y 有最大值2a24ac b4a1.一般式：y2axbx c(a,2.頂點式：ya(xh)2k(a,3.兩根式：ya(xx)(xX2)(a 0,x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)）七、二b，c為常數(shù)，a 0）；h，k為常數(shù)，a 0）；(24.二次函數(shù)y ax2bx c(a 0)的圖象如圖 4 所示，根據(jù)圖象解答下列問題:(1)寫出方程ax2bx c 0的兩個根.(2)寫

14、出不等式ax2bx c 0的解集.(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.(4)若方程ax2bx c k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.八、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達y a x h? k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是A.無實數(shù)根B.有兩個相等實數(shù)根C.有兩個異號實數(shù)根D.有兩個同號不等實數(shù)根1.關(guān)于x軸對稱y ax2bx c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是2axbx2.關(guān)于 y 軸對稱y ax2bx c關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是2axbx c;23.關(guān)于原點對稱y ax2bx c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是2axbxy

15、a x h? k關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點對稱(即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180)y ax2bx c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是2axbxb2c2a ；222k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5.關(guān)于點m, n對稱2y a x h k關(guān)于點m, n對稱后，得到的解析式是y根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化， 因此a永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原 則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐 標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物 線的表達式.十

16、、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：一元二次方程 ax bx c 0 是二次函數(shù) y ax bx c 當(dāng)函數(shù)值 y 0 時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數(shù)：1當(dāng)b24ac 0 時，圖象與x軸交于兩點 A Xi,0 , Bx?, 0（人 x?），其中的X!, X2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的兩根這兩點間的距離.b 4acAB X2Xilal2當(dāng)0 時，圖象與x軸只有一個交點；3當(dāng)0 時，圖象與x軸沒有交點.1當(dāng)a 0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y 0;2當(dāng)a 0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y

17、 0.2.拋物線 y ax bx c 的圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為 （0 , c）;3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2bx c中a,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)， 或已知與x軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函數(shù)

18、；下面以a 0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方 程之間的內(nèi)在聯(lián)系：a x h 2m 2n k0拋物線與x軸有 兩個交點二次三項式的值可 正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根0拋物線與x軸只 有一個交點二次三項式的值為非 負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x軸無 交占八、二次三項式的值恒為 正一元二次方程無實數(shù)根二次函數(shù)圖像參考:課后鞏固練習(xí)：1、 把拋物線y x2向右平移 1 個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為（）2 2 2 2Ay x 1By x 1Cy x 1Dy x 12、 在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y 2x2的圖象向上平移 2 個單位，所得圖象的解析式為（）

19、2 2 2A. y 2x 2B .y 2x 2C .y 2（ x 2）2D. y 2（ x 2）33 把拋物線y x2向左平移 1 個單位，然后向上平移 3 個單位，則平移后拋物線的解析式為（）4、拋物線的頂點坐標(biāo)是()5、二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，若點則 yi與 y2的大小關(guān)系是()(A) yiVy2(B) yi=y2(C) yi y (D)不能確定6、函數(shù)y=ax+1 與y=ax+bx+ i (a工 0)的圖象可能是()7、 根據(jù)下表中的二次函數(shù)y ax2bx c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可判斷該二次 函數(shù)的圖象與x軸( ).A 只有一個交點B有兩個交點，且它們分別

20、在y軸兩側(cè)C 有兩個交點，且它們均在y軸同側(cè) D 無交點8、已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表: 013 131 則下列判斷中正確的是()2A. y (x 1)232B .y (x 1)23C. y (x 1)23D .y (x 1)23A.拋物線開口向上B 拋物線與軸交于負半軸0 當(dāng)=4 時，0.方程的正根在 3 與 4 之間A.B .D.D.A(1,yi)、B(2,y2)是它圖象上的兩點,9、已知二次函數(shù)y ax2bx c（a 0）的圖象如圖所示，貝【J下列結(jié)論：ac 0；方程ax2bx c 0的兩根之和大于 0；y隨x的增大而增大；a b c 0，其中正確的個數(shù)（）A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個10、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a工0的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：1a0.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x 1對稱當(dāng) x 1 或 x 3 時，函數(shù)y的值都等于 0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 3 B . 2 C . 1 D . 011、 二次函數(shù) y ax2bx c 的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是（）A.av0B. abc0 C. a b c0 D.b24ac012、已知二次函數(shù) y=ax +bx+c （a 工 0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論： abc022a+bv0 4a 2b+cv0 a+c0,其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A、4 個 B 、3 個 C 、