2017屆九年級數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)線段的垂直平分線知識講解基礎(chǔ)

1、線段的垂直平分線-知識講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2.會證明三角形的三條中垂線必交于一點.掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形. 4.能運用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實際問題【要點梳理】要點一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法： （1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點； （2）作直線CD，CD即為所求

2、直線要點詮釋：(1)作弧時的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點了(2)線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.要點二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等要點詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一同時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上要點詮釋：到線

3、段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是及這條線段兩個端點的距離相等的所有點的集合要點四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心外心. 要點詮釋:1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（三線共點），該點即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，及斜邊中點重合. 3.外心到三頂點的距離相等.要點五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法

4、，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點題即“xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理1、如圖，ABC中ACBC，邊AB的垂直平分線及AC交于點D，已知AC=5，BC=4，則BCD的周長是（ ） A9 B8 C7 D6【思路點撥】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根據(jù)BCD的周長=BC+BD+CD即可進行解答【答案】A；【解析】因為BD=AD,所以BCD的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【總結(jié)升華】此題正是應(yīng)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，也就是已知直線是線段垂直平分線，那么垂直平分線上的點到線段的兩個

5、端點距離相等，從而把三角形的邊進行轉(zhuǎn)移，進而求得三角形的周長舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯誤的是（）ABD平分ABC BBCD的周長等于AB+BCCAD=BD=BC D點D是線段AC的中點【答案】D；提示:根據(jù)等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可推得選項A、B、C正確；所以選D,另外，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用【變式2】（2015秋江陰市校級月考）如圖，ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G求AEG的周長【答案】解：DE

6、為AB的中垂線，AE=BE，F(xiàn)G是AC的中垂線，AG=GC，AEG的周長等于AE+EG+GA，分別將AE和AG用BE和GC代替得：AEG的周長等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周長為BC的長度即7類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,ABD=ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線【答案及解析】證明： AB=AC（已知）ABC=ACB (等邊對等角) 又ABD=ACD (已知) ABD-ABC =ACD-ACB (等式性質(zhì)) 即 DBC=DCB DB=DC （等角對等邊） AB=AC（已知）DB=DC（已證） 點A和點D都在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距

7、離相等的點，在這條線段的垂直平分線上） AD是線段BC的垂直平分線?！究偨Y(jié)升華】本題需要注意的是對于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用，部分學(xué)生可能錯誤地認(rèn)為“因為到線段兩端距離相等的點在線段垂直平分線上，所以已知AB=AC就可以說明AD是線段BC的垂直平分線了”，但卻忽略了“兩點確定一條直線”，所以只有當(dāng)AB=AC，DB=DC時，才能說明AD是線段BC的垂直平分線舉一反三：【變式】如圖，P是MON的平分線上的一點，PAOM,PBON,垂足分別為A、B求證：PO垂直平分AB【答案】證明：OP是角平分線，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP=90在AOP 和BOP中AOPBOP（A

8、AS）OA=OBPO垂直平分AB（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.類型三、線段的垂直平分線定理及逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點 求證：BE=CE 【答案及解析】證明：連結(jié)BCABAC，DBDC點A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上） AD是線段BC的垂直平分線，點E在AD上， BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等） 【總結(jié)升華】本題綜合運用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，通過本例要學(xué)會靈活運用這兩個定理解決幾何問題，性質(zhì)定理可以用來證明線段

9、相等，本題中要注意必須有和已知線段兩端距離相等的兩個點才能確定垂直平分線這條直線4、如圖所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC邊上的中點，CEAD于點E，BFAC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF【思路點撥】先根據(jù)ASA判定ACDCBF得到BF=CD，然后又因為D為BC中點，根據(jù)中點定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可【答案及解析】證明：連接DF，BCE+ACE=90，ACE+CAE=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，

10、AC=CB，ACDCBFCD=BFCD=BD=BC，BF=BDBFD為等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分線BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，即AB垂直平分DF 【總結(jié)升華】主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N. 求證：CM=2BM. 【答案】如圖所示，連接AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN是AB的垂直平分線，BM=AM，BAM=B=30，MAC=90，CM=2AM，CM=2BM類型四、尺規(guī)作圖5、（2015黃島區(qū)校級模擬）某旅游