三個(gè)不等同的啟示

1、三個(gè)不等同”的啟示植樹問題教學(xué)案例武 漢市江岸區(qū)新村小學(xué) 蔡娟 教學(xué)內(nèi)容義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書四年級下冊數(shù)學(xué)廣角植樹問 題設(shè)計(jì)意圖“植樹問題”也常常被稱為“間隔問題”，由于植樹路線與植樹要求的不同，植 樹問題也就出現(xiàn)了幾種不同的問題模型，因此本課遵循創(chuàng)設(shè)問題 情境一一發(fā)現(xiàn)問題一一 解決問題一一發(fā)現(xiàn)規(guī)律一一運(yùn)用規(guī)律的主線，設(shè)計(jì)了猜想、探究、交流等活劫，引導(dǎo)學(xué) 生主要探索在不封閉線路上兩端都載的植樹問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生在嘗試 解決問題的過程中也經(jīng)歷解決問題策略對比優(yōu)化的過程，最終能運(yùn)用植樹問題中的規(guī)律 去解決生活中其它間隔問題，思維得到訓(xùn)練。教學(xué)目標(biāo)1 通過觀察、操作及交流活動(dòng)，探

2、索并認(rèn)識不封閉線路上兩端都栽的間隔排 列中的規(guī)律，并能用這種規(guī)律解決生活中的實(shí)際問題。2培養(yǎng)學(xué)生猜想、觀察、操 作、合作的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。3在解決問題的過程中，感受數(shù)學(xué)與生活的 密切聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)經(jīng)歷探索不封閉線路上兩端都栽的間隔排列中的規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)兩端都植的情況下，棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)過程游戲引入，進(jìn)行猜想1 搶答游戲：5個(gè)同學(xué)來排隊(duì)，每隔一步站一位，他們之間幾個(gè)空，看看誰先答得對！學(xué)生們搶答非常踴躍。師：“空”用我們的數(shù)學(xué)語言可以說成是“間隔”，這里的間隔數(shù)是4 ； “每隔一 步”是指間隔的長度是“一步”；從排頭到排尾的長度可以叫“距離”。師：在我們的生活中，你還在哪里

3、見過間隔？ 2猜：間隔數(shù)與物體數(shù)之間有沒有關(guān)系 呢？有什么關(guān)系？學(xué)生進(jìn)行猜想，教師將學(xué)生的猜想板書在黑板上。猜想一：有關(guān)系。猜想二：有關(guān)系，間隔數(shù)=物體數(shù)+ 1。猜想三：有關(guān)系，間隔數(shù) =物體數(shù)1。猜想四：有關(guān)系，間隔數(shù)=物體數(shù)。3揭示課題：今天一起研究數(shù)學(xué)廣角中與間隔有 關(guān)的植樹問題。自主探究、歸納揭律1 出示“我們的問題”探索表，解決問題。(1) 3月12日為植樹節(jié)，同學(xué)們在植樹過程中遇到了問題，是什么問題呢？“我們的問題”規(guī)定：在路的邊植樹，每隔5米栽棵(兩端都值)距離畫一畫間隔數(shù)棵數(shù)10米15米25米仔細(xì)觀察上表：說說你們發(fā)現(xiàn)了什么？(2)理解表格中各部分的意思：師：怎樣植樹？ “兩端

4、都植”是什么意思，你能在這條路上表示一下嗎？“每隔5米載一棵”如果畫在紙上，你準(zhǔn)備用多長代表5米呢？師：“距離”在這里是指什么？生：從第一棵樹到最后一棵樹之間的長度。師：“間隔”在這里指什么？生：每兩棵樹之間的空隙。師：那我們的到底要解決哪些問題呢？生：填出三種不同距離下，間隔數(shù)和棵樹分別是多少以及它們之間的關(guān)系。師：下面就請同學(xué)們自己動(dòng)手畫一畫，填一填，先獨(dú)立解決這些問題，然后在小組 內(nèi)父流父流。(3 )學(xué)生操作。請學(xué)生上臺演板。4）全班反饋交流。請解決第一個(gè)問題的同學(xué)回答：你是怎么知道間隔是2的?生：數(shù)出來的。師：還有不同的方法嗎?生：我是用除法算出來的。師：為什么用除法?生：每隔5米栽一

5、棵，10米有幾個(gè)5米，就有幾個(gè)間隔，所以用除法計(jì)3?1 所有我用間算。師：大家得到棵樹都是3嗎?學(xué)生回答是。請解決第二個(gè)問題的學(xué)生回答問題：可以怎樣得到間隔數(shù)怎樣知道棵數(shù)是4的?生：數(shù)出來的。師：還有不同的方法嗎?生：我是用間隔數(shù)3 + 1的方法算出來的。師：為什么這樣算呢?生：因?yàn)橥ㄟ^這兩題的圖，都可以發(fā)現(xiàn)棵數(shù)比間隔數(shù)多 隔數(shù)3+1的方法得到棵數(shù)。師：是嗎?我們看看第三個(gè)問題中有沒有這樣的規(guī)律呢？學(xué)生們回答有這樣的規(guī) 律。師：如果我們的棵數(shù)再多些，還會不會有這樣的規(guī)律呢?請同學(xué)們自己來驗(yàn)證一下?通過學(xué)生們自己舉出的不同例子，都能得到剛才的規(guī)律。師：那通過觀察上表，你們發(fā)現(xiàn)了什么呢？生：棵數(shù)二

6、間隔數(shù)+1師：是不是什么情況下都能得到棵數(shù)=間隔數(shù)+1的規(guī)律呢？生通過舉例在兩端不載的情況下得不到這個(gè)規(guī)律，從而補(bǔ)充為：在兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。師：那大家比較一下這幾位同學(xué)畫的圖，有的是畫棵小樹來表示，有的是用圖形來表示，有的是畫線段圖，大家覺得哪種簡單明了呢？2 解決例1 ：同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共需要多少棵樹苗？已知什么？求什么？獨(dú)立解決，說說你是怎樣想的？三、應(yīng)用提高、總結(jié)設(shè)疑1 改編例1 ：同學(xué)們在 小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），共栽21棵，求這條小路全長多少米？怎樣列式？為什么？2 - 一根木料，每鋸開一段要3分鐘

7、，鋸成相同的8段需要多少分鐘？說說你是怎樣 想的？3小結(jié)并拓展：今天我們研究的是什么問題？有什么規(guī)律？生：植樹問題，在兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。師：除了植樹問題，生活中象這樣與間隔有關(guān)的例子還有哪些呢？師：還有什么想 說的嗎？生有的說用線段圖分析比較簡明清晰，有的說在探索規(guī)律時(shí)用較小的數(shù)字比 較容易，有的說畫圖進(jìn)行分析比較好理解和發(fā)現(xiàn)規(guī)律等。師：剛才同學(xué)們的猜想正確嗎？生：有的猜對了，有的沒猜對。師：是不是間隔數(shù)=物體數(shù)一1或間隔數(shù)=物體數(shù)就沒有可能呢？生爭論，有的 說沒有可能，有的學(xué)生說自己課余的學(xué)習(xí)中知道這兩種可能是存在的。師：那我們帶著這些疑問，下節(jié)課繼續(xù)研究植樹問題。教學(xué)反思

8、“植樹問題”也常常被稱為“間隔問題”，長期以來作為奧數(shù)知識學(xué)習(xí)隨著新課標(biāo)的實(shí)施，數(shù)學(xué)教材也作了相應(yīng)的改革，將“植樹問題”作為了數(shù)學(xué)廣角的學(xué)習(xí)內(nèi)容， 在這樣的背景下，我們的思考是：孩子們在學(xué)習(xí)這些教學(xué)內(nèi)容中，應(yīng)該獲得些什么？其 實(shí)新課標(biāo)給了我們很明確的回答：學(xué) 生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步 發(fā)展所需要的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法?；诖它c(diǎn)，為了幫助學(xué)生了解一 些著名的 數(shù)學(xué)難題，獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法，本課設(shè)計(jì)了猜想、實(shí)驗(yàn)、探究等一系 列學(xué)習(xí)活動(dòng)。然而在這些活動(dòng)的開展中，有三對矛盾引起了我的重視，即經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)、 問題解決與模型建立、知識結(jié)構(gòu)的邏輯起點(diǎn)與認(rèn)知起點(diǎn)，也促使我進(jìn)

9、行了一些思考。、學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)工學(xué)生的體驗(yàn)本課的教學(xué)內(nèi)容看似十分簡單，在開課的游戲中，學(xué)生也基本答對，有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，我們的教學(xué)好象就能從這個(gè)簡單的生活實(shí)例中得 到植樹問題的 規(guī)律，然后運(yùn)用這些規(guī)律來解決問題。其實(shí)不然，站隊(duì)中的問題只是喚起我們相關(guān)的生 活經(jīng)驗(yàn)，這些生活經(jīng)驗(yàn)是用來幫助學(xué)生進(jìn)行體 驗(yàn)與理解，但并不能代替學(xué)生的體驗(yàn)。在 我們的教學(xué)中，學(xué)生可以把間隔數(shù)與物體數(shù)之間的關(guān)系背得滾瓜爛熟，在具體的問題中 卻找不到間距長、距離等所指何物，應(yīng)該用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系，原因何在？體驗(yàn)是蒼白的。 因此，我們應(yīng)該從具體的生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)質(zhì)深入的體 驗(yàn)，在體驗(yàn)的過程中理解概念，建立關(guān)

10、系。二、偶然的問題解決工數(shù)學(xué)模型的建立在我們的教學(xué)中還可以經(jīng)常看到這樣一個(gè)現(xiàn)象，那就是一次的問題解決就相當(dāng)于 一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，常此以往，給學(xué)生的印象就是一次的數(shù)學(xué) 現(xiàn)象就是一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這樣的思維方式是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，僅憑一次問題解決 是不可能全部達(dá)到建構(gòu)主題的水平，需要向?qū)W生提供多個(gè)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，正如著名數(shù)學(xué)家波利亞說過“學(xué)習(xí)任何知識 的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中內(nèi)在規(guī)律 的聯(lián)系”。因此，在本課例題的教學(xué)中，采取了小數(shù)據(jù)多次實(shí)驗(yàn)觀察，正反例子的舉證，通 過不完全歸納 得出數(shù)學(xué)規(guī)律，從量的積累最終產(chǎn)生了質(zhì)的認(rèn)識。三、知識結(jié)構(gòu)起點(diǎn)工認(rèn)知起點(diǎn)在數(shù)次的實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生即使是發(fā)現(xiàn)了植樹問題的規(guī)律，在 解決問題時(shí) 卻不能正確運(yùn)用，很多教師不能理解：為什么發(fā)現(xiàn)了規(guī)律卻不 能運(yùn)用規(guī)律呢？其主要原 因就