第4講擬合ppt課件

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 擬擬 合合 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。1、直觀了解擬合根本內(nèi)容。、直觀了解擬合根本內(nèi)容。1 1、擬合問題引例及根本實(shí)際。、擬合問題引例及根本實(shí)際。4 4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。2、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。3、運(yùn)用實(shí)例、運(yùn)用實(shí)例擬擬 合合2.2.擬合的根本原理擬合的根本原理1. 擬合問題引例擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 1 1溫度溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.773

2、.0 95.7電阻電阻R(R() 765 826 873 ) 765 826 873 942 1032942 1032知熱敏電阻數(shù)據(jù)：知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求求600C600C時(shí)的電阻時(shí)的電阻R R。2040608010070080090010001100 設(shè) R=at+ba,b為待定系數(shù)擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 2 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射注射30

3、0mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).作半對數(shù)坐標(biāo)系作半對數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形下的圖形為待定系數(shù)kcectckt,)(002468100101102MATLAB(aa1)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上 n n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)xi,yi) i=1,n, xi,yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)曲線尋求一個(gè)函數(shù)曲線y=f(x), y=f(x), 使使 f(x) f(x) 在某種準(zhǔn)那么下在某種準(zhǔn)那么下與一切數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。與一切數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=

4、f(x)(xi,yi)i i 為點(diǎn)為點(diǎn)xi,yi) 與曲線與曲線 y=f(x) 的間隔的間隔擬合與插值的關(guān)系擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和和 f之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1MATLAB(cn)問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲

5、面處理方案：處理方案：假設(shè)不要求曲線面經(jīng)過一切數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。假設(shè)要求所求曲線面經(jīng)過所給一切數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點(diǎn)spline三次多項(xiàng)式插值0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點(diǎn)linest三次多項(xiàng)式插值0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點(diǎn)nearest三次多項(xiàng)式插值曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的根本

6、思緒線性最小二乘法的根本思緒第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m0)k(0)模型假設(shè)模型假設(shè)1. 1. 機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型一室模型模型建立模型建立d/c(0) 3得：由假設(shè)-kcdtdc 2得：由假設(shè)ktevdtc)( 在此，在此，d=300mg，t及及ct在某些點(diǎn)處的值見前表，在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘擬合用線性最小二乘擬合c(t)c(t)ktevdtc)()/ln(,ln21vdakacyktvdc)/ln(ln2/,121aedvakatayMATLA

7、B(lihe1)計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：)(02.15),/1 (2347. 0lvhkd=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非線性最小用非線性最小二乘擬合二乘擬合c(t)c(t)給藥方案給藥方案 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)cc2c10t 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時(shí)間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次劑量D0 應(yīng)加大,0DD給藥方案記為：給藥方案記為：kecc2112ln

8、1cck2、)( ,1220ccDcD1、計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD)(4),(225),(3750hmgDmgD給藥方案：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給藥方案：故可制定給藥方案：)(4),(225),(3750hmgDmgD即即: 初次注射初次注射375mg， 其他每次注射其他每次注射225mg， 注射的間隔時(shí)間為注射的間隔時(shí)間為4小時(shí)。小時(shí)。估計(jì)水塔的流量估計(jì)水塔的流量2、解題思緒、解題思緒3、算法設(shè)計(jì)與編程、算法設(shè)計(jì)與編程1、問題、問題 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，普通可以經(jīng)過丈量其水位來估計(jì)水的

9、流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停頓供水，這段時(shí)間無法丈量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停頓任務(wù)表1 是某一天的水位丈量記錄，試估計(jì)任何時(shí)辰包括水泵正供水時(shí)從水塔流出的水流量，及一天的總用水量 表 1 水位測量記錄 （符號(hào)/表示水泵啟動(dòng)）時(shí)刻(h)水位(cm)0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 91

10、3 898 881 869 852 839 822時(shí)刻(h)水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93/ / 1082 1050 1021 994 965 941 918 892時(shí)刻(h)水位(cm)19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91866 843 822 / / 1059 1035 1018流量估計(jì)的解題思緒流量估計(jì)的解題思緒 擬合水位擬合水位時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù) 丈量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段以下稱丈量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段以下稱第第1供水時(shí)段和

11、第供水時(shí)段和第2供水時(shí)段，和供水時(shí)段，和3個(gè)水泵不任個(gè)水泵不任務(wù)時(shí)段以下稱第務(wù)時(shí)段以下稱第1時(shí)段時(shí)段t=0到到t=8.97，第，第2次時(shí)次時(shí)段段t=10.95到到t=20.84和第和第3時(shí)段時(shí)段t=23以后對第以后對第1、2時(shí)段的丈量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，時(shí)段的丈量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，普通在式次數(shù)不要太高，普通在36由于第由于第3時(shí)段只時(shí)段只需需3個(gè)丈量記錄，無法對這一時(shí)段的水位作出較個(gè)丈量記錄，無法對這一時(shí)段的水位作出較好的擬合好的擬合 2、確定流量時(shí)間函數(shù) 對于第1、2時(shí)段只需將水位函數(shù)求

12、導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，那么用供水時(shí)段前后水泵不任務(wù)時(shí)段的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)3、一天總用水量的估計(jì) 總用水量等于兩個(gè)水泵不任務(wù)時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對時(shí)間的積分得到。算法設(shè)計(jì)與編程算法設(shè)計(jì)與編程1、擬合第、擬合第1、2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量2、擬合供水時(shí)段的流量、擬合供水時(shí)段的流量3、估計(jì)一天總用水量、估計(jì)一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗(yàn)、流量及總用水量的檢驗(yàn) 1、擬合第1時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)辰和水位丈量記錄水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)辰不輸入，第1時(shí)段各

13、時(shí)辰的流量可如下得：1 c1=polyfitt1：10，h1：10，3； %用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2a1=polyderc1； % a1輸出多項(xiàng)式系數(shù)為c1導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3tp1=0：0.1：9； x1=-polyvala1，tp1； % x1輸出多項(xiàng)式系數(shù)為a1在tp1點(diǎn)的函數(shù)值取負(fù)后邊為正值，即tp1時(shí)辰的流量 MATLAB(llgj1)4流量函數(shù)為：1079.227173. 22356. 0)(2tttf 2、擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)辰和水位丈量記錄水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)辰不輸入，第2時(shí)段各時(shí)辰的流量可如下得：1 c2=polyfit(

14、t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項(xiàng)式擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2 a2=polyder(c2)； % a2輸出多項(xiàng)式系數(shù)為c2導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項(xiàng)式系數(shù)為a2在tp2點(diǎn)的函數(shù)值取負(fù)后邊為正值，即tp2時(shí)辰的流量MATLAB(llgj2)4流量函數(shù)為：8313. 17512. 87529. 00186. 0)(23ttttf 3、擬合供水時(shí)段的流量 在第1供水時(shí)段t=911之前即第1時(shí)段和之后即第2時(shí)段各取幾點(diǎn)，其流量曾經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量為使流量函

15、數(shù)在t=9和t=11延續(xù)，我們簡單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式即曲線必過這4個(gè)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)如下： xx1=-polyvala1，8 9； %取第1時(shí)段在t=8,9的流量 xx2=-polyvala2，11 12； %取第2時(shí)段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2； c12=polyfit8 9 11 12，xx12，3； %擬合3次多項(xiàng)式 tp12=9：0.1：11； x12=polyvalc12，tp12； % x12輸出第1供水時(shí)段 各時(shí)辰的流量MATLAB(llgj3)擬合的流量函數(shù)為：擬合的流量函數(shù)為：078.3555879.737207. 3)(2tttf 在第2供水時(shí)段之前

16、取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)辰之后第3時(shí)段僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下： dt3=difft(22：24)； %最后3個(gè)時(shí)辰的兩兩之差 dh3=diffh(22：24)； %最后3個(gè)水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時(shí)辰的流量 c3=polyfitt3，xx3，3； %擬合3次多項(xiàng)式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyvalc3，tp3；% x3輸出第2供

17、水時(shí)段 外推至t=24各時(shí)辰的流量MATLAB(llgj4)擬合的流量函數(shù)為：擬合的流量函數(shù)為：8283.913077. 71405. 0)(2tttf 3、一天總用水量的估計(jì) 第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時(shí)段用水量仍按高 度計(jì)，0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時(shí)段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時(shí)段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時(shí)段用水量 y=y1+y2+y1

18、2+y3*237.8*0.01； %一天總用水量 計(jì)算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4Lm3310MATLAB(llgjz) 4、流量及總用水量的檢驗(yàn) 計(jì)算出的各時(shí)辰的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗(yàn)用水量y1可用第1時(shí)段水位丈量記錄中下降高度968-822=146來檢驗(yàn)，類似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn)供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長度得到水泵的功率單位時(shí)間泵入的水量，而兩個(gè)供水時(shí)段水泵的功率應(yīng)大致相等第1、2時(shí)段水泵的功率可計(jì)算如下： p1=(y12

19、+260)/2； %第1供水時(shí)段水泵的功率 水量仍以高度計(jì) tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyvalc3，tp4； % xp2輸出第2供水時(shí)段 各時(shí)辰的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時(shí)段水泵的功率 水量仍以高度計(jì)計(jì)算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果(n1,n2) y1, y2 , y12 , y3 y p1 p2(3,4)146.2, 266.8, 47.4, 77.3 1250.4 154.5 140.1(5,6)146.5, 257.8, 46.1, 76.3 1282.4 153.

20、7 140.1 2421 8283.91 3077. 7 1405. 02111 8313. 1 7512. 8 7529. 0 0186. 0 119 078.355 5879.73 7207. 3 90 1079.22 7173. 2 2356. 0)(22322ttttttttttttttf流量函數(shù)為：流量函數(shù)為：流量曲線見圖流量曲線見圖0510152025121416182022242628303234hourcm/houor0510152025121416182022242628303234hourcm/houorn=(3,4)n=(5,6)練習(xí)練習(xí)1 用給定的多項(xiàng)式，如用給定的多項(xiàng)式，如y=x3-6x2+5x-3，產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)(xi,yi，i=1,2,n),再在再在yi上上添加隨機(jī)干擾添加隨機(jī)干擾(可用可用rand產(chǎn)生產(chǎn)生(0,1)均勻分布均勻分布隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù),或用或用rands產(chǎn)生產(chǎn)生N(0,1)分布隨機(jī)數(shù)分布隨機(jī)數(shù))，然后用然后用xi和添加了隨機(jī)干擾的和添加了隨機(jī)干擾的yi作的作的3次多次多項(xiàng)式擬合，與原系數(shù)比較。項(xiàng)式擬合，與原系數(shù)比較。 假設(shè)作假設(shè)作2或或4次多項(xiàng)式擬合，結(jié)