第九章環(huán)與域ppt課件

1、1/739.1 9.1 環(huán)：兩個二元運算的代數(shù)構(gòu)造環(huán)：兩個二元運算的代數(shù)構(gòu)造1.1.環(huán)的概念環(huán)的概念定義定義9.19.1：是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，+ +，是二是二元運算，假設(shè)滿足：元運算，假設(shè)滿足：(1):R(1):+是阿貝爾群；是阿貝爾群；(2):(2):是半群；是半群；(3):(3):對對+ +可分配；那么稱可分配；那么稱為環(huán)為環(huán)(Ring)(Ring)，+ +稱為加法，稱為加法，稱為乘法稱為乘法( (未必是數(shù)未必是數(shù)加和數(shù)乘加和數(shù)乘) )；同時加法幺元記為；同時加法幺元記為0 0，加法逆元，加法逆元-x-x，n n次冪為次冪為nxnx，假設(shè)存在的話，乘法幺元，假設(shè)存在的話，乘法幺元記為記

2、為1 1，逆元為，逆元為 n n次冪為次冪為1xnx2/73例例9-19-1：(1):(1):， ， ， 均為環(huán)；均為環(huán)；(2):(2):實數(shù)分量的實數(shù)分量的n nn n方陣集方陣集合合 ，構(gòu)成環(huán)：，構(gòu)成環(huán)： ；(3):(3):)(RMn,),(RMn,),(AP為環(huán)。kkkZ,: )4(為環(huán)。同理：，有為半群；為加群，證：acabacbcabakcakbakcabakcbakkcbakcbacbakbabakbabaZbaZZkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)(mod)(mod)(mod)(mod)(mod)mod)()mod)()(mod)(,mod)(,(5):(0(5):(0為加

3、法幺元，乘法零元為加法幺元，乘法零元) )為環(huán)，為環(huán)，稱為零環(huán)；稱為零環(huán)；(6):(1(6):(1為乘法幺元為乘法幺元) )為環(huán)為環(huán)3/73jijijibabaRba,)()4()()()()()() 3(;)(, 00)()(2(0000,00)00(0) 1 (書上略，同理逆元唯一是阿貝爾群，；，同理滿足消去律是阿貝爾群，證：acabacbcabacabacabacbacbababaRbbaababaaaRaaaa4/73中中不一定滿足交換律，也不一定有幺不一定滿足交換律，也不一定有幺元，但一定有零元。元，但一定有零元。3.3.子環(huán)與環(huán)同態(tài)子環(huán)與環(huán)同態(tài)定義定義9.29.2：子環(huán)：環(huán)：子環(huán)：

4、環(huán)，假設(shè)，假設(shè) 構(gòu)成環(huán)，那么為構(gòu)成環(huán)，那么為R R的子環(huán)。的子環(huán)。子環(huán)斷定：子環(huán)斷定：定義定義9.39.3：環(huán)同態(tài)：環(huán)同態(tài)：,SRS)()()()()()(:21yxyxyxyxRR封閉子群判定定理封閉群分配律半群阿貝爾群:5/73定義定義9.49.4：設(shè)：設(shè)是環(huán)：是環(huán)：(1).(1).假設(shè)假設(shè)滿足交換律，那么稱滿足交換律，那么稱R R是交換環(huán)；是交換環(huán)；(2).(2).假設(shè)假設(shè)運算含有幺元，那么稱運算含有幺元，那么稱R R是含幺環(huán)；是含幺環(huán)；(3).(3).假設(shè)有非零元素假設(shè)有非零元素a, ba, b滿足滿足ab=0ab=0，那么稱，那么稱a, a, b b為為R R的零因子的零因子(a(a

5、為左零因子，為左零因子，b b為右零因子為右零因子) )，此，此時稱時稱R R為含零因子環(huán)，否那么稱為含零因子環(huán)，否那么稱R R為無零因子環(huán)；為無零因子環(huán)；(4).(4).假設(shè)假設(shè)R R是交換環(huán)，含幺環(huán)，也是無零因子環(huán)，是交換環(huán)，含幺環(huán)，也是無零因子環(huán)，那么稱那么稱R R是整環(huán)。是整環(huán)。例例9-29-2：(1):Z,Q,R,C(1):Z,Q,R,C都是交換環(huán)，含幺環(huán)，無零都是交換環(huán)，含幺環(huán)，無零因子環(huán)，整環(huán)；因子環(huán)，整環(huán)；6/73(2):(2):定理定理9.29.2：設(shè)：設(shè)R R是環(huán)，那么是環(huán)，那么R R中無零因子當(dāng)且僅當(dāng)中無零因子當(dāng)且僅當(dāng)R R中中乘法運算滿足消去律，即：乘法運算滿足消去律，

6、即： 有：有：10000001,),()042(4,20,28888和中有零因子：是零因子，是零元，中，RMZ0,aRcba)(,中非零元可約RcbcabacbacabcbcbaRcbaacabacabaRcbaRbaabaRba，即，無零因子，由于即，則，且任取無零因子，則，若，任取證：000)(00,)(0000,)(可分配對，無零因子，可交換：封閉，可結(jié)合，含幺、逆元，可交換：封閉，可結(jié)合，含幺整環(huán)：7/73定義定義9.59.5：R R是環(huán)，令是環(huán)，令 ，假設(shè)，假設(shè) 為為阿貝爾群，那么稱阿貝爾群，那么稱為域為域(field)(field)。由于由于 為群，滿足消去律，無零因子，為群，滿足

7、消去律，無零因子，域必定域必定是整環(huán)；域也可定義為：非零元素都有乘法逆元是整環(huán)；域也可定義為：非零元素都有乘法逆元的整環(huán)。的整環(huán)。例例9-29-2：(1):, , (1):, , 均均為域，為域， 不是域，無乘法逆元；不是域，無乘法逆元；0* RR,*R*R無乘法逆元零因子，不是域，不是整環(huán)，有的逆元為的逆元為互為逆元，是域，4 , 2,66, 11534 , 2,: )2(888777ZZ8/73定理定理9.39.3：有限整環(huán)都是域。：有限整環(huán)都是域。定理定理9.49.4： 為域的充要條件是為域的充要條件是p p是是素數(shù)。素數(shù)。的逆元。是，即，使得于是存在，的元素互異，故，即時，由整環(huán)中的消

8、去律，則有逆元，則只需證，考慮，不妨設(shè)是有限整環(huán)，證：設(shè)ijjijniiiniiilikiniiiniinnrrrrrRrrrrrrrrrrrrrrrrklRrrrrrrrrrrRrrrrRrrrrrRR1,0,010,10101021211010),(ppppZZ指9/73定理定理9.59.5：設(shè)：設(shè)為域，那么為域，那么F F中非零元素在中非零元素在中有一樣的階。中有一樣的階。是素數(shù)。為整環(huán)，矛盾為域為零因子，而，則，不是素數(shù)，則若為域；有限，中無零因子，為整環(huán)，即，即，而，則若交換環(huán)，任取為含幺易知為域，為有限整環(huán)是素數(shù)證：pZZbabapbpabappZjjpipijipjiiZjiZZZpppppppppppp,00,0)(0,|0|00,1,)(10/73定義定義9.69.6：設(shè)：設(shè)為域，為域， 為為F F的子環(huán)的子環(huán)，且，且為域，那么稱為域，那么稱S S為為F F的子域。的子域。|00)()(|000)()(,abbamamambabmambmbabnbnbaFnabanbnbFnaFF即，的階不超過，可知，由，即的階為設(shè)，即的階不超過，故無零因子，且，而。的階也是中任一非零元素則時，具有有限階中有非零元素當(dāng)時，命題成立；中每個元素都是無限階證：當(dāng)11/73定理定理9.69.6