2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)及詳細(xì)解析(上海卷.理)

1、2019年上海高考數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)詳細(xì)解答試卷整理者：江蘇唐新進(jìn)考生注意：1 .答卷前，考生務(wù)必講姓名、高考準(zhǔn)考證號(hào)、校驗(yàn)碼等填寫清楚.2 .本試卷共22道試題，滿分150分.考13t時(shí)間120分鐘，請(qǐng)考生用鋼筆或圓珠筆將答案 直接寫在試卷上.一、填空題(本大題滿分 48分)本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分。1 ,、1、函數(shù) f (x) = log 4(x +1)的反函數(shù) f (x)=。解答：f(x) =log4(x 1)= x 1 = 4f(x)= X =4f(x) 1反函數(shù)f,(x)= 4x -12、方程4x +2x 2 =0的解是解答：4x

2、2x 2 = 0- (2x -1)(2x 2) = 0- 2x =1- x = 03、直角坐標(biāo)平面xoy中，若定點(diǎn) A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足OP oA = 4,則點(diǎn)P的 軌跡方程是。解答：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),則由OP無=4知*+2丫 = 4= x + 2y 4=0104、在(xa)10的展開式中，x7的系數(shù)是15,則實(shí)數(shù)a=。7. 7331 1斛答：x 的系數(shù) C10 M (-a) =15= (-a) =一= a = 825、若雙曲線的漸近線方程為 y = =3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)是(Ji0,0、則雙曲線的方程是解答：由雙曲線的漸近線方程為y = =3x ,知9=3,a它的一個(gè)焦點(diǎn)

3、是 Q1c,0),知a2+b2=10,因此a = 1,b=32雙曲線的方程是x2-L=19x = 1 +2 cos 日, 6、將參數(shù)方程,(日為參數(shù))化為普通方程，所得方程是 、y=2sin解答：（x -1）2 y2 =4n -1n3_ 27、計(jì)算：lim -仃f ：3n - 2n8、某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程。從班級(jí)中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是 。(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)解答:15 35 35 15 3x+x二50 49 50 49 79、在 AABC 中，若 A =120 AB=5 , BC=7 ,則 AABC 的面積 S=解答：由余弦定理

4、AB2 =BC2 - AC2 -2BC AC cos120解的AC=3 ,因此115、3AABC 的面積 S=m AB x AC xsin120* = 15 2410、 函數(shù)f (x) =sin x+2 | sin x |,x w 0,2冗的圖象與直線 y = k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是解答:f (x) = 3sin x, x 0,二 1一sin x, xh ,2二 1從圖象可以看出直線y = k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，1 < k < 3211、有兩個(gè)相同的直二棱枉，局為 一，底面a三角形的三邊長分別為 3a,4a,5a(a a 0)。用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱

5、，在所有可能 的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是。解答：兩個(gè)相同的直三棱柱并排放拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有三種情況四棱柱有一種，就是邊長為 5a的邊重合在一起，表面積為 24 a2+28三棱柱有兩種，邊長為 4a的邊重合在一起，表面積為24a2+32邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24 a2+36兩個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況表面積為12 a 2+48最小的是一個(gè)四棱柱，這說明24a2 28 ； 12a2 48= 12a2 :二20 = 0a :二/5312、用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1，a2,，an可得到n!個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)n!行的數(shù)陣。對(duì)第i行a

6、ii, ai2,，ain ,記 bi = -aii +2ai2 3ai3 +.+(1)nnain ,i =1,2,3，n!。例如：用1, 2, 3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,123所以，6+b2+ +b6 = 12+2x123x12 = 24,那么，132213在用1, 2, 3, 4, 5形成的數(shù)陣中， b1 +b2+b120=。231312321解答：在用1, 2, 3, 4, 5形成的數(shù)陣中，每一列各數(shù)之和都是360,b1 b2b120 = -360 2 360 -3 360 4 360 -5 360 = -1080二、選擇題（本大題滿分 16分）本大題共有4題，每

7、題都給出代號(hào)為 A、B、C、D的 四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)， 選對(duì)得4分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得零分。一一 113、若函數(shù)f （x）=,則該函數(shù)在（8，+8）上是（） 2x 1A.單調(diào)遞減無最小值B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無最大值D.單調(diào)遞增有最大值一、1解答：由于2x+1在（-叱收）上大于0單調(diào)遞增，所以f（x） 2711單調(diào)遞減，（-00 ,+ °0）是開區(qū)間，所以最小值無法取到，選A14、已知集合 M = x | x-1 |E 2, x w r,P =/x|5-之 1,xW

8、Z "則 M 1 P等于 x +1A. x0<xW3,xWZB. x|0<x<3,x=Z)C. 4| -1 Mx M0,xW ZD. &| -1 Mx <0,xW Z)解答：M - ；x| -1 _x _3, x R)P - *x 10 x 4,x Z .>M 1p=x|0WxW3,xWz,選 B15、過拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線()C.有無窮多條D.不存在A.有且僅有一條B.有且僅有兩條解答：丫2=4*的焦點(diǎn)是(1, 0),設(shè)直線方程為 y = k(x1) k#0 (1)將

9、(1)代入拋物線方程可得 k2x2 -(2k2 +4)x + k2 = 0 , x顯然有兩個(gè)實(shí)根，且都大于2k2 422.30,匕們的橫坐標(biāo)之和是 2 = 5= 3k =4=k = ±，選Bk3lg | x-11|, x #116、設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)=，則關(guān)于x的方程0,x = 1f2(x) +bf(x) +c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()A. b<0 且 c>0B. b>0 且 c<0C. b<0 且 c = 0D. b20且 c=0f (x) = a(1)a > 0,不同實(shí)數(shù)解有4個(gè)解答：(2)a=Q不同實(shí)數(shù)解有3個(gè)(3)a &

10、lt;0,沒有實(shí)數(shù)解22f (x)+bf(x)+c =0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是萬程x +bx + c = 0有兩個(gè)根，一個(gè)等于0, 一個(gè)大于0。此時(shí)應(yīng)b<0且c=0。選C一、解答題(本大題滿分 86分)本大題共有 6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.17 .(本題滿分12分)已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 =2 ,底面ABCD是直角梯形，/A為直角，AB/CD , AB=4, AD=2, DC=1,求異面直線BC與DC所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)解18 .解法一由題意 AB/CD ,，/ C1BA是異面直線 BCi與DC所成的角.連結(jié)AC 1與AC

11、,在RtAADC中，可得AC = J5 , 又在Rt4ACC1中，可得 AC 1=3.在梯形 ABCD中，過 C作CH/AD 交AB于H , 得 CHB =90 ,CH =2, HB =3,. CB = . 13又在 riicbCi 中，可得 BCi =<i7 ,在 ABG中,cos ABCiAB2 BC12 - AC122AB BCi5 ,ABC1 = arcco，異而直線BCi與DC所成角的大小為arccos.17 .17解法二如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 AD、DC、DDi所在直線為x、V、z軸建立直 角坐標(biāo)系.貝UCi (0, 1, 2), B (2, 4, 0)二 BCi =(

12、2,4,2),CD =(o1,0)，設(shè)BC與CD所成的角為日，制 . BCi CD 3.17 .3.17cos 1 =.二-arccos,| BC1 |CD |1717一 . 3.17，異面直線BC與DC所成角的大小為 arccos.175 _ 5i 5-i (i為虛數(shù)單位)無解.19 .(本題滿分12分)2-證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程 z (1-i)z-(1 i)證明原方程化簡(jiǎn)為 |z|2 +(1 -i)z-(1 +i)z = 1 3i.卜2 十 y2 =1(1)2x+2y =3(2)設(shè)2=乂+丫1 (x、y w R),代入上述方程得 x2 + y2 -2xi -2yi = 13i.2將(2)

13、代入(1),整理得8x 12x+5 = 0.丁 = -16 <0,.方程f(x)無實(shí)數(shù)解，原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解20 .(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題?黃分8分.22如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓 + =1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn) 36 20P在橢圓上，且位于 x軸上方，PA_L PF .(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長軸 AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于 MB ,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.解解(1)由已知可得點(diǎn) A ( 6, 0), F (4, 0) 設(shè) 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo)(x,y),則AP=x + 6,y, FP=x 4

14、,y,由已知得, 22土 .L=1n-3嚇36 20則 2x2 +9x-18=0,x=-或 x = -6.(x 6)(x 一4) y2 = 0235 3 5由于y a 0,只能x二萬,于是y =萬V3,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(萬,-v13).(2)直線AP的方程是xJ3y+6=0.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m, 0),則M到直線AP的距離是|m+6|2，1m +6 | =| m 6|,又-6 < m £6,解得 m = 2, 2橢圓上的點(diǎn)(x, y)到點(diǎn)M的距離d有2_2225 249 2d2 =(x -2)2 y2 -x2 -4x 4 20 - -x2(x-)2 15,9929由于-6 WxE6

15、,二當(dāng)x = 9時(shí),d取得最小值Vi5.220.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題?黃分8分.假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米，其中有 250萬平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今 后的若干年后，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中底價(jià)房的面積均比上一年增加 50萬平方米.那么，到哪一年底(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以 2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于 4750萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85% ?解：(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an,由題意可知an是等差數(shù)列，其中 a1=250,

16、 d=50,貝U Sn =250n+nnz1)M50 = 25n2 +225n,2令 25n2 +225n 之4750,即 n2 +9n 190 之 0,而n是正整數(shù)，二 n >10.到2013年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn,由題意可知bn是等比數(shù)列，其中 b二400, q=1.08,則 bn=400 - (1.08)n 1由題意可知an0.85bn有 250+(n1)50>400 <1.08)n 1 . 0.85.由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6,.到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年

17、建造住房面積的比例首次大于85%.21.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3 小題滿分6分.對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y = f(x)、y = g(x),f (x) g(x)當(dāng)xw DfHx = Dg規(guī)定：函數(shù)h(x)=«f(x)當(dāng)xwDf且x更Dg .g(x)當(dāng)x更Df且x三Dg,J12(1)若函數(shù)f(x)=，g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式；x -1(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域；(3)若g(x) = f (x+u),其中口是常數(shù)，且"W 0,n ,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f (x),及一個(gè)a的值，使得h(x) =cos4x ,并予以證明.2解(1) h(x) = "11x (-二,1) 一(1,二)x =1(2)當(dāng) x =1 時(shí)，h(x)2_ xx -1若x >1,則h(x)24,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立,若x<1,則h(x) W 4,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立,函數(shù) h(x)的值域(-二,0 一1 . 4, 二)." _._兀(3)斛法一令 f (x) =