二次函數(shù)知識點歸納總結

1、二次函數(shù)知識點歸納1.定乂：一般地，如果y二ax?潛bx c（ a, b, c是常數(shù)，a 0），那么y叫做x的二次函數(shù)2. 二次函數(shù)y ax 2的性質(zhì)（1） 拋物線y -ax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)y ax2的圖像與a的符號關系. 當a . 0時二拋物線開口向上二 頂點為其最低點； 當a 0時二拋物線開口向下 =頂點為其最高點.（3） 頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y _ ax2（0）.3. 二次函數(shù)y -ax2 bx c的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.b4二次函數(shù)y _ax 2 bx - c用配方法可化成：y a x - h 2 k的形式

2、，其中h， k_ 4acb22a4a5. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y = ax2 : y =ax 2 亠 k : y = a(xh)2 :y a x 1 . h / ） *k : y "ax2 +bx 卞.6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點a的符號決定拋物線的開口方向：當a - 0時，開口向上；當 a 0時，開口向下;a.相等，拋物線的開口大小、形狀相同平行于y軸（或重合）的直線記作 x -h .特別地，y軸記作直線x - 0.7. 頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù) a相同，那么拋物線的開口方向、開口大 小完全相同，只是頂點的位置不

3、同.8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法(1 )公式法：y - axbx c . a x-24ac b 2b，頂點是 （一4ac b 2），對稱軸是直線x= - b2a4a2a4a2a（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y ax h 2 k的形式，得到頂點為（h , k ），對稱軸是直線x - h .（3 ）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失-2 -9. 拋物線y -ax2 bx c中，a,b, c的作用(1) a決定開口方

4、向及開口大小，這與y - ax2中的a完全一樣.(2) b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax 2 + bc的對稱軸是直線，故：b 0時，對稱軸為2ay軸；ba0 (即 a、b同號)時，對稱軸在y軸左側-3 -# -(即a、b異號)時，對稱軸在 y軸右側(3) c的大小決定拋物線 y ax2 bx c與y軸交點的位置.當x - 0時，y c ,.拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點(0, c ):c -0 ,拋物線經(jīng)過原點；c 0 ,與y軸交于正半軸；c 0 ,與y軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立 .如拋物線的對稱軸在y軸右側，則 衛(wèi) 0 .a1

5、0.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標一 2 y _ax當a A 0時開口向上當a /時x = 0 ( y 軸)(0,0 )y =ax 2 +kx = 0 ( y 軸)(0, k )yx h)x = h(h ,0)-y a x h ' kx(h , k )y - =ax2 +bx 總開口向下x 二 F-b2ab 4ac 2(2a ， 4a)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1 )一般式：y -ax2 bx c .已知圖像上三點或三對 x、y的值，通常選擇一般式(2 )頂點式：y -ax h 2 k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式(3)交點式：

6、已知圖像與x軸的父點坐標 X1、x2，通常選用交點式：y a x x 1 x X2 .12.直線與拋物線的交點(1) y軸與拋物線y -ax2 bx c得交點為(0, c ).(2) 與 y軸平行的直線x - h與拋物線y - ax 2 bx c有且只有一個交點(h , ah 2b c ).(3)拋物線與x軸的交點二次函數(shù)y -ax2 bx- c的圖像 與x軸的兩個 交點 的橫 坐標xi、X2，是對應一元 二次方 程ax 2 bx y 0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點二 0二拋物線與x軸相交； 有一個交點（頂點在 x軸上） 二- 0二

7、 拋物線與x軸相切； 沒有交點二 0 拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點同（3） 一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax 2 bx c'的兩個實數(shù)根.（5）一次函數(shù)y =kx+ n （k老0 的圖像I與二次函數(shù)y Max2 + bx + Ca電）的圖像G的交點，由方程組y =kx 'n的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時I與G有兩個交點；方程組只y - ax2 bx c有一組解時 一I與G只有一個交點；方程組無解時I與G沒有交點.（）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線_2，與x軸兩交點

8、為6y ax bx cA xi，0，B x2，0，由于xi、X2是方程ax2 bx c 一 0的兩個根，故bxi X2 二一，xi - X2 二 caa2II Li vx112 _y 耳AB = xi -X2 二 Ixi X2=寸（xi = x2 二4xi X2= i捲二七 i= b | 4ac =rrJ a a ia二次函數(shù)圖象的平移（左加右減）i. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng) aX h - k ,確定其頂點坐標h , k ;保持拋物線y.ax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下:2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“ h值正右移，負左移；k值正上移，負下移” 概括成八個字“左加右減，上加 下減”.方法二：y -ax2 bx c沿y軸平移:向上（下）平移 m個單位，y - ax2 bx