八年級上數(shù)學(xué)-全等三角形典型例題(一)

1、全等三角形典型例題:例1:把兩個含有45°角的直角三角板如圖證：AF ± BE.ECA練習(xí)1:如圖，在 ABC中，/ BAC=90 °,AB=AC , AE是過點(diǎn)A的直線,BD± AE, CEXAE,1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE, AD , AD的延長線交 BE于點(diǎn)F.求如果CE=3, BD=7,請你求出 DE的長度。 CMN等邊三角形；（4）例2: DAC, EBC均是等邊三角形， AE,BD分別與CD,CE交于點(diǎn)M,N,求證：(1) AE=BD (2)CM=CN; (3)例3: （10分）已知， ABC中，/ BAC = 90 : AB = AC,

2、過A任作一直線1,作BDl于D, CEl于E,觀察 三條線段BD, CE, DE之間的數(shù)量關(guān)系.如圖1,當(dāng)1經(jīng)過BC中點(diǎn)時，DE = （1分），此時BD CE （ 1分）.如圖2,當(dāng)1不與線段BC相交時，BD, CE, DE三者的數(shù)量關(guān)系為 ,并證明你的結(jié)論.（3分）如圖3,當(dāng)1與線段BC相交，交點(diǎn)靠近 B點(diǎn)時，BD, CE, DE三者的數(shù)量關(guān)系為 .證明你的結(jié)論（4分），并畫圖直接寫出交點(diǎn)靠近 C點(diǎn)時，BD, CE, DE三者的數(shù)量關(guān)系為 . （1分）練習(xí)1:以直角三角形 ABC的兩直角邊 AB BC為一邊，分別向外作等邊三角形4 ABE和等邊/ BCF連結(jié)EF、EG試說明：（1） EF=

3、EC （2） EB± CF練習(xí)2:如圖（1） A E、F、C在同一直線上， AE=CF過 E F分另1J作 DEI AC, BF± AC若AB=CD G是EF的中點(diǎn)嗎？請 證明你的結(jié)論。若將 /ABC的邊EC經(jīng)AC方向移動變?yōu)閳D（2）時，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？BC例四：如圖 1,已知，AC ± CE, AC=CE ,/ABC=/CDE=90 ° ,問 BD=AB+ED 嗎？分析：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90。角，得到一組等量關(guān)系；（2）出現(xiàn)3個垂直，往往意味著要運(yùn)用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系;（3）由全等得到

4、邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：如如圖6,除了得到三組對應(yīng)邊相等之外，還可以得到AC=BD。解答過程：得到 ABCCDE之后，可得到 BC=DE, AB=CDBC+CD=DE+AB （等式性質(zhì)） 即：BD=AB+DE變形1:如圖7,如果 ABCA CDE ,請說明AC與CE的關(guān)系。注意:兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類）位置關(guān)系（垂直，平行之類）變形2:如圖，E是正方形 ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn) A作FAXAE交CB的延長線于點(diǎn) F,求證：DE=BF分析:注意圖形中有多個直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形 3:如圖 8,

5、在 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC , AE 是過點(diǎn) A 的直線，BD ± AE , CE XAE ,如果CE=3 , BD=7 ,請你求出 DE的長度。所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個Rt全等（如于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC ,直角=直角，再由多個垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系。解：由題意可得：在 RtAABD中，/ 1 + /ABD=90 °又 /BAC=90° （已知）,即/1 + /CAE=90/ABD=/CAE （等角的余角相等）故在4ABD 與4CAE中，/ BDA= / AEC=90 ° （垂直

6、定義）1/ABD=/CAE （已求）、AB=AC （已知）AABDA CAE （AAS）AE=BD=7 , AD=EC=3 （全等三角形的對應(yīng)邊相等DE=AE -AD =7 -3=49A>c圖8（直角三角形的兩個銳角互余） ° A :C）分析:說明相等的邊所在的三角形全等，題中 “ AB=AC "，發(fā)現(xiàn)：AB 在 RtAABD 中，AC 在 RtA CAE 中，/d（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖M7AB圖109的位置時， ADCACEB,且 DE=AD+BE 。你能說出其中的道理嗎？10的位置時， DE =A

7、D-BE 。說說你的理由。11的位置時，4問DE, AD , BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系。：4b a4b11E12ACB= 90 > AC=BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C,且 ADXMNNN圖14等腰三角形、等邊三角形的全等問題必備知識:如右圖，由/1 = /2,可得/ CBE=/DBA;反之，也成立例五：已知在 ABC中，AB=AC ,在 ADE中，AD=AE ,且/ 1 = /2,請問BD=CE嗎?分析這類題目的難點(diǎn)在于，需要將本來就存在于同一個三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個三角形中，看成是一組三角形的對應(yīng)邊，題目中所給的 ABC與4ADE是用來干擾你的思路的，

8、應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起,加上所求的 “BD=CE"，你會發(fā)現(xiàn) BD在4ABD中，CE在4ACE中，這樣一來，"AB=AC ”可以理解為：AB在4ABD中，AC在 ACE中，它們是一組對應(yīng)邊;“AD=AE ”可以理解為：AD在4ABD中，AE在 ACE中，它們是一組對應(yīng)邊;所以只需要說明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說明相等的邊（角） 所在的三角形全等解： /1=/2 （已知）/ 1 + / CAD= Z 2+Z CAD （等式性質(zhì)）即：/ BAD= / CAE在4ABD 與4ACE中,AB=AC （已知）< ZBAD= / CAE （已求）AD=AE

9、AABD ACE （SAS）BD=CE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）變形 1:如圖 14,已知/ BAC=/DAE, / 1 = /2, BD=CE ,請說明 ABD0ACE.嗎？為什么？SAS說明全等,分析:例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用此題是兩組角相等，那么該如何做呢變形2:過點(diǎn)A分別作兩個大小不一樣的等邊三角形，連接 BD, CE,請說明它們相等。分析:此題實(shí)際上是例三的變形，只不過將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求問題，把BD看成在4ABD的一邊，CE看成 ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。cAB=AC , AD=AEA153:如圖1618,還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化連接BD, CE,請說明它們AB=AC , AD=AE1617AD=AE ABD ACE (SAS)1618的類型，請同學(xué)們自己去完成60。換成直角了，思路一樣變形4:如圖，四邊形 ABCD、DEFG都是正方形，連接 AE、CG, AE與CG相交于點(diǎn) M, CG與AD相交于點(diǎn)N.求證：AE =CG ;分析:和上面相比，只不過等邊三角形換成正方形,例六： 如圖， ABC中，/ C=90 , AB=2AC , M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N在BC上，MN XAB.求證：AN平分/ BAC.分析:要說