初中數(shù)學(xué)全等三角形精講練習(xí)

1、初中數(shù)學(xué)全等三角形精講練習(xí)用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心(宋)七年級(jí)數(shù)學(xué)三角形精講知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)1 .三角形的三邊之間的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊2 .三角形的內(nèi)角和三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180°。3 .三角形全等的條件(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡(jiǎn)寫為“ SSS 。ASA 0(2)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“(3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成 “AAS 。(4)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成 “HL' o4 .

2、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。5 .三角形的外角性質(zhì)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。專題總復(fù)習(xí)(一) 全等三角形、軸對(duì)稱一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解全等三角形概念及全等多邊形的概念.2、掌握并會(huì)運(yùn)用三角形全等的判定和性質(zhì)，能應(yīng)用三角形的全等解決 一些實(shí)際問(wèn)題.3、通過(guò)復(fù)習(xí)，能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)空間 構(gòu)造的思考能力.二、重難點(diǎn)分析：1、全等三角形的性質(zhì)與判定；2、全等三角形的性質(zhì)、判定與解決實(shí)際生活問(wèn)題.三、知識(shí)點(diǎn)梳理：知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的概念一一能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三 角形.知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì).(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相

3、等.(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.知識(shí)點(diǎn)三：判定兩個(gè)三角形全等的方法 .(1) SSS (2) SAS (3) ASA (4) AAS (5) HL (只對(duì)直角三形來(lái) 說(shuō))知識(shí)點(diǎn)四：尋找全等三形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的規(guī)律.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商=#學(xué)思維能力-1 -用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心(宋)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊 .有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角 .有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角.全等三角形中的最大邊(角)是對(duì)應(yīng)邊(角)，最小邊(角)是對(duì)應(yīng) 邊(角)

4、.知識(shí)點(diǎn)五：找全等三角形的方法.(1) 一般來(lái)說(shuō)，要證明相等的兩條線段(或兩個(gè)角)，可以從結(jié)論出 發(fā)，看它們分別落在哪兩具可能的全等三角形中.(常用的辦法)(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等(3)可以從已知條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能否一同確定哪兩個(gè)三 角形全等.(4)如無(wú)法證證明全等時(shí)，可考慮作輔助線的方法，構(gòu)造成全等三角 形.知識(shí)點(diǎn)六：角平分線的性質(zhì)及判定.(1)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(2)角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分 線上.(3)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線交于一點(diǎn)， 且到三角形三邊距離相

5、等.知識(shí)點(diǎn)七：證明線段相等的方法.(重點(diǎn))(1)中點(diǎn)性質(zhì)(中位線、中線、垂直平分線)(2)證明兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊相等(3)借助中間線段相等.知識(shí)點(diǎn)八：證明角相等的方法.(重點(diǎn))(1)對(duì)頂角相等；(2)同角或等角的余角(或補(bǔ)角)相等；(3)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等；(4)角平分線的定義；(5)垂直的定義；(6)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(7)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和 .數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商=#學(xué)思維能力用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心(宋)知識(shí)點(diǎn)九：全等三角形中幾個(gè)重要的結(jié)論.(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；(3

6、)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.知識(shí)點(diǎn)十：三角形中常見輔助線的作法.(重難點(diǎn))(1)延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形(倍長(zhǎng)線段法)；(2)引平行線構(gòu)造全等三角形；(3)作垂直線段(或高)；(4)取長(zhǎng)補(bǔ)短法(截取法).【典型例題】例1.已知：如圖， ABC中，AB= AC, D E、F分別在 AR BG CA 上，且BA CE /DE曰/B,圖中是否存在和 BDE全等的三角形？說(shuō)明理 由。ADFB E C解：CEFABDE理由：V AB= AC,./ B=/C又DE及 / B+ /BDE / DE斗 / CE曰 / B+ / BDE一/DE曰 /B,，/CE曰 /BDE.CEFABDE( ASA例 2.已知

7、：AB= CD DEEL AC BF=1 AC 垂足分別為 E、F, BF= DEE,則 AB/ CD為什么？數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力-3-用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心(宋)D CE A B解：理由：V DEL AC BF± AC丁./ DEC= / BFA= 90°在 RtADEC口 RtBFA 中.RtADECRtABF/( HL)丁 / DC丘 / BAF.CD/ AB例3.用兩個(gè)全等的等邊 ABC和4ACD拼成一個(gè)四邊形 ABCD把一個(gè) 含60°角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn) A重合，兩邊分

8、別與AB AC重合，將三角尺繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，問(wèn)：當(dāng) 三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC CD相交于E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。F解：結(jié)論：BE= CF理由：ABC AACD為等邊三角形.AB= AC, /B= /AC曰60° , / BAC= 60又/1 + /EAC= 60° , /2+/EAC= 60°Z 1 = / 2.ABEACIZ（ ASA.BE= CF例4.如圖，AD是AABC的角平分線，AE是BC邊上的高，/ B= 20° , /C= 40° ,求/ DAE的度數(shù)。數(shù)學(xué)知識(shí)

9、與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商=#學(xué)思維能力-4 -用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心（宋）又/B= 20° , / C= 40°，/BAG= 180° -20° -40° =120°. AD平分/ BAC，/D叱 BAX 120602211oo,. AEE! BC，/AEC= 90°又C= 40°，/EAC= 90° -40° =50°，/DA2 /DAC- /EAC60° -50° =10例5.如圖，已知 AC/BD, EA、EB分另1J平分/ CAB / DBA

10、 CD過(guò)點(diǎn)E,且AC= 3cm, BA 5cm,你能利用全等三角形有關(guān)知識(shí)測(cè)出AB的長(zhǎng)嗎?DE C解：如圖所示，在 AB上截取AF= AC,連結(jié)EFEA F BAE是/CAB平分線，/ CA2 / BAE/AO AF, AE= AE.AC珞 AAFE / C= / EFA. AC/ BQ，/C+ /D= 180° /AF曰 / EF氏 180°/ D= / EFB. BE 平分/DBA，/DBE= / FBE,. BE= BE, .DB珞AFBE，BF= BD數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心（宋）.AB= AO BD/AO

11、3cm, BA5cm，A及 8cm全等三角形的有關(guān)證明（提高篇）關(guān)鍵：三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“把相等的邊（角）放入 正確的三角形中”，去說(shuō)明“相等的邊（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相等（兩條邊相 等）是初中里面一個(gè)非常常見而又重要的方法。要說(shuō)明兩邊相等，兩角相等，最常用的方法就是說(shuō)明三角形全等直角三角形的全等問(wèn)題：直角三角形的研究是整個(gè)中學(xué)幾何圖形部分里 的重點(diǎn)！直角三角形有關(guān)的全等問(wèn)題中，除了特用的HL定理之外，在條件的尋找上首先就有了一組直角相等；而多個(gè)直角，多個(gè)垂直的圖形組合在一塊 時(shí)，就很容易利用“同（等）角的余角相等”來(lái)得到其他的角相等。例一：圖 1

12、,已知 DOL BG OC=OAOB=OD 問(wèn) CD=AB馬？分析:此圖形可看作繞 O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，由垂直得到一組直角，把結(jié)合其他兩組邊，很容易找到他們所在的三角形。C變形1：請(qǐng)說(shuō)明 BCE是直角三角形。圖1（利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余這兩 個(gè)性質(zhì)進(jìn)行代換和轉(zhuǎn)換）解：易得AOBACOD）（此過(guò)程較簡(jiǎn)單，略過(guò)不描述）. ZB=Z D （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）又/OABNDAE（對(duì)頂角相等）而在RtAOB中，/OAB+B=90° （直角三角形的兩個(gè)銳角互余） . /DAE+： D=90 （等量代換），在 4ADE 中，/DEA=180 （/DAE它 D）=9

13、0/BEC=90 （補(bǔ)角性質(zhì)）故4BCE是直角三角形數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力-6 -用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心（宋）變形2:把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)D在BC 上， 連結(jié)BE, AD, AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F.求證：AF±BE分析:此圖中要說(shuō)明AFLBE與上題中 BCE是直角三角形是一樣的 意思， 只需要說(shuō)明/ BFD=90即可變形3:兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖 1所示放置，圖 2是由它抽象出的幾何圖形， B, C, E在同一條直線上，連結(jié) CD.（彩圖 為提示）（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明

14、：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：CDLBE圖1A變形4、如圖2,在 ABC中，高AD與BE相交于點(diǎn)H,且AD=BD問(wèn)ABH陰AACID為什么？分析:此題實(shí)際上就是變形1的反問(wèn)，已經(jīng)存在一組直角（由垂直 得到），BH圖2圖2BE C一組相等的邊（已知），再利用“同（等）角的余角相等”來(lái)得到第二 組角相等！E變形5:如圖3, 已知EDLAR EF=1 BC BD=EF問(wèn)BM=M嗎？說(shuō)明 理由。M BD圖3C FA變形6:如圖4, AD是一段斜坡，AB是水平線，現(xiàn)為了測(cè)斜坡上一點(diǎn) D的豎直高度DB的長(zhǎng)度，歡歡在D處立上一竹竿CD,并彳證CDLAD然后在竿頂C處垂下一根繩CE與斜坡 的交點(diǎn)

15、為點(diǎn)E數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力A-7 -用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心（宋）使得CE=AD此時(shí)他測(cè)得DE=2米，于是他認(rèn)定 DB的高度也為2米，你 覺得對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。例二：如圖 1,已知，ACL CE AC=CE ZABC= CDE=90 ,問(wèn) BD=AB+E明？分析（1）凡是題中的垂直往往意味著會(huì)有一組90°角，得到一組等量關(guān)系;（2）出現(xiàn)3個(gè)垂直，往往意味著要運(yùn)用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系；（3）由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：如如圖6,除了得到三組對(duì)應(yīng)邊相等之外，還可以得到AC=BD解答過(guò)程：得

16、至ABCCDE之后，可得至ij BC=DE AB=CD，BC+CD=DE+A席式性質(zhì)）即：BD=AB+DE變形1:如圖7,如果ABCACDE請(qǐng)說(shuō)明 AC與CE的關(guān)系。 意:兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類）位置關(guān)系（垂直，平行之類）圖6圖7變形2:如圖，E是正方形ABC曲邊DC上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) A作FAIAE 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商=#學(xué)思維能力-8 -用心、愛心、專心、細(xì)心、耐心（宋）求證：DE=BF分析:注意圖形中有多個(gè)直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到 一組銳角相等。EF變形3:如圖8,在 ABC中，/ BAC=90 , AB

17、=AC AE是過(guò)點(diǎn)A的直 線，BDLAE, CELAE,如果CE=3 BD=7請(qǐng)你求出DE的長(zhǎng)度。分析:說(shuō)明相等的邊所在的三角形全等，題中“AB=AC,發(fā)現(xiàn)：AB在RtABD中，AC在RtCAE中， 所以嘗試著去找條件，去說(shuō)明它們所在的兩個(gè)Rt全等（如圖9）于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC直角=直角，再由多個(gè)垂直利用同角的余角相 等，得到第三組等量關(guān)系。解：由題意可得：在 RtABD中，/ 1+/ ABD=90 （直角三角形的兩個(gè) 銳角互余） 又丁 /BAC=90 （已知）,即/1+/ CAE=90 ，ZABD= CAE（等角的余角相等）故在4ABD與4CAE中，BDAM AEC=90

18、 （垂直定義）/ABD= CAE （已求） I sAB=AC （已知）ABN ACAE（ AAS. AE=BD=7 AD=EC=3 (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，DE=AE變形4:在 ABC中，/ACB= 900 AC=BC直線 MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且 ADLMN于D, BE!MN于E。(1)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時(shí),AD孥ACEB且 DE=AD+BE你能說(shuō)出其中的道理嗎？數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力(2)當(dāng)直線MNgg點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，DE =AD-BE0說(shuō)說(shuō)你的 理由。(3)當(dāng)直線MN點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖11%MDEDNT圖12MEA圖10等腰三角形、等邊三角

19、形的全等問(wèn)題:必備知識(shí):如右圖，由/ 1=/ 2,可得/ CBE4DBA反之，也成立。D例三：已知在 ABC中，AB=AC在4ADE中，AD=AE且/ 1=/ 2,請(qǐng) 問(wèn)BD=CE 馬？分析這類題目的難點(diǎn)在于，需要將本來(lái)就存在于同一個(gè)三角形中的一 組相等的邊，分別放入兩個(gè)三角形中，看成是一組三角形的對(duì)應(yīng)邊，題目中所給的 ABC與4ADE是用來(lái)干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何 把兩組相等的邊聯(lián)系到一起，加上所求的“ BD=CE，你會(huì)發(fā)現(xiàn) BD在4ABD中，CE在4ACE中，這樣一來(lái)，"AB=AC可以理解為： AB在4ABD中，AC在4ACE中，它 們是一組對(duì)應(yīng)邊；“AD=AE可以理解為：

20、AD在4ABD中，AE在4ACE中，它們是一組對(duì) 應(yīng)邊；所以只需要說(shuō)明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說(shuō)明“相等的邊（角）所在的三角形全等"解：/1=/2 （已知） /1+/ CAD=2+/ CAD（等式性質(zhì)）圖13EB即：/ BAD4 CAE.在 ABD 與 ACE中，AB=AC （已知）數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力-10 -D/ BAD4 CAE （已求） AD=AE，AABID AACE（ SAS. BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）請(qǐng)說(shuō)明變形 1:如圖 13,已知/ BAC4 DAE /1=/2, BD=CEABT ACE.嗎？為什么？分析:例三

21、是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說(shuō)明全等，此題是兩組角相等，那么該如何做呢 ？變形2:過(guò)點(diǎn)A分別作兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形，連接BD, CE,請(qǐng)說(shuō)明它們相等。分析:此題實(shí)際上是例三的變形，只不過(guò)將等腰三角形換成了等邊三 角形，只要你根據(jù)所求問(wèn)題，把 BD看成在 ABD的一邊，CE看成4ACE的 一邊，自然就得到了證明的方向。解：:ABC與4ADE是等邊三角形，EB圖14，AB=AC AD=AE/ BAC= DAE=60 ，/ BACV CAD= DAEV CAD（等式性質(zhì)） 即：/ BAD4 CAE變形3:如圖16 18,還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置 稍加變化，連接BD

22、, CE,請(qǐng)說(shuō)明它們相等B圖15這里僅以圖17進(jìn)行說(shuō)明解：: 4ABC與4ADE是等邊三角形，AB=AC AD=AEBB/ BAC4 DAE=60 ./BAO CAD=DAE CAD即：/ BAD4 BAD4 CAE，在 ABD 與 ACE 中，B圖17AB=AC （已知）A-11 -AB*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商=/BAD4 CAE （已求）AD=AEABN AACE( SAS. BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）BA圖16,圖18的類型，請(qǐng)同學(xué)們自己去完成BA變形4:如圖，四邊形 ABCD DEFGTB是正方形，連接 AB CQ AE與CG相交于 點(diǎn) M, CG與AD相交于點(diǎn)N.求證：AE分析:和上面相比，只不過(guò)等邊三角形換成正方形，60例四： 如圖， ABC中，/ C=90 , AB=2AC M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N在 BC上，MNLAB.求證：AN平分/ BAC.分析:要說(shuō)明AN平分/BAC必須說(shuō)明兩角相等，可以說(shuō)明AM降 CAN而題中已有了一組直角相等，一組公共邊（斜邊）結(jié)合題目中條件，比較容易找到一邊直角邊相等，從而利用HL定理得到全等。B數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言*數(shù)學(xué)思維方法*情感智商m學(xué)思維能力-12 -變形1:在RtABC中，已知/ A=90° , DHBC于E點(diǎn)，如果 AD=DE BD=CD求/C的度數(shù)DB【模