2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題附答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題附答案一、平行四邊形1 .如圖，矩形 ABCD中，AB=6, BC=4,過對(duì)角線 BD中點(diǎn)O的直線分別交 AB, CD邊于點(diǎn)E, F.（1）求證：四邊形 BEDF是平行四邊形;【答案】（1）證明見解析；（2） M3.3【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形 ABCD的性質(zhì)，判定 BOEDOF （ASA）,得出四邊形BEDF的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 E0,即可得出EF的長(zhǎng).詳解：（1）證明：二四邊形ABCD是矩形，0是BD的中點(diǎn)，/ A=90 ；

2、 AD=BC=4, AB/ DC, OB=OD,/ OBE=Z ODF,在 BOE和 DOF中，OBE ODFOB ODBOE DOF. .BO叵 DOF (ASA),EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD± EF,設(shè) BE=x,則 DE=x, AE=6-x,在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2,.x2=42+ (6-x) 2,13解得：x= 一,3- BD=VaD2_AB2 =2713 ,.OB=1bD= .13. BDEF,，EOBE2 OB、213,. EF=2EO=4 13 .3點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、

3、全等三角形的判定與性質(zhì), 熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵2.在4ABC中，AB=BC點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn) P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P不與點(diǎn) A, O, C重合).過點(diǎn)A,點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn) E和點(diǎn)F,連接OE, OF(1)如圖1,請(qǐng)直接寫出線段 OE與OF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)/ABC=90時(shí)，請(qǐng)判斷線段 OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明 理由(3)若|CF-AE|=2, EF=2j3,當(dāng)APOF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng).圖1圖2普用圖【答案】(1) OF =OE (2) OF± EK, OF=OE理由見解析

4、；(3) OP的長(zhǎng)為J6 a或 2.3 .3【解析】【分析】(1)如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K,證明4AO三COK,從而可得 OE=OK,再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE(2)如圖2中，延長(zhǎng) EO交CF于K,由已知證明 ABEBCF, AAOEACOK；繼而可證得4EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF, EK, OF=OE(3)分點(diǎn)P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可得.【詳解】(1)如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K,. AEXBEE, OF71BE, ，AE/ CR ，/ EAO之 KCQ1. OA=OC, /AOE=/ COK, .AOECOK

5、, . OE=OK, 一 口一右一右一 1 一一一 EFK是直角二角形，.-.OF= EK=OE(2)如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K, / ABC=Z AEB=Z CFB=90 ,° / ABE+Z BAE=90 ； / ABE+Z CBF=90 , °，/ BAE=Z CBF, . AB=BC, .1.AABEABCF, . BE=CF AE=BF, . AOEACOK；，AE=CK OE=OK, . . FK=EF .EFK是等腰直角三角形，OF±EK, OF=OE;(3)如圖3中，點(diǎn)P在線段 AO上，延長(zhǎng) EO交CF于K,彳PH,OF于H,圖3 |CF - A

6、E|=2 , EF=2石，AE=CKFK=2,在 RtA EFK中,tan / FEK= , . / FEK=30 , / EKF=60 ,3八1 .EK=2FK=4 OF=-EK=2,OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2,1在 RtPHF 中，PH=-PF=1, HF=V3 , OH=2- M ,2，OP=，122,3 2.62.如圖4中，點(diǎn)P在線段 OC上，當(dāng)PO=PF時(shí)，/POF=/ PFO=30,/ BOP=90 ；.，OP=_foE=Ll,33綜上所述：op的長(zhǎng)為爬J2或28.3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰 直角三角形

7、的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵3.如圖，四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn)O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求證：四邊形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDC=3: 2, DF±AC,求 / BDF的度數(shù).，-? C【答案】(1)見解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出 /ABC=90,根據(jù)矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/DCO,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC,求出ZCDO,即可求出答案.

8、【詳解】(1)證明： AO=CO, BO=DO 四邊形ABCD是平行四邊形，Z ABC=Z ADC, / ABC+Z ADC=180 ,°/ ABC=Z ADC=90 ,° 四邊形ABCD是矩形；(2)解：/ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2, / FDC=36 ；.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四邊形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=Z ODC- / FDC=18 ,°【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推 理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線

9、相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.4.如圖，在RHABC中，ZB=90°, AC=60cm, /A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以 4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻 速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn) D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t 秒(0vtwi5 .過點(diǎn) D作DF, BC于點(diǎn)F,連接DE, EF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的 t值，如果不能，說明理由；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，4DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析；(2)能，t=10； (3) t=15

10、或12.2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角 4CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得 DF的長(zhǎng)，即可證明；(2)易證四邊形 AEFD是平行四邊形，當(dāng) AD=AE時(shí)，四邊形 AEFD是菱形，據(jù)此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF為直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90兩種情況討論.【詳解】解：(1)證明：二.在 RtABC 中，Z C=9CT - Z A=30° , .AB=-AC=- X 60=30cm22,. CD=4t, AE=2t,又 在 RtCDF中，/ C=30 , .DF=1CD=2t,DF=AE2能，. DF/AB, DF=AE

11、 四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形 AEFD是菱形，即60 4t=2t ,解得：t=10, 當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形；(3)若ADEF為直角三角形，有兩種情況：如圖 1, /EDF=90°, DE/ BC,則 AD=2AE,即 604t=2X21 解得:15t=，如圖 2, Z DEF=90°, DE± AC,2則 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,綜上所述，當(dāng)t=15或12時(shí)，4DEF為直角三角形.25.已知正方形 ABCD中，E為對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，過 E點(diǎn)作EF±BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，

12、連接EG, CG.(1)請(qǐng)問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖中4BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，如圖所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.(3)將圖中4BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不必寫出理由）圖0圖公圉【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)結(jié)論仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.(2)結(jié)論仍然成立，連接 AG,過G點(diǎn)作MN，AD于M,與EF的延長(zhǎng)線交于 N點(diǎn)；再證明

13、DAGWDCG,得出AG=CG；再證出DMGFNG,得到MG=NG；再證明 AMGAENG,得出 AG=EG；最后證出 CG=EG.(3)結(jié)論依然成立.【詳解】(1) CG=EG.理由如下：.四邊形 ABCD 是正方形，Z DCF=90 :在 RFCD 中，;G 為 DF 的中點(diǎn)，CG=- FD,21同理.在 RDEF中，EG=- FD . . CG=EG2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG.證法一：連接 AG,過G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長(zhǎng)線交于 N點(diǎn).在 4DAG 與 4DCG 中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SAS),

14、 .AG=CG;在4DMG 與 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG. Z EAM=Z AEN=Z AMN=90 ；，四邊形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 與 4ENG 中，/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AAMGAENG (SAS?), .AG=EG,EG=CG.證法二：延長(zhǎng) CG至M,使 MG=CG,連接 MF, ME, EC.在ADCG與AFMG中， . FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"

15、;MG, . MF=CD, / FMG=/ DCG, .MF/CD/ AB, EF± MF.在 RtMFE與 RtCBE中，/ MF=CB, Z MFE=Z EBC=90°, EF=BE, .1.AMFEACBEZ MEF=Z CEB, Z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CE3/CEF=90； . . MEC為直角三角形. . MG=CG, EG=-MC . EG=CG2'(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過F作CD的平行線并延長(zhǎng) CG交于M點(diǎn)，連接EM、EQ過F作FN垂直于AB于N.由于G為FD中點(diǎn)，易證 CD84MFG,得到 CD=FM,又因?yàn)?B

16、E=EF,易證/EFM=/EBC,貝UEFM0EBC Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BEG90 ；ZFEC+Z FEM=90 ；即 / MEC=90 ； . . MEC 是等腰直角三角形. G 為 CM 中點(diǎn)，EG=CG, EG± CG圖（一】圖（二）圖電【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題.（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)解答.6.已知AD是4ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、D重合），連接 PR PC, E、F、G、H分別是AB、AC、PR PC

17、的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M；富 1（1）如圖1,當(dāng)AB= AC時(shí)，求證：四邊形 EGHF是矩形；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與4BPE面積相等的三角形（不包括 BPE本身）.【答案】（1）見解析；（2） 4APE、AAPR ACPF PGH.【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得出EG/AP,EF/ BC,EF=1BC,GH/BC,GH=1 BC,推出22EF/ GH, EF=GH證得四邊形 EGHF是平行四邊形，證得 EF± AP,推出EF± EG,即可得出 結(jié)論；（2）由4APE與4BPE的底AE=BE又等高，得出 國ape

18、fSa bpe,由4APE與4APF的底EP=FP又等高，得出 SaapE=Sapf,由4APF與4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Sacpf,證得4PGH底邊GH上的高等于 AAEF底邊EF上高的一半，推出_1 _SapghfSaef=Sa apf,即可得出結(jié)果.2【詳解】(1)證明:E、F、G、H 分別是 AB、AC PB PC的中點(diǎn),.EG/ AP,EF/ BC, EF= BC, GH/ BC, GH= BC,22.EF/ GH, EF= GH,四邊形EGHF是平行四邊形，.AB= AC,ADXBC,EF± AP,1. EG/ AP,EF± EG,平行四邊

19、形EGHF是矩形；(2) PE是 APB 的中線， .APE與4BPE的底 AE= BE,又等高，Sa ape= Sa bpe, AP是AAEF的中線， .APE與APF的底-EP= FP,又等高，Saapee= Saapf,Saapf= Sabpe,.PF是APC的中線， .APF與CPF的底 AF="CF,又等高,Saapf= Sacpf,Szcpf= Sabpe,. EF/ GH/ BC, E、F、G、H 分別是 AB AC PB、PC的中點(diǎn)，.AEF底邊EF上的高等于 ABC底邊BC上高的一半， PGH底邊GH上的高等于 PBC底邊BC上高的一半，.PGH底邊GH上的高等于

20、4AEF底邊EF上高的一半，.GH= EF,Sa pgh= _ Sa aef= Sa apf,2綜上所述，與 BPE面積相等的三角形為：AAPE、AAPR CPE PGH.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、 三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵.7.如圖 1,在 4ABC 中，AB= AC, ADXBCT D,分別延長(zhǎng) AC 至 E, BC 至 F,且 CE= EF,延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于 G.(1)求證：AE= EG(2)如圖2,分別連接BG, BE,若BG= BF,求證：BE= EG;(3)如圖3,取GF的中

21、點(diǎn)M,若AB= 5,求EM的長(zhǎng).GG卻配圖3_ 5【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3) 52【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：/ CAD= / G,可得AE= EG;(2)作輔助線，證明 ABE圖4GEC ( SAS ,可得結(jié)論；(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得 EM=DN =1“ AC,計(jì)算可得結(jié)論.2【詳解】證明：(1)如圖1 ,過E作EHI± CF于H,.EH/ AD,Z CEH= Z CAD, /HEF=/G, ,.CE= EF,/ CEH= / HEF,ZCAD=ZG,.AE= EG;(2)

22、如圖2,連接GC,.BD=CD,.AG是BC的垂直平分線， .GC= GB, / GB已 / BCG, BG= BF,.GC= BE, .CE= EF,/ CEF= 180 - 2/ F, BG= BF,/ GBF= 180 - 2 / F,/ GBF= ZCEF/ CEF= / BCG, / BCE= / CEF吆 F, / BCE= / BCG+Z GCE, / GCE= / F,在 BEF和GCE中，CE EFQ GCE F,CG BF .BEFAGEC(SAS , .BE=EG；取AC的中點(diǎn)N,連接DN,由（1）得 AE= EG,/ GAE= / AGE,在RtACD中，N為AC的中點(diǎn)

23、,，DN=AC= AN, /DAN=/ADN,2/ ADN= / AGE, . DN / GF,在RtGDF中，M是FG的中點(diǎn)，.DM= -FG= GM, /GDM=/AGE, 2/ GDM= / DAN, .DM / AE,四邊形DMEN是平行四邊形，1,-.EM = DN= AC,2.AC=AB=5,i 5 - EM = 2【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性 質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助 線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三問，輔助線的作法是關(guān)鍵.8.現(xiàn)有一張矩形紙片 ABCD (

24、如圖)，其中 AB=4cm, BC= 6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將紙 片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形 AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B；過E作EF垂直B'C,交BC于F.(1)求AE、EF的位置關(guān)系；(2)求線段BC的長(zhǎng)，并求ABEC的面積.【答案】(1)見解析；(2) Sabec= 108 .25【解析】【分析】(1)由折線法及點(diǎn) E是BC的中點(diǎn)，可證得 ABEC是等腰三角形，再有條件證明 /AEF=90即可得到AE± EF;(2)連接BB',通過折疊，可知 / EBB JEB' /ECB'上EB',C從而可證 ABB'的直角三角形, 的長(zhǎng)求出

25、，在 RtBB' C中，根據(jù)勾股定理可將【詳解】(1)由折線法及點(diǎn) E是BC的中點(diǎn)，.EB=EB'= EC, /AEB=/AEB',.B'EC是等腰三角形，又 ; EF± B CP由E是BC的中點(diǎn)，可得EB =EC在 RtA AOB 和 RtBOE中，可將 OB, BB 'B'鄲J值求出.EF為/ B'EC的角平分線，即 /B'EF=/FEC/ AEF= 180 - ( /AEB+/CEF = 90 ；即/ AEF= 90 °, 即 AE± EF;(2)連接BB交AE于點(diǎn)O,由折線法及點(diǎn) E是BC的中

26、點(diǎn)，.EB=EB'= EC,/ EBB= / EBB, / ECB= / EB'C；又 BBC三內(nèi)角之和為 180°,/ BBC= 90 ; 點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)， AE垂直平分BB'；在 RtAOB 和 RtBOE中，BO2= AB2 - AO2= BE? - ( AE AO) 2 將 AB=4cm, BE= 3cm , AE= 5cm,16 AO= cm, 5z12 B0=JaB AO = cm,5,-24 BB = 2B0= cm,5在 RtBBC 中,BC=BC2BB18=一 cm,5由題意可知四邊形OEFB是矩形,12EF= OB=，5一

27、1 -SA BEC= B 2*1C EF 一218512510825考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是要 理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大 小不變，只是位置變化.9.如圖1,在正方形 ABCD中，AD=6,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接 PA, PC過點(diǎn)P 作P已PC交直線AB于E.(1)求證：PC=PE;(2) 延長(zhǎng)AP交直線CD于點(diǎn)F.如圖2,若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求4APE的面積； 216若A APE勺面積是，則DF的長(zhǎng)為25(3) 如圖3,點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)

28、 Q,連接7 9PQ, MQ,過點(diǎn) P 作 PN/CD 交 EC 于點(diǎn) N,連接 QN,若 PQ=5, MN=-72 ,則 MNQ 的面積是/> Ai) AD圖/用2圖35【答案】(1)略；(2)8 ,4或9； (3)6【解析】【分析】(1)利用正方形每個(gè)角都是 90°,對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證；(2)作出4ADP和4DFP的高，由面積法容易求出這個(gè)高的值.從而得到4PAE的底和高,并求出面積.第2小問思路一樣，通過面積法列出方程求解即可；(3)根據(jù)已經(jīng)條件證出 4MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.

29、【詳解】證明：丁點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，2 .ADPACDF?，AP=CP/DAP =Z DCP. PE，PC,，/EPC=Z EPB吆 BPC=90,°3 / PEA=Z EBP+/ EPB=45+90BPC=135-Z BPC,4 / PAE=90-Z DAP 90 -/ DCP/ DCP=Z BPC-Z PDC=Z BPC-45, °/ PAE=90-(°Z BPC-45 )= 135 -Z BPC,/ PEA=Z PAE,.PC=PE;(2)如圖2,過點(diǎn)P分別作PH±AD,PGJ± CD,垂足分別為H、G.延長(zhǎng)GP交AB于點(diǎn)四邊形ABCD是

30、正方形，P在對(duì)角線上, ，四邊形HPGD是正方形，.PH=PG,PM± AB,設(shè) PH=PG=a,.F是CD中點(diǎn),AD= 6,則 FD=3,Sn adf=9,Sn ADF =Sn ADP1 一Sn DFP =AD2PH-DF 2PG ,3 9，解得 a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又. PA=PE, .AM=EM,AE=4,MP8,c1, Sn APE = EA2設(shè)HP= b,由可得AE=2b,MP=6-b,C1_Sn APE = 2b 62b絕25解得b=2.4或3.6,_1Sn ADF =Sn ADPSn DFP = AD PH2-DF 2PG ,1116

31、b DFbDF 6,222當(dāng) b=2.4 時(shí)，DF=4；當(dāng) b=3.6 時(shí)，DF= 9, 即DF的長(zhǎng)為4或9;(3)如圖，. E、 Q 關(guān)于 BP對(duì)稱,PNI/ CD, ，/1=/2, / 2+/3= / BDC=45,°/ 1 + /4=45 ；/ 3=/ 4,易證 PEM PQM, PNQZ PNC,.1. / 5=/ 6, / 7=/ 8 ,EM=QM,NQ=NC,/ 6+/ 7=90 :. MNQ是直角三角形，設(shè)EM=a,NC=b列方程組a b 52 7232.27.2 2 ,a b 3可得-ab=5 , 26-SVMNQ 6 ,【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性

32、質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角 形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角 形全等是解決問題的關(guān)鍵.要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.OABC 繞10.在平面直角坐標(biāo)系中， O為原點(diǎn)，點(diǎn)A ( - 6, 0)、點(diǎn)C (0, 6),若正方形 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形 OA B' ,C記旋轉(zhuǎn)角為 “：(1)如圖，當(dāng)“=45°時(shí)，求BC與A' B勺交點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖，當(dāng)“=60°時(shí)，求點(diǎn)B'的坐標(biāo)；(3)若P為線段BC的中點(diǎn)，求AP長(zhǎng)的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)圖 圖【答案】(1) (66質(zhì)6);(2)(3433

33、,33曲)；(3)3衣3轟叭P3723.【解析】【分析】(1)當(dāng) “=45°時(shí)，延長(zhǎng) OA經(jīng)過點(diǎn) B,在 RBA' D中，/ OBC= 45°, A 肚 6J2 6,可 求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得 CD的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)C作x軸垂線MN,交x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B彳乍MN的垂線，垂足為 N,證明 OMCC' NB'可彳C C'*OM=3，3, B'生C' b 3,即可得出點(diǎn) B'的坐標(biāo)；(3)連接OB, AC相交于點(diǎn)K,則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)?P為線段BC的中點(diǎn)，所以PK=1OC=3,即點(diǎn)P在以K為圓心，3為

34、半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍.2【詳解】解：(1) /A ( 6, 0)、C (0, 6) , O (0, 0),四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的正方形，當(dāng)“=45°時(shí)，如圖，延長(zhǎng)OA經(jīng)過點(diǎn)B, .OB=672, OA=OA= 6, ZOBC= 45°, A 群 672 6，BD= ( 6& 6)x板 12 6我， .CD=6- (12 672)=6五 6， .BC與A'的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6 6及，6)；圜(2)如圖，過點(diǎn)C作x軸垂線MN,交x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B彳乍MN的垂線，垂足為 N, / OC 390 °,/ OC'心90/ B&

35、#39;B' N,. OC'= B' ,C'/OMC'=/C' NB90 ；.1.OMC/AC， NBAAS),當(dāng)a= 60°時(shí)，. /A' OC90 °, OC'= 6, / C OM30 °, C' OM= 3y/3 , B'處 C' g 3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為3m 3,3 3氏；(3)如圖，連接OB, AC相交于點(diǎn)K,則K是OB的中點(diǎn)， P為線段BC的中點(diǎn)，1 2 .PK= - OC = 3,2 .P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，,. AK=3 我， AP最大值為3&

36、; 3，AP的最小值為3灰 3, AP長(zhǎng)的取值范圍為 3衣 3轟叭P 372 3.【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理.(3)問解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點(diǎn) P的軌跡.11.如圖，現(xiàn)將平行四邊形 ABCD沿其對(duì)角線 AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.AB與CD交于 點(diǎn)E.(1)求證：AE44CEB'(2)過點(diǎn)E作EH AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形 AECF的形狀并給予證明.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)由題意可得 AD=BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB',利用AAS證明全等

37、，貝U結(jié) 論可得；(2)由AEgCEB可得AE=CE且EF±AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF=Z AFE=Z AEF,可得 AE=AF,貝U可證四邊形 AECF是菱 形.【詳解】證明：(1) .四邊形ABCD是平行四邊形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D;平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC.ADEAB'EC(2)四邊形AECF是菱形 .ADEAB'

38、;EC.AE=CE . AE=CE, EF± AC .EF垂直平分 AC, /AEF=/CEF，AF=CF. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE.-.AF = AE= CE= CF四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練 掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.12.猜想與證明：如圖1,擺放矩形紙片 ABCD與矩形紙片ECGF使B、G G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF,若M為AF的中點(diǎn)，連接 DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你 的結(jié)

39、論.拓展與延伸：(1)若將"猜想與證明 中的紙片換成正方形紙片 ABCD與正方形紙片ECGF其他條件不 變，則DM和ME的關(guān)系為 .(2)如圖2擺放正方形紙片 ABCD與正方形紙片ECGF使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF 的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立.【答案】猜想：DM=ME,證明見解析；(2)成立，證明見解析【解析】JO試題分析：延長(zhǎng) EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到 AD/ EF,得到 FME和 AMH全等，得到 HM=EM,根據(jù)RtHDE得到HM=DE,則可以得到答案；(1)、延長(zhǎng) EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到 AD/ EF,得到4

40、FME和4AMH全等，得 到HM=EM,根據(jù)RtHDE得到HM=DE,則可以得到答案；(2)、連接AE,根據(jù)正方形 的性質(zhì)得出 /FCE=45, /FCA=45,根據(jù) RTA ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根據(jù) RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME ,從而說明 DM=ME.試題解析：如圖1,延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,二四邊形ABCD和CEF比矩形，.AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，4FM 二 AH I /FME=/aH.FMEAAMH (ASA) .HM=EM , 在 R3HDE 中，HM=

41、DE, .DM=HM=ME ,.DM=ME .(1)、如圖1,延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,四邊形ABCD和CEF%矩形， .AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，二 AJA|z?me=zmh.FMEAAMH (ASA) .HM=EM ,在 RTA HDE 中，HM=EM .DM=HM=ME ,.DM=ME,(2)、如圖2,連接AE,四邊形ABCD和ECGF正方形，/ FCE=45, ° / FCA=45 ,°.AE和EC在同一條直線上, 在 RTA ADF 中，AM=MF, . DM=AM=MF ,在 RT

42、A AEF中，AM=MF,，AM=MF=ME,.DM=ME .考點(diǎn)：（1）、三角形全等的性質(zhì)；（2）、矩形的性質(zhì)13.如圖1,若分別以 ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE和BCFG為正方 形，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形.（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)/C=90°時(shí)，求證：4ABC與4DCF的面積相等.（2）引申：如果ZC 90。時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）運(yùn)用：如圖3,分別以 ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE BCFG和ABMN為 正方形，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形.已知 ABC中，AC=3, BC

43、=4.當(dāng)/C=時(shí)，圖中陰影部分的面積和有最大值是 【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3） 18.【解析】試題分析：（1）因?yàn)?AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,從而 ABC與 DFC的面積相等；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q.得到四邊形ACDE BCFG均為正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因?yàn)?Szabc= BC?AP, Sadfc=FC?DQ 所以 Saabc=Sadfc;22(3)根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是 4ABC的面

44、積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形 ABC的面積最大，當(dāng) ABC是直角三角形，即 /C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大.所以 S陰影部分面積和=3S/abc=3 A X 3X 4=182(1)證明：在 4ABC與DFC中，./A CBDC"BC=FC.ABCADFC. ABC與 DFC的面積相等；(2)解：成立.理由如下：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q./ APC=Z DQC=90 :四邊形ACDE BCFG均為正方形，.AC=CD, BC=CF /ACP+/ PCD=90,° Z DCQ+-Z PCD=90 ,

45、76;/ ACP=Z DCQ.APC= DQC.-. ACP= DCQ ,AC=CD APCA DQC (AAS), .AP=DQ.又ABC=1BC?AP, Sa dfc= - FC?DQ 22Saabc=Sadfc；(3)解：根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是 若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形 ABC的面積三倍, ABC的面積最大，當(dāng)ABC是直角三角形，即 / C是90度時(shí),陰影部分的面積和最大. ci S 陰影部分面積和-3S/abc-3 X X 3 X 4=182考點(diǎn)：四邊形綜合題14.如圖1所示，(1)在正三角形 ABC中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn)，P 是BC延長(zhǎng)

46、線上一點(diǎn)， N是/ACP的平分線上一點(diǎn)，若 /AMN=60 ,求證：AM-MN .(2)若將(1)中 芷三角形ABC改為 芷方形ABCD, N是/ DCP的平分線上一點(diǎn)，若/AMN=90 ;則AM=MN是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由.(3)若將(2)中的 芷方形ABCD改為 芷n邊形A1A2An :其它條件不變，請(qǐng)你猜想:當(dāng)/An_2MN=。時(shí)，結(jié)論 An 2M=MN仍然成立.(不要求證明)答案(n 2)180 n【解析】分析：(1)要證明AM=MN ,可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在 AB上取一 點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEMMCN,然后根據(jù)全

47、等三角形的 對(duì)應(yīng)邊成比例得出 AM=MN .(2)同(1),要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在 AB上取 一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEMMCN,然后根據(jù)全等三角形 的對(duì)應(yīng)邊成比例得出 AM=MN .詳(1)證明：在邊 AB上截取AE=MC,連接ME.在正 ABC中，ZB=Z BCA=60 , AB=BC/ NMC=180AMN-/AMB=180 -°Z B-Z AMB=Z MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM/ BEM=60 : ZAEM=120 :N是/ ACP的平分線上一點(diǎn)，/ ACN=60 ,°/ MCN=120 :在4AEM 與 4MCN 中，/MAE=/NMC, AE=MC, / AEM=/ MCN ,.AEMAMCN (ASA),.AM=MN .(2)解：結(jié)論成立；理由：在邊 AB上截取 AE=MC,連接 ME.D£B.正方形 ABCD中，/ B=Z BCD=90 ,° AB=BC/ NMC=180AMN-/AMB=180 -°Z B-Z AMB=Z MAB=Z MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM/ B