空間向量專題練習答案

1、空間向量專題練習、填空題(本大題共4小題，共20.0分)a與平1.平面a的法向量為(1 , 0,-1 )，平面3的法向量為(0, -1 , 1),則平面面3所成二面角的大小為【答案】? 2? 或3或3【解析】解：設平面a的法向量為黔(1 , 0 , -1 )，平面3的法向量為?= (0, -1 ,1),則 cos V ?»1 xo+ox (-1)+(- 1) XI1?> =- 2， - V ? ?> = 2?.3平面a與平面3所成的角與V ? ?相等或互補,一與3所成的角為?或了利用法向量的夾角與二面角的關系即可得出.本題考查了利用用法向量的夾角求二面角的方法，考查了計算

2、能力，屬于基礎題.2.平面a經(jīng)過三點 A (-1 , 0 , 1 ) , B (1 , 1 , 2) , C (2 , -1 , 0),則平面 a的法向量？可以是 (寫出一個即可)【答案】(0 , 1, -1 )【解析】解：? (2, 1 , 1 ), ? (3 , -1 , -1 ), 設平面a的法向量？= (x, y, z),，令 z=-1 , y=1 , x=0 .則?字 2?+ ?+ ?= 0 則?字 3?- ?- ?= 0-? (0,1 , -1 ).故答案為：(0, 1, -1 ).設平面a的法向量(x, y, z),則昭籃？ 2?+ ?+ ?= 0，解出即可. ? 3?- ?-

3、?= 0本題考查了線面垂直與數(shù)量積的關系、平面的法向量，屬于基礎題.3已知? (1 , 0 , 2 ), ? (2 , 1 , 1 )，則平面ABC的一個法向量為 【答案】(-2, 3 , 1)【解析】解: ? (1 , 0 , 2 ),1, 1 ),設平面ABC的法向量為(x , y , z),則?>?= 0 即?+ 2?= 0 則?： 0, ' 2?+ ?+ ?= 0,取 x=-2 ,則 z=1 , y=3 .故答案為：(-2 , 3 , 1).設平面ABC的法向量為? (x , y , z),則?： 0?= 0，解出即可.本題考查了平面的法向量、線面垂直與數(shù)量積的關系，屬于

4、基礎題.4. 在三角形 ABC 中，A (1 , -2 , -1 ), B (0 , -3 , 1), C (2, -2 , 1 ),若向量？與平面ABC垂直，且，則？的坐標為 .【答案】(2 , -4, -1 )或(-2 , 4 , 1 )【解析】 解：設平面ABC的法向量為?= (x, y, z).則?0，且？夕？?=0 ,T ? (-1 , -1 , 2) , ? (1 , 0, 2),?. ?+ 2?= 0?+ 2?= 0即?= - 2? ?= 4?令 z=1，則 x=-2 , y=4 , 即? (-2 , 4 , 1 ), 若向量鄉(xiāng)與平面ABC垂直,向量？?/ ?設入T= (-2入，

5、4入，入),v 1?=厲,-苗？|入|=邁1 ,解得入=± 1 , ?的坐標為(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1 ), 故答案為：(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1)根據(jù)條件求出平面的法向量，結(jié)合向量的長度公式即可得到結(jié)論.本題主要考查空間向量坐標的計算，根據(jù)直線和平面垂直求出平面的法向量是解決本題的關鍵.、解答題(本大題共3小題，共36.0分)5. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，/ BAD=60 ° , Q 為 AD 的中點.(1 )若PA=PD，求證：平面 PQB丄平面PAD ;1(2)點M在線段PC上，？= &#

6、167;?,?若平面PAD丄平面 ABCD，且PA=PD=AD=2 ，求二面角 M-BQ-C 的大小.【答案】 解：(1)證明：由題意知： PQ丄AD , BQ丄AD , PQ n BQ=Q , AD丄平面PQB , 又/ AD?平面PAD ,平面PQB丄平面PAD .(2) I PA=PD=AD , Q 為 AD 的中點， PQ 丄 AD ,/平面PAD丄平面ABCD，平面 PAD n平面 ABCD=AD , PQ丄平面 ABCD , 以Q這坐標原點，分別以 QA , QB , QP為x, y , z軸, 建立如圖所求的空間直角坐標系，由題意知：Q (0 , 0 , 0), A (1 , 0

7、 , 0 ),P ( 0 , 0 , v3) , B (0 , v3 , 0), C (-2 , v3 , 0 )?酒? 3?(-3，第，攀)，設?是平面MBQ的一個法向量，則？ ？?？= 0, ? ? 0 ,2 v32 v3-3?+ ?。?quot; ?*= 0- 3 匚丁 ，儕=(vj, 0,1, V3?= 0又:? = (0 , 0 ,1平面BQC的一個法向量,COS V ? ,? > =2,面角M-BQ-C 的大小是60 °【解析】(1) 由題設條件推導出 PQ丄AD , BQ丄AD，從而得到AD丄平面PQB，由此能夠證 明平面 PQB丄平面PAD .(2) 以Q這坐標

8、原點，分別以 QA , QB , QP為x, y, z軸，建立空間直角坐標系， 利用向量法能求出二面角 M-BQ-C 的大小.本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意 向量法的合理運用.6. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD , PD=DC=2 ，點E是PC的中點, F在直線PA 上.(1 )若EF丄PA，求需的值；(2 )求二面角 P-BD-E的大小.【答案】 P ( 0 , 0, 2), A (2 , 0, 0 ), C (0 , 2 , 0 ), E ( 0,1 , 1),設 F (a, 0 , c), ?=

9、 ?則(a, 0, C-2 )=入(2, 0, -2) = (2 入，0, -2 入),- a=2 入,C=2-2 入，F(xiàn) (2 入，0 , 2-2 入)，? (2 入，-1 ,1-2 入)，? (2, 0 , -2 ),T EF丄 PA, ?=4 入-2+4 入=0 ,解得?= 4,.? 1? 4 °(2) P (0 , 0 , 2 ), B (2, 2 , 0), D (0, 0, 0), E (0 , 1, 1),?今(0 , 0 , 2) , ?冶(2 , 2 , 0), ?=? ( 0 , 1 , 1 ),設平面BDP的法向量？= (x , y , z),2?+ 簣0 取

10、x=1,得？=(1 ,-1 ,0),設平面BDE的法向量？= (x , y , z)則2?+ 2?= 0 ?+?= 0 ,取 x=1 ,得？=(1,-1,1),設二面角P-BD-E的大小為沏？2V6則 cos 9 =o?=齊=二面角P-BD-E的大小為 arccos工.3【解析】(1 )以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用?向量法能求出？?的值.(2)求出平面BDP的法向量和設平面 BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小.本題考查線段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.7. 如圖所示的幾何體是由棱

11、臺 ABC-A iBiCi和 棱錐D-AA iCiC拼接而成的組合體，其底面四 邊形ABCD是邊長為2的菱形，且/ BAD=60 ° , BBi 丄平面 ABCD ,BBi=2A i Bi =2 .(I )求證：平面 ABiC丄平面BBiD ;(II )求二面角 Ai-BD-C i的余弦值.【答案】(I )證明：T BBi 丄平面 ABCD , BBi 丄 AC,/ ABCD 是菱形， BD 丄 AC , 又 BD n BB1=B , AC 丄平面 BB1D , AC?平面ABiC, 平面ABiC丄平面BBiD ;(n )設BD、AC交于點O,以O為坐標原點，以 OA為x軸，以OD為

12、y軸，建立如圖所示空間直角坐標系.則？?0 , - 1,0 , ?(0 ,1 ,0?(0 , - 1, 2), ?運,0, 0) , ?存,運 1?(-,-2，2)，?乎,2 ,2),酬？ (0,2 , 0, ?乎，1, 2) 設平面AiBD的法向量?= (?，? )?由嚴?輕?匕? 2?= 0? ?+ 丄？?+ 2?= 02 ,取 z=昉，得?= (- 4 , 0，疵),設平面DCF的法向量?= (?，? )? > / ? ? 2?= 0由 S”?：?？邁？?+ !?+ 2 20 ,取 z= v3 ,得挈?= (4 , 0, v3)-設二面角Ai-BD-C則？?？第1319【解析】(I)由BBi丄平面ABCD ,BBi丄AC ,再由 ABCD是菱形，得 BD丄AC ,由線面垂直的判定可得 AC丄平面BBiD ,進一步得到平面 AB