高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 10.4 二項(xiàng)式定理（2）

1、1第 十 章第 十 章排列、組合、二排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率項(xiàng)式定理和概率210.4 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理 第二課時(shí)第二課時(shí)題型題型4 利用二項(xiàng)式定理求組合數(shù)的和利用二項(xiàng)式定理求組合數(shù)的和 1. 求下列各式的和：求下列各式的和： (1) ； (2) . 01232 -122222223-3-3nnnnnnnnCCCCCC011223-1nnnnnnnnnnC CC CC CC C3 解解 :(1)原式原式= . (2)因?yàn)橐驗(yàn)?1+x)n(x+1)n=(x+1)2n ， 所以所以 . 比較等式兩邊比較等式兩邊xn-1的系數(shù)，得的系數(shù)，得 . 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：逆用、變用二項(xiàng)式定理是解決組逆用、變

2、用二項(xiàng)式定理是解決組合數(shù)求和公式的關(guān)鍵合數(shù)求和公式的關(guān)鍵.01232 -122222222(-)nnnnnnnnCCCCCC-10212 -12222)nnnnnnnnnnCxCC xC xC012201-1()(nnnnnnnnnnCC xC xC xC xC x0122 -122222222()2(1-1)(1 1)4nnnnnnnnnnCCCCC011223-1-12nnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC4 求求 的和的和. 解：解：設(shè)設(shè) ， 則則 ， 倒序：倒序： ， 兩式相加兩式相加，得得 ， 所以所以S=n2n-1，即，即 .122nnnnCCnC122nnnnSCCnC

3、01202nnnnnSCCCnC-110012( -1)0 ( -1)( -2)0nnnnnnnnnnnSnCnCCCnCnCnCC 0122()2nnnnnnSn CCCCn 12-122nnnnnCCnCn5 2. (1)求證：求證：46n+5n+1-9(nN*)能被能被20整除；整除； (2)求求5555除以除以8的余數(shù)的余數(shù). 解：解：(1)證明證明:因?yàn)橐驗(yàn)?6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1) =4(5+1)n-1+5(4+1)n-1 = = ， 所以所以46n+5n+1-9能被能被20整除整除. 題型題型5 利用二項(xiàng)式定理解決利用二項(xiàng)式定理解決 整除性和余數(shù)問(wèn)題整除

4、性和余數(shù)問(wèn)題01-12-2-101-12-2-14(5555)5(4444)nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC0-11-22-3-10-11-22-3-120(555)20(444)nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC6 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?555=(56-1)55= ， 又又56是是8的倍數(shù)，故上面的展開(kāi)式可設(shè)為的倍數(shù)，故上面的展開(kāi)式可設(shè)為8m-1. 因?yàn)橐驗(yàn)?m-1=8(m-1)+7，所以，所以5555除以除以8的余數(shù)的余數(shù)是是7. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：求整除或余數(shù)問(wèn)題，一般是把被求整除或余數(shù)問(wèn)題，一般是把被除式配湊成除式的倍式加余數(shù)的形式，如第除式配湊成除式的倍式加余數(shù)的形

5、式，如第(1)問(wèn)中先分別把問(wèn)中先分別把46n中的中的6n變?yōu)樽優(yōu)?的倍數(shù)加余的倍數(shù)加余數(shù)的形式，而數(shù)的形式，而55n的化為的化為4的倍數(shù)加余數(shù)的形的倍數(shù)加余數(shù)的形式，這樣就湊出式，這樣就湊出20的倍數(shù)式和余數(shù)式的倍數(shù)式和余數(shù)式.055154555556 -56CC545556-1C 7 若若 能被能被7整整除，則除，則x,n的值可能為的值可能為( ) A. x=4,n=3 B. x=4,n=4 C. x=5,n=4 D. x=6,n=5 解解: , 當(dāng)當(dāng)x=5,n=4時(shí)，時(shí)，(1+x)n-1=64-1=3537能能被被7整除，故選整除，故選C.122nnnnnC x C xC xC122(1)

6、 -1nnnnnnC xC xLC xx8 3. 求下列各數(shù)的近似值，使誤差小于求下列各數(shù)的近似值，使誤差小于0.001. (1)1.028；(2)0.9986. 解：解：(1)1.028=(1+0.02)8= . 因?yàn)榫_度為因?yàn)榫_度為0.001,比它小的數(shù)可以忽略，比它小的數(shù)可以忽略， 所以所以1.0281+0.16+0.0112=1.17121.171. 題型題型6 利用二項(xiàng)式定理求近似值利用二項(xiàng)式定理求近似值01228880.020.02CCC3388338888880.020.021 0.16 0.01120020.02CCCC 9 (2)0.9986=(1-0.002)6= .

7、因?yàn)橐驗(yàn)門(mén)3= =150.000004 0.001，且以后各項(xiàng)的絕對(duì)值都小于，且以后各項(xiàng)的絕對(duì)值都小于0.001，這些項(xiàng)可忽略不計(jì)這些項(xiàng)可忽略不計(jì). 所以所以0.99861+6(-0.002)=1-0.012=0.988. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：指數(shù)的近似值計(jì)算可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式指數(shù)的近似值計(jì)算可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，由近似值的要求，轉(zhuǎn)化為求展定理的展開(kāi)式，由近似值的要求，轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式的前兩項(xiàng)或前三項(xiàng)的值即可開(kāi)式的前兩項(xiàng)或前三項(xiàng)的值即可.161(-0.002)C226666(-0.002)(-0.002)CC226(-0.002)C 10 某地現(xiàn)有耕地某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃公頃，規(guī)劃10年后

8、糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長(zhǎng)率，如果人口年增長(zhǎng)率為為1%，那么耕地平均每年至多只能減小多少，那么耕地平均每年至多只能減小多少公頃公頃(精確到精確到1公頃公頃)？ (糧食單產(chǎn)糧食單產(chǎn)= ,人均糧食占有量人均糧食占有量= ) 總產(chǎn)量總產(chǎn)量耕地面積耕地面積 總產(chǎn)量總產(chǎn)量總?cè)丝跀?shù)總?cè)丝跀?shù)11 解：解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人人，糧食單產(chǎn)為糧食單產(chǎn)為M噸噸/公頃公頃. 依題意得依題意得 , 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 , 4410(122%)

9、 (10 -10 )10(1 10%)(1 1%)MxMPP1031.1 (1 0.01)101-1.22x12因?yàn)橐驗(yàn)?,所以所以x4(公頃公頃). 所以耕地平均每年至多只能減少所以耕地平均每年至多只能減少4公頃公頃.1033122101031.1 (1+0.01) 101-1.221.1=101-(1+C0.01+C0.01 +)1.221.110(1-1.1045)4.11.2213證明下列不等式：證明下列不等式：(1) 1，nN*，n2);(2)(1+x)n+(1-x)n2n(|x|1，n2).證明：證明：(1)令令a=1+x(x0)，則，則題型題型 利用二項(xiàng)式定理證不等式利用二項(xiàng)式定

10、理證不等式22( -1)4nn aa 0122222(1)( -1) ( -1)2nnnnnnnnnaxCC xC xC xn nC xa14 又又 ，即，即 ， 所以所以 . 故故 . (2) (1+x)n+(1-x)n = . 因?yàn)橐驗(yàn)閨x|1，所以，所以0 x2k1. 所以所以(1+x)n+(1-x)n =22n-1=2n.2( -1)( -2)-0244n nnn n2( -1)24n nn222( -1)( -1)( -1)24n nnaa22(-1)4nnaa2244222(1)()2kknnnnCxCxCxk 02422()knnnnCCCC15 1. 求有關(guān)組合數(shù)的和，一般構(gòu)造

11、一個(gè)二求有關(guān)組合數(shù)的和，一般構(gòu)造一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式，再逆用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)求和，或項(xiàng)展開(kāi)式，再逆用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)求和，或者構(gòu)造一個(gè)二項(xiàng)式恒等式，使所求的組合數(shù)者構(gòu)造一個(gè)二項(xiàng)式恒等式，使所求的組合數(shù)的和為展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，再比較等式兩的和為展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，再比較等式兩邊相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)得出結(jié)論邊相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)得出結(jié)論. 2. 利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)(或式或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問(wèn)題和之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問(wèn)題和余數(shù)問(wèn)題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造余數(shù)問(wèn)題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開(kāi)進(jìn)行分析判斷二項(xiàng)式，并將它展開(kāi)進(jìn)行分析判斷.16 3. 利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似值計(jì)算，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似值計(jì)算，就是將所求的指