初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)有理數(shù)的巧算含答案(供參考)

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我第一講有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ).它要求同學(xué)們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的 基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算.不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件， 將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā) 展思維的敏捷性與靈活性.1 .括號的使用在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號，以此來改變運(yùn)算的次 序，使復(fù)雜的問題變得較簡單.例1計(jì)算：分析中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號“+”與具有了雙重涵義，它既是表示 加法與減法的運(yùn)算符號，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號.因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時，一

2、定要 正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化.I百度文庫讓每個人平等地提升自我注意在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于 計(jì)算.例2計(jì)算下式的值：211X 555+445 X 789+555 X 789+211X445.分析直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡單.本題 可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來沖算.解 原式=(211 X 555+211 X 445)+(445 X 789+555 X 789)=211 X (555+445)+(445+555) X 789=211X1000+1000X789=1000

3、X(211+789)=1 000 000.說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧.例 3 計(jì)算：S=1-2+3-4+-+(-1)n+1 n.分析不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”.如果按照將 第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，分別配對的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是 一改“去括號”的習(xí)慣，而取“添括號”之法.解 S=(1-2)+(3-4)+卜 1)2 n.下面需對n的奇偶性進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，上式是n/2個(-1)的和，所以有6當(dāng)n為奇數(shù)時，上式是(n-1)/2個11)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)向n=n,所以有例4在數(shù)1, 2,

4、 3,，1998前添符號“ + ”和，并依次運(yùn)算，所得可能的最小 非負(fù)數(shù)是多少？分析與解因?yàn)槿舾蓚€整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1, 2, 3, 1998之前任意添加符號“ + ”或，不會改變和的奇偶性.在1, 2, 3,，1998中有 1998 : 2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“ + ”或之后，所得的代數(shù)和 總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于L現(xiàn)考慮在自然數(shù)n, n+1, n+2, n+3之間添加符號或，顯然n-(n+1 )-(n+2)+(n+3)=0.這啟發(fā)我們將1, 2, 3,，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號， 即(1 -2-3+4)+(5-6-

5、7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1.說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡化.有這種競賽講義一整套小學(xué)初中的含答案 最新的需要的可以聯(lián)系我 468453607微 信 136997710742 .用字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2) X (100-2)的值：(100+2) X (100-2)=100 X 100-2 X100+2 X100-4=1002-22.這是一個對具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運(yùn)算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我

6、們得到了一個重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計(jì)算時，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接 利用該公式計(jì)算.例5計(jì)算3001X2999的值.解 3001 X 2999=(3000+1 )(3000-1)=30002-12=8 999 999.例6計(jì)算103X97X10 009的值.解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.例7計(jì)算:分析與解 直接計(jì)算繁.仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12 345, 12 346, 12 347.可設(shè)字母 n=12 34

7、6,那么 12 345=n1,12 347=n+1,于是分母變?yōu)?n2-(n-1)(n+1).應(yīng) 用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1，所以原式=24 690.例8計(jì)算：(2+1 )(22+1 )(24+1 )(28+1 )(216+1 )(232+1).分析式子中2, 22, 23每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前而有一個(2-1), 就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2 了.解 原式=(2-1 )(2+1 )(22+1 )(2，+1 )(28+1) X (2%1 )(232式)=(22-1 )(22+1 )(24+1 )(

8、28+1 )(216+1) X (232+1)=(21 )(24+1 )(28+1 )(216+1 )(232+1 )=(232-1)(232+1)百度文庫讓每個人平等地提升自我通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處.下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計(jì)算簡化.例10計(jì)算：我們用一個字母表示它以簡化計(jì)算.103 .觀察算式找規(guī)律例11某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦拢堄?jì)算他們的總分與平均分.87, 91, 94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89, 92, 95, 88

9、.分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在 90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這 20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運(yùn)算.所以總分為90 X 20+(-3)+1 +4+(-2)+3+1 +(-1 )+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1 +(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分為 90+(-1)4-20=89.95.例 12 計(jì)算 1+3+5+7+1997+1999 的值.分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2：其次算式中 首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等

10、距離的兩項(xiàng)之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+-+1997+1999. 再將S各項(xiàng)倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1. 將，兩式左右分別相加，得2s=(1 +1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500 個 2000)=2000X500.從而有S=500 000.百度文庫讓每個人平等地提升自我說明一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等（本題 3-1=5-3=7-5=-=1999-1997,都等于2）,那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒 寫相加

11、”的方法解決.例 13 計(jì)算 1+5+52+53+599+51 的值.分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前而一項(xiàng)的5倍.如果將和式各項(xiàng)都 乘以5,所得新和式中除個別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì) 算.解設(shè)S=1+5+52+-+599+5l（K）, （D所以5S=5+52+53+-+5100+5101. 一得4s=5也-1,說明如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等（本例中是都等于5）,那么這 列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決.例14計(jì)算：II百度文庫讓每個人平等地提升自我分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分, 反而利用如下一個關(guān)系式來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法.解由于16所以說明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用.練習(xí)一1.計(jì)算下列各式的值:(1)-1 +3-5+7-9+11 -1997+1999；(2) 11 +12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991 X1999