2018年高考數(shù)學(xué)專題2.3妙解等差數(shù)列小題大做

1、 、典例分析，融合貫通 專題 2.3 妙解等差數(shù)列 典例1在等差數(shù)列 a 中，前n項和為Sn, S10 =100, Swo =10.求S110 【解法1】（公式法） 根據(jù) Sn rd n,得 10印 10 9d = 100,即 a1 -10 2 100a1 100 99d =10 ,即 a1 d 1 2 2 10 1099 .由得宀也 d,帶入到1伽心9d 50 2 中，得S110 - -110. 【點睛之筆】 在等差數(shù)列中，首項和公差是數(shù)列的靈魂 【解法2】（對稱性質(zhì)法） S100 = S10 an a12 . a100, an a12 a100 = -$。= -90. a11 a12 a1

2、00 也 全必90 - -90 ,所以an -印。二-2,由等差數(shù)列性質(zhì)可知 S110 a10 1 1 竺 110 （a1 a100） 11 四 110110. 【點睛之筆】 巧用性質(zhì)，避開計算! 【解法3】（二級結(jié)論法1） 我們知道在在等差數(shù)列 a n 中，Sn nnd,所以色話門a2由 n 2 2 是等差數(shù)列. 等差數(shù)列通項公式可知 設(shè)數(shù)列 bn 則 b10Wb100=110，D00_10 11 100 b110 S110 b100 T0D = -1，所以 110 S10 = -110 . 【點睛之筆】隱形結(jié)論，神來之筆! 【解法4】（二級結(jié)論法2） 在等差數(shù)列中：Sn,S2n -Sn,S

3、3n -S2 是等差數(shù)列，可以用到本題中 解法 3 設(shè)數(shù)列 C1 =Sw,C2 =S20 -S10 C10 = S100 - S90 ,則、Cn 為等差數(shù)列，公差為 2 前 n 項和為 Tn,則 cS10 =100, T10 =10 , T10 =10“ 45D1，可以求出 =-22 , Tn =11c1 55D1 = -110. 【點睛之筆】巧用性質(zhì)，提速神器. 【解后反思】 解法1：本題也可以設(shè)Sn =A n2 Bn,通過已知條件求出 A和B,進(jìn)一步求 解法W解法二靈活運用了等差數(shù)列的性氐 巧妙的避開了罄雜的計算，倩得推廣. 通過解法二可以總結(jié)出等差數(shù)列的一個隱形結(jié)論：在等羞數(shù)列匕/中，片

4、二算比二祖，則 =Y 耕十臥可以秒殺在選擇填空題中，臥提高解題速度. 解法3：通過解法3可以是學(xué)生拿握等差數(shù)列的一個性質(zhì)自是等羞數(shù)列，這個在很多試題里都能用至山 應(yīng)該靈活拿握. 解法4：通過解法4可以使學(xué)生掌握等差數(shù)列的一個性質(zhì) ：Sn,S2n -Sn,S3n _S2n是等差 ( 數(shù)列，這個在很多試題里都能用到，應(yīng)該靈活掌握. 典例2差數(shù)列a*前n項和為Sn ,已知印=13, &二Sn，當(dāng)Sn最大時，n的值是() (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【解法1】【通項公式法】 由 S -S11 可得 3d 3 -11a1 55d，把印=13 代入得 d =-2，故 a1 5- 21， 彫、丿

5、 a7 = 1 0, a8 - -1 ： 0 , n = 7 時，Sn 最大. JjF t 【點睛之筆】通項公式數(shù)列之根本！ 【解法2】前n項和法】 .由 S =S11 可得 3a1 311a1 55d，把 a13 代入得 d - -2，故 Sn =13n -n(n T)二-n2 14n，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng) n=7時，Sn最大 點睛之筆】化通項公式為二次函數(shù)！ 解法3】性質(zhì)法】 由S3 =Sn得a4 an = 0，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得 a? *廠0，根據(jù)首項等于13 出S1 10 3 可推知這個數(shù)列遞減，從而得到 a7 0,a8 :：: 0，故n = 7時，Sn最大. 【點睛之筆】巧用性質(zhì)妙

6、解試題！ 【解法4】【對稱性質(zhì)】 根據(jù)=13, S3 =Sn，知這個數(shù)列的公差不等于零由于S3二Sn根據(jù)公差不為零的等差數(shù) 列的前n項和是關(guān)于 n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對稱性，當(dāng) S3 = S.1時，只有 3 11 n 7時，Sn取得最大值. 2 【點睛之筆】二次函數(shù)顯神威！ 【解后反思】 方法1：通項公式是數(shù)列的基礎(chǔ)，所以求數(shù)列通項公式是解數(shù)列試題的通法; 方法2：先求出前11項和，在利用性質(zhì)求解 方3:由印+碼+絢1 =0得到陌+仇=。，利用了在等差數(shù)列中朋+川二卩+務(wù)則!牛=勺+ %. 方法4：等差數(shù)列中，5討+ （坷一號”化成二次酗，制用對稱 ft 求解: 典例3若等差數(shù)列an

7、滿足a； +a； =2，則a?七4 +a的最大值為 _ . 【解法1】（首項公差法） 由 a： a： = 2，得 a1 （印 2d）2 = 2，于是 a： 2a1d 2d2 = 1. 由 a3 a4 a5，得 a3 a4 a5 二 3a1 9d . / a； 2a2 2d2 =1 佝 d）2 d2 = 1 , 令 a1 d =cos）,d =si nv , 得 3 v - （ y c o、. 二= .s s i y = .3a1 9d ：4 從而 as a4 a5 坷=-?廠 二 5； = 2（兔 + 爲(wèi)）= 2（址 + 角+3町=一三孔= 0, = 48. 3等差數(shù)列an的前n項和Sn,若a

8、i - 2,S i2，則a -（） t _ R 3 J + 1-( 林2丿 12 數(shù)形結(jié)合是提高解題速度的秘密武器! 【解后反解法1在等差數(shù)列中，求等差數(shù)列的首項和公差是通法 解法2:利用 2 2 ai a3 2進(jìn)行三角換元是本題的妙手! 解法3:利用點到直線距離化成線性規(guī)劃問題求解，值得嘗試! 二、精選試題，能力升級 i已知等差數(shù)列:a/?前9項的和為27, aw =8,則ai00二（ ） （D） 97 (A) 100 (B) 99 (C) 98 A. aid 0,dS4 0 B. aid ：C. aid 0,dS： D. 【點睛之筆】 二 d 【答案】 B 6 【解析】試題分析：假設(shè)公差為

9、 d ,依題意可得3疋2+丄x3=0的最小正整數(shù)n為（ ） A.7 B.8 C.9 D.10【答案】 A 8 13 (ai + ai3) ai3 ai 【解析】法一 S3 = = 0, ai3= ai = 12, d= = 2，故 an= ai + (n 1)d 2 i3 =2ni4,解an 0,得n7,故使an0的最小正整數(shù) n為8. 法二 S3= i3 (引+ 旳 =i3a7= 0，得a7= 0，故as 0，故 0的最小正整數(shù)為n= 8. 8已知函數(shù)f(x) = cos x, x (0 , 2 n )有兩個不同的零點 xi, X2,且方程f(x) = m有兩個不 同的實根X3, X4，若把

10、這四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實數(shù) 2 m等于( ) D. 則公差d = 3 n n d= 2 2=n 所以m= cos (2 + n=- :23,故選 D. ，顯然不成立，所以 RK 0, i i 若m 0,則公差 【解析】 3 n n 9 【解析】 記每一行的數(shù)的個數(shù)組成數(shù)列仏,則為首項A=b公差 e 的等差數(shù)列，所次前g行 共有9X豊+厶)二8個數(shù)，所嘆第行的第1個數(shù)是a第K)行的第12個數(shù)為剛二Gf故選A. 10已知等差數(shù)列an滿足ai0, 5a8= 8a則前n項和$取最大值時，n的值為( ) A.20 B.21 C.22 D.23 3 【解析】 由 5a8= 8ai3得 5(ai+ 7d) = 8(ai+ 12d)? d = - 61ai, 由 an = ai + (n-1) d =ai+ (n i) - 6iai0, ZB 64 i 得