線面角地求法的總結(jié)

1、線面角的三種求法1 直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 (如圖1 )四面體 ABCS中，SA,SB,SC 兩兩垂直，/SBA=45 ° /SBC=60 ° M 為AB的中點(diǎn)，求(1 ) BC與平面SAB所成的角。(2) SC與平面ABC所成的角。解：(1) VSC 丄 SB,SC 丄 SA,/SCX平面SAB故SB是斜線BC在平面SAB上的射影,/SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60 °。(2 ) 連結(jié)

2、 SM,CM，貝U SM 丄 AB,又TSC丄AB, AAB丄平面 SCM,面ABC丄面SCM過S作SH丄CM于H, 則SH丄平面 ABCCH即為SC在面ABC內(nèi)的射影。ZSCH為SC與平面ABC所成的角。sin ZSCH=SH / SC SC與平面ABC所成的角的正弦值為V 7/7（“垂線”是相對(duì)的， SC是面SAB的垂線，又是面 ABC的斜線.作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2. 利用公式sin 0=h / I其中B是斜線與平面所成的角，h是 垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng)，其中求出垂線段的長(zhǎng)（即斜線上的點(diǎn)

3、到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可用三棱錐的體積自等來(lái)求垂線段的長(zhǎng)。例 2 （如圖 2）長(zhǎng)方體 ABCD-A iBiCiDi , AB=3 ,BC=2, A iA= 4，求AB 與面 ABiCiD所成的角。解：設(shè)點(diǎn) B到ABiCiD的距離為h,Vb -ABi Ci=V A-BBiCi.'.i / 3 SABiCi h= i / 3 S ZBBiCi AB，易得 h= i2 / 5設(shè)AB與 面A BiCiD所成的角為 B,則sin B=h /AB=4 /5/AB與面ABiCiD 所成的角為 arcsin 4 /53. 利用公式 cos B=cos Bi cos 02（如圖3）若OA為平

4、面的一條斜線， 0為斜足，0B為0A在面a內(nèi)的射影，0C為面a內(nèi)的一條直線，其中B為OA與OC所成的角,朗為OA與OB所成的角，即線面角，B2為OB與OC所成的角，那么cos B=cos Bicos 02 （同 學(xué)們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一 切角中最小的角（常稱為最小角定理）例3 （如圖4）已知直線OA,OB,OC 兩兩所成的角為60 ° ,求直線OA與面OBC所 成的角的余弦值。解：/AOB= ZAOC OA 在面OBC 內(nèi)的射影在/ BOC 的平分線 OD上，貝UZAOD即為OA與面OBC所成的角，可知/DOC=3O °

5、; ,cos ZAOC=cos ZAOD cos /DOCcos60 °cos ZAOD cos30 ° cos ZAOD= v3/3 OA 與面OBC所成的角的余弦值為V 3/3。A（一）復(fù)習(xí)：1 .直線和平面的位置關(guān)系；（平行、相交和直線在平面內(nèi)）2 .思考：當(dāng)直線 a與平面 的關(guān)系是alA時(shí)，如何反映直線與平面的相對(duì)位置關(guān)系呢？（可以用實(shí)物來(lái)演示，顯然不能用直線和平面的距離來(lái)衡量）(二)新課講解：1 .平面的斜線和平面所成的角：已知，如圖，AO是平面 的斜線，A是斜足，0B垂直于平面，B為垂足，則直線AB是斜線在平面內(nèi)的射影。設(shè) AC是平面內(nèi)的任意一條直線，且 BC

6、AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成角為!，AB與AC所成角為2，A0與AC所成角為，則易知：uuu uuLruuur uuuuuur0| AB | | AO | cos i， | AC | | AB | cos 2 | AO | cos 1 cos 2uuuruult又/1 AC | | AO | cos ,可以得至U： cos cos 1 cos 2 ,注意：2 (0,)(若2，則由三垂線定理可知，2 2OA AC，即卩一；與“ AC是平面 內(nèi)的任意一條直線，且 BC AC，垂足為C ”2不相符)。易得：cos cos 1又，1 (0,)即可得：1.2則可以得到：(1)平面的斜線和它在平面內(nèi)

7、的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成 角中最小的角；(2 )斜線和平面所成角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面中的射影的夾角，叫做斜線和平面所成角(或叫斜線和平面的夾角)。說明：1.若a，則規(guī)定a與所成的角是直角；2 .若a或a，則規(guī)定a與所成的角為0° ；3 .直線和平面所成角的范圍為：0°90° ；4. 直線和平面所成角是直斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值(cos cos 1 cos 2 )。2 .例題分析: 例1 .如圖， 的一條直線， 解： AO已知 AB是平面 的一條斜線，B為斜足，AO,O為垂足，BC為 內(nèi)ABC 60： OBC 45o，求

8、斜線，由斜線和平面所成角的定義可知，ABO為AB和所成角,又/ coscos 1 cos 2 ,cos ABC cos 60o 1 J：cos ABO-cos CBO cos 452 2 BAO 45o，即斜線AB和平面 所成角為45°.例2 如圖，在正方體 AC1中，求面對(duì)角線 AB與對(duì)角面 解(法一)連結(jié) AC1與B1D1交于O,連結(jié)OB,AB和平面所成角。BB1D1D所成的角。/DD1 AC1 , B1D1 AC1 , AO 平面 BB1D1D ,nC1 ABO是A,B與對(duì)角面BB1D1D所成的角，在Rt ABO中,（法二）由法一得1AO AB， AiBO 30o.2ABO是A

9、1B與對(duì)角面BB1D1D所成的角,cos B1BO1 BO、2222X3說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影,又 cos A1BB1cos45ocos ABO cos ABB1cos B1 BO后求斜線與其射影的夾角。另外，在條件允許的情況下，用公式cos cos 1 cos 2求線面角顯得更加方便。例3 已知空間四邊形 ABCD的各邊及對(duì)角線相等，求 AC與平面 解：過A作AO 平面BCD于點(diǎn)O ,連接CO, BO, DO ,/ AB AC AD , O是正三角形BCD的外心，73a，貝y COa ,3ACO即為AC與平面BCD所成角，BCD所成角的余弦值。設(shè)四面體的邊

10、長(zhǎng)為 AOC 90° ,'cos ACO 一3所以，AC與平面BCD所成角的余弦值為三3B五課堂練習(xí)：課本第 45頁(yè)練習(xí)第1 , 2 , 3題；第47頁(yè)習(xí)題9.7的第1題。六小結(jié)：1 線面角的概念；2 . cos cos 1 cos 2及應(yīng)用步驟： ，仆2在圖形中所表示的角。七作業(yè)：課本第 45頁(yè)練習(xí)第4題、第47頁(yè)習(xí)題9.7的第2題。補(bǔ)充：1如圖，PA是平面 的斜線,BAC在平面 內(nèi)，且滿足 BAC 90o，又已知PAB PAC 60，求PA和平面 所成的角。2 .如圖，已知 PA 正方形 ABC所在平面，且 PC 24, PB PD 6.，求PC和空面中的角主要包括兩簧異

11、面克線所成的角；直線和平面所戚的珀；二面甫等匚 線面魚平面的一條斜線和它在平面上的射畠所成的銳角叫做遠(yuǎn)奚斜線和遠(yuǎn)個(gè)平 面所瞧的角+特別地，一直繞垂直于平面，所成的角是直氟一直建平行于平面或在平面內(nèi)，所7T戚角為(T角.因nt直線和平面所巔角范團(tuán)=0, -K本文舉例探討鮭面角的兩種求解策略.ass送面角審常規(guī)解袪是先撫到直線在平面內(nèi)的射影,直線與其在這個(gè)平面內(nèi)的射影 所成的朗就是線面垢.此時(shí)大多需娶過宜銭上一點(diǎn)作平面的垂綻.例1.正方體眩CD-EFGH的棱長(zhǎng)搗令點(diǎn)F在AC上，Q在閃上，且AP-BO-a, 求直紅PQ與平面ABCL所成的第的正切僖分祈先作出PQ衽而ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC&

12、#177;而AB CD 作QkLL BC于M則MP就杲QP在面ABCD內(nèi)的射影ZQPM就是要求冊(cè)角.R:作Q臥丄BC于WL連血 則NQMP就是直線PQ與平面ABCD所成関角則易需：QM= aj MP= (tanZQFM= yf2 +1.22MP解后反思:求建面毎的常規(guī)辭法是一作、二證、三求作”是關(guān)鍵，二、向量法空間中的角大夢(mèng)都能用向童方陸求解凡可建立坐標(biāo)系的利用向童求解更為簡(jiǎn)捷. 直銭和平面所成角的向臺(tái)公式1直技a的方向向墾和平面Q的法向墾分別酋幡和料 當(dāng)加與起的夬角不大于92時(shí),直線且與平而所成的角等于用弓曲先角的余角匕當(dāng)倉(cāng) 與闖的夬角大于卿時(shí)，貢綻弓平更口所成的角等于刖與起夬角的互補(bǔ)的余匍

13、 所 4直線牡的方向向耋和平面d所成的角目藉足沁 $ 賀例生如圖,已M73，衛(wèi)H Z拠兒直綻占D與平面AA所成的珀為兀X T丑垂直ED于Q 5為4尻的中點(diǎn)求貢綻心與平面EOF所成又衛(wèi)。丄平E AAB ,從而ED與平面AAB所成的毎黃£衛(wèi)衣百二和°,又Ti (Oi - *jiq 二(0一一- »1) j5.' 即1,5/3,111 星7F面 EDF 的33個(gè)法向車* sin <n,ADi>= P=壬叵二為銳角直線AD占平頁(yè)顯qi至BDF所成的踐面角為arc sin孑“(或-arccos '").35235鯉后反思：求線而角的常規(guī)

14、解社制一作、二證、三求叫很多同學(xué)感到棘手.難 在不易找到所求的角p利用向星解法可以匿免"作和證巴只剁下單純的向壘計(jì)算， 而且有了固定的解題模式，復(fù)朵的空阿埔求解問題就可以菲常簡(jiǎn)便地得對(duì)解決了- M 線與平麗所成的角B主要可以通過直線的方向向量弓平面的法向量的來(lái)角總求得'艮卩 sin 0 - Igo 召 | 或 cos 口 =sin 召TE為AD的中點(diǎn)*二童(Q又EK平面 BCD 的法向SS« =(0,0?1) *例3在正四面ABCD中，E為AD的中昌 求直録CE與平面BCD成闌角. 分祈一求線面角的羌鍵在于找出斜蛭在平面內(nèi)的射冒，即找垂而，育了垂面即可在 垂面內(nèi)作交線的垂踐，線面角即可作出，然后蒔化封三角形中求解.解法一：取BC的中點(diǎn).F,連結(jié)AF、DF. 丁正四面體 AHCD, /.EC±AF)BC±DF而 BC0 平面 BCD, -'-fiBCD過已作EH丄DF于坯而DF0平面BCD,貝J班4_1_面BCD則/EC日為CE與面BCD所成的匍歷在 Kt ACEH 中，sinZECH= .3即CE與平面ECD應(yīng)的角九arcsin 解法二 如圖建立以三甬冊(cè)BCD的中心0為膜點(diǎn)，,OD,OA依次為y軸宀軸X設(shè)正四面體 ABCD的