中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)八單元三角形學(xué)案

1、第八單元 三角形全等三角形五種基本作圖性質(zhì)定義尺規(guī)作圖判定三線三角形的中線三角形的高線三角形的角平分線平分線線段垂直平分線的性質(zhì)與判定角分線的性質(zhì)與判定分類按邊分類不等邊三角形等腰三角形定義性質(zhì)判定等邊三角形軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形按角分類銳角三角形直角三角形性質(zhì)鈍角三角形三角形三邊關(guān)系定理及推論【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 第一講 三角形的邊與角【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1理解三角形的有關(guān)概念，如三角形的角、三角形的邊、三角形的角平分線、三角形的高線、三角形的垂直平分線等等。2根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行相關(guān)角的度數(shù)的計(jì)算。3運(yùn)用三邊關(guān)系定理及其推論計(jì)算邊長取值范圍或是判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形。4會(huì)對(duì)三角形

2、按邊或按角進(jìn)行分類。5本部分著重考查方程的思想和分類討論的思想，題型以填空題和選擇題為主。二、命題落點(diǎn)1利用三角形的三邊關(guān)系確定三角形的邊長的取值范圍。2利用三角形有關(guān)知識(shí)計(jì)算角的度數(shù)。3運(yùn)用三邊關(guān)系判斷三條線段能夠構(gòu)成三角形。4線段或者角的相等的證明。 5線段或者角的不等的證明。6化歸思想和分類思想在中考的應(yīng)用?！镜淅觥?例1：（荊州市2005年）一幅三角板，如圖所示疊放在一起。則圖中的度數(shù)是（ ）a75° b60° c65° d55°解析本題以學(xué)生最常用的數(shù)學(xué)工具三角板為模型，又輕巧的揉進(jìn)三角形內(nèi)角和等于180度和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的

3、兩個(gè)內(nèi)角的和的知識(shí)，構(gòu)思巧妙。 答案：a 例2：（瀘州2005年）一個(gè)等腰三角形的兩邊分別為8cm和6cm，則它的周長為cm？解析要想求三角形的周長必須已知三邊的長。等腰三角形兩腰相等，一般情況下第三邊不與腰相等。已知中給出的兩邊不等長，因此還要考慮誰為底，誰為腰。選定腰與底要考慮是否滿足三角形三邊關(guān)系定理及其推論。若8cm為腰長，顯然成立,若選6cm為腰長則有6+6<80，顯然也成立。所以，這個(gè)等腰三角形腰長8cm或6cm,底邊長相應(yīng)為6cm或是8cm。 答案：周長=22cm或20cm。例3：（荊門市2005年）如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則123 解析計(jì)算123的度數(shù)，需要

4、把這三個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中去。其中2到度數(shù)沒有必要轉(zhuǎn)化，直接求出結(jié)果即是45°。1與3如何轉(zhuǎn)化呢？我們可以看出1所在到三角形與3所在的三角形是全等三角形，所以1290°。再加上3即得135°。答案：135° abc123例4：（瀘州市2005年）如圖，有a、b、c三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在a在ac、bc兩邊高線的交點(diǎn)處 b在ac、bc兩邊中線的交點(diǎn)處c在ac、bc兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處d在a、b兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處解析此題是一道很典型的把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活中的試題。在這三

5、個(gè)小區(qū)修建購物超市而且使到三個(gè)小區(qū)到路程最短，把他轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是到線段ac、ab兩端點(diǎn)的距離相等， 那么需要作線段ac、ab的垂直平分線，其交點(diǎn)就是要建小區(qū)的地點(diǎn)。 答案：c例5：（金化市2005年）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱與地面垂直，點(diǎn)是橫板的中點(diǎn)，可以繞著點(diǎn)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)端落地時(shí)，°，橫板上下可轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度（即oa）是（）°°°°解析實(shí)際問題中蹺蹺板，相信大家都玩過，如果把此圖畫成示意圖，很明顯oab，是一個(gè)等腰三角形。ab，而ab的上下的旋轉(zhuǎn)過程的最大角度是a，oa。而此角是三角形的外角故它等于三角形不相鄰的兩內(nèi)角的和，所以oa40&

6、#176;。這種類型題給我們大家一個(gè)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)，大家可以嘗試把其他的鍛煉身體的器材的運(yùn)動(dòng)過程加以計(jì)算?？简?yàn)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。答案：c。 例6：（浙江省2005年） 如圖所示，直線ab，則a= 度解析由兩直線平行，同位角相等。推出a與b的外角等于50°。例9（長沙市2005年）在abc中，若a=78°36，b=57°24，則c= 解析 利用三角形的內(nèi)角和180°，c180°ab。此題關(guān)鍵是度分秒的轉(zhuǎn)化。1度等于60分，1分等于60秒。 答案 44°【常見誤區(qū)】1忽視三角形的三邊能否確定構(gòu)成三角形。如例13，等腰三角

7、形的兩邊是4和9，那么三角形的三邊為4、4、9或者4、9、9。那么若4、4、9為三角形的三條邊，則構(gòu)不成三角形。三角形三條邊能否構(gòu)成三角形往往是題目中的隱含條件，需要利用分類討論思想來挖掘。2不會(huì)證明兩個(gè)角的不等關(guān)系。在證明兩個(gè)角的不等關(guān)系時(shí)常利用外角等于其不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中去。在同一個(gè)三角形中較長的邊所對(duì)對(duì)邊的角大。3不會(huì)通過列方程解三角形的內(nèi)角。如例1，求，我們可以利用通過與鄰角到和為90°列一個(gè)方程。列方程在較復(fù)雜到求角度到時(shí)候常常用到，它是初中階段一種重要數(shù)學(xué)思想，需要熟練靈活應(yīng)用。4分類思想在解題中的誤用。如例2中等腰三角形的兩條邊長是8和6，那么8或者

8、6是腰還是底邊，需要進(jìn)行分類討論。同時(shí)還需要注意告訴你的這三條邊能否組成三角形，還需要利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。cedba【基礎(chǔ)演練】1看圖填空： （1）圖中共有 個(gè)三角形。 （2）bad是 的內(nèi)角，bda是 的鄰補(bǔ)角。 （3）在d中b對(duì)邊是 ；在中b對(duì)邊是；在c中b對(duì)邊是 。 （4）c是c中邊 的對(duì)角，又分別是cd和ce中邊 、 的對(duì)角。 （5）e中 和 的夾邊是be。2三角形按角分為 、 和直角三角形。3如果三角形中兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三條邊上，那么這個(gè)三角形是 （ ）a 銳角三角形b 鈍角三角形 c 直角三角形 d 等邊三角形4列各組線段中，能組成三角形的是（ ）a4、5、6

9、 b6、8、15 c5、7、12 d3、9、135等腰三角形的周長為24cm，腰長為xcm，則x的取值范圍是（）ax6 b6x12 c0x12 dx126三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的 （）a三條中線交點(diǎn) b三條角平分線交點(diǎn) c三條高線交點(diǎn) d三條高線所在直線交點(diǎn)7如圖，直線、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 （）a一處 b二處 c三處 d四處8等腰三角形中，兩邊之比為3：2，周長為56，則它的三邊長是_。9已知：在直角abc中，c90°，bd平分abc且交ac于d（1）若bac30°，求證:

10、 adbd；（2）若ap平分bac且交bd于p，求bpa的度數(shù)參考答案：1（1）六 （2）dbda eda （3）ad ac （4）ab ad ae（5）b aed 2銳角三角形 鈍角三角形 3 4a 5 b 6 b 7d 821，21，14或16，16，24 9證明：bac30°c90° abc60°又bd平分abc abd30° bacabd bdad（2）135° 第二講 三角形內(nèi)角和外角【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行計(jì)算。2根據(jù)角的大小對(duì)三角形進(jìn)行分類。3三角形外角的定理的應(yīng)用。 4理解三角形外角和內(nèi)角的概念

11、。5理解在證明三角形內(nèi)角和時(shí)所引輔助線的作用。6 通過定理的證明過程，掌握添輔助線的技巧：通過平行線把三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角，即把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)去解決。二、命題落點(diǎn)1利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算三角形的各個(gè)內(nèi)角。2利用三角形的外角求三角形外角的度數(shù)并與三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行綜合應(yīng)用。3三角形與四邊形、圓相結(jié)合求三角形的邊或者角。4將三角形融合在閱讀題或探究題型中，考察學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新能力，也是新課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容之一?！镜淅觥?例1：（2005年杭州市）在平行四邊形abcd中, b=110o,延長ad至f,延長cd至e,連接ef,則e+f=（ ） a110o b30o c

12、50o d70o解析 此題是由三角形和四邊形相結(jié)合的一道綜合性題目。我們由平行四邊形的對(duì)角相等，b=110°，推出adc=70°而求e+f的度數(shù)時(shí)可以把這兩個(gè)角看作一個(gè)整體來解決，千萬不要分開來求解。那么利用外角的定義，即是e+f=fdc,fdc與adc互補(bǔ)，我們可以得到fdc=70°即可求解。答案：d 例2：（重慶市2005年）已知a400，則a的補(bǔ)角等于（ ）a、500 b、900 c、1400 d、1800解析 根據(jù)補(bǔ)角的定義，a與a的補(bǔ)角相加為180°，正好是一個(gè)平角。所以a的補(bǔ)角為180°40°140°。 答案：

13、c例3：（廣西中考題）如圖，在abc中，d、e分別在ab、ac上，be、cd相交于點(diǎn)f，a=62°,acd=35°,abe=20°, 那么bfd的度數(shù)為 。解析在adc中，已知a=62°,acd=35°,由三角形的內(nèi)角和定理得adc83°，又adc是bdf的一個(gè)外角，再有外角的定理求得bfd63°。 答案：63°abbcde例4：一幅三角板，如圖所示疊放在一起。則圖中的度數(shù)是（ ）a75° b60° c65° d55°解析一幅三角板包括有30°的直角三角板和45&#

14、176;的直角三角板,同學(xué)們只要分清就能非常容易的得到答案,本題中也充分利用了外角和定理。 答案：a。 例5：在abc中，高ad和be所在的直線的交點(diǎn)是h，且bh=ac，求abc的度數(shù)。解析abc是什么三角形？可能是銳角三角形、鈍角三角形，也可能是，故在畫圖時(shí)應(yīng)注意我們所求的角有可能是銳角、直角三角形或者鈍角所以需要進(jìn)行分類討論。我們需要畫出每一種情況的圖形進(jìn)行研究，看看所畫圖形是否符合題目的條件。題目中三角形的高可能在三角形的內(nèi)部也有可能在三角形的外部，這一點(diǎn)需要記清楚。 答案：45°或者135°例7：如圖，p、q是abc邊bc上的兩點(diǎn)，且bp=pq=qc=ap=aq，求

15、bac的度數(shù)解析已知apq為等邊三角形，故可求得它的外角的度數(shù)，又由等腰三角形的性質(zhì)求得底角的度數(shù)由此我們可以知道幾何計(jì)算通常是找量與量的關(guān)系，等腰三角形的兩底角相等，等邊三角形三內(nèi)角均為60°，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等都是建立量與量的關(guān)系的依據(jù) 答案：120°【基礎(chǔ)演練】1三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)三角形為（ ）a銳角三角形 b直角三角形c鈍角三角形 d銳角三角形或鈍角三角形2判斷對(duì)錯(cuò)三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）三角形的外角和等于它內(nèi)角和的2倍。（）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（）三角形

16、的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（）三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角。（）一個(gè)三角形至少有兩個(gè)外角是鈍角；（）一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最多可有三個(gè)角是銳角；（）若一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，有一個(gè)是銳角，則它必為銳角三角形；（）有一個(gè)外角等于和它相鄰的內(nèi)角的三角形是直角三角形；（）一個(gè)外角小于和它相鄰的內(nèi)角的三角形必是鈍角三角形（）3在dabc中，Ða=30°，Ðb=2Ðc，則Ðc=_度，Ðb=_度 4如果一個(gè)等腰三角形的頂角是底角的4倍，那么頂角的度數(shù)是_度。5已知：在中，是邊上的高。求的度數(shù)。6在abc中b=36°，

17、ad平分bac交bc于d，aebc的延長線于e，若dae= 34°，則acb= 。7等腰三角形一個(gè)外角等于110°,則底角為 8如果三角形的三個(gè)外角的比為345，那么這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為_。參考答案：1c 2×、×、×、×、×、 350°,100° 4120° 518° 6104° 755°或70° 8 30°, 60°, 90° 第三講 多邊形及其內(nèi)角和【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1使學(xué)生理解多邊形，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對(duì)

18、角線、外角等概念。2使學(xué)生理解多邊形的內(nèi)角和定理及推論并應(yīng)用其解決簡單問題。3注重教給學(xué)生解決問題的思想方法4通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，產(chǎn)生探求數(shù)學(xué)知識(shí)的愿望，更好地發(fā)揮學(xué)生的主體作用。5在探索多邊形內(nèi)角和公式的過程中，體驗(yàn)用實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、猜想等科學(xué)思維方法。6使學(xué)生基本上掌握由特殊到一般、化未知為已知的研究問題的方法，體驗(yàn)從復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化思想。7 能夠進(jìn)行知識(shí)之間的建構(gòu)，學(xué)會(huì)用前學(xué)段所學(xué)知識(shí)來解釋或推理本章幾何圖形的特性例如：用“兩點(diǎn)之間線段最短”解釋“三角形兩邊之和大于第三邊”；用“三角形的內(nèi)角和等于180度”來推理、探究“三角形外角和等于360度”等二、命題落點(diǎn)1利

19、用多邊形的內(nèi)角和求多邊形的邊數(shù)，如例1。2把多邊形分成幾個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求多邊形內(nèi)角和。3考查多邊形內(nèi)角和公式： （n-2）×1800。4正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，如例55應(yīng)用多邊形的概念解決多邊形的對(duì)角線和內(nèi)外角和的問題。6 培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、探究意識(shí)以及良好的思維習(xí)慣初步學(xué)會(huì)問題解決的基本步驟。【典例精析】 例1：（2005年南通市）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個(gè)多邊形為a、三角形b、四邊形c、五邊形d、六邊形解析利用多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×1800代入求。 答案：c例2：（2005四川）繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來圖形重

20、合的圖形是中心對(duì)稱圖形，正六邊形就是這樣的圖形小明發(fā)現(xiàn)將正六邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)小于180°的角，也可以使它與原來的正六邊形重合，請你寫出小明發(fā)現(xiàn)的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)：_。解析因?yàn)檎呅蔚闹行慕菫?0°，只要旋轉(zhuǎn)60°的倍數(shù)的話均可以與原來的圖形重合。所以只要列舉60°的倍數(shù)的度數(shù)就行。 答案： 60°或120°例3：（泰州2005）用折紙的方法，可以直接剪出一個(gè)正五邊形（如圖）方法：拿一張長方形紙對(duì)折，折痕為ab，以ab的中點(diǎn)o為頂點(diǎn)將平角五等份，并沿五等份的線折疊，再沿cd剪開，使展開后的圖形為正五邊形，則ocd等于（）a10

21、8° b90° c72° d60°do解析 實(shí)際問題需要實(shí)際操作，體會(huì)里面的各個(gè)角是怎樣形成的，觀察角的特點(diǎn)。答案： b例4：（2005年鹽城市）正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是_º解析計(jì)算正多邊形的內(nèi)角的方法有兩種：1、利用正多邊形的內(nèi)角和公式。2、利用正多邊形的外角，外角與其內(nèi)角是互補(bǔ)的關(guān)系。 答案： 120【常見誤區(qū)】1忽視正多邊形中隱含的多種條件，如例2，如果利用中心對(duì)稱圖形的知識(shí)對(duì)正六邊形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的話，則需要旋轉(zhuǎn)180度，而利用正六邊形的特性則可以旋轉(zhuǎn)60度就能與原來地度圖形重合。這是與舊知識(shí)結(jié)構(gòu)相矛盾或者容易出錯(cuò)的地方。在此也考察了正六邊

22、形的邊長等于半徑、對(duì)邊平行以及中心角等知識(shí)點(diǎn)。2不能靈活的運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式和外角和不變的規(guī)律求邊數(shù)和每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如例6，可以利用外角求內(nèi)角在計(jì)算量上較簡單。3數(shù)學(xué)思想方法理解不透徹，如解決多邊形問題常常需要將多邊形分割為三角形和四邊形來解決，否則就不容易解決問題。【基礎(chǔ)演練】1一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為1700°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù) 2當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加一條時(shí)，其內(nèi)角和為 ，外角和為 ；3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 。 4從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以作 條對(duì)角線，這些對(duì)角線把這個(gè)多邊形分成 個(gè)三角形；n邊形共有對(duì)角線 條；六邊形的

23、對(duì)角線的總數(shù)為 條。5四邊形中，若一組對(duì)角都是直角，則另一組對(duì)角的關(guān)系是 6 一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，并且多邊形的內(nèi)角和為1260度，那么這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角是 。7一個(gè)五邊形有三個(gè)內(nèi)角是直角，另兩個(gè)內(nèi)角都等于n，則n的值是 。8 如右圖：在四邊形abcd中，b和c的角平分線相交于點(diǎn)0，且a+d=162°，求boc的度數(shù)參考答案：113 2（n-1）180°，360° 3 9 4（n-3）,（n-2）, ，9 5互補(bǔ) 6407135° 8 81°第四講 直角三角形【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1理解直角三角形的性質(zhì)和判定并能夠進(jìn)行計(jì)算。2會(huì)用利用

24、面積法或者拼圖方法證明勾股定理。3熟練掌握勾股定理及其逆定理的具體應(yīng)用。4理解直角三角形的面積的兩種計(jì)算方法，如兩個(gè)直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積。5熟記常用的幾組勾股數(shù)，如3、4、5；5、12、13。二、命題落點(diǎn)1利用30°、60°、45°等特殊的角，通過添加一條直線構(gòu)造直角三角形，從而形成解題的突破口。2利用勾股定理的逆定理判定一組數(shù)是否是能夠構(gòu)成直角三角形，如例2。3直角三角形三邊的關(guān)系與一元二次方程的根與系數(shù)的綜合應(yīng)用。4利用面積法證明勾股定理以及求線段的長度。如基礎(chǔ)演練8?！镜淅觥?例1：已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩根，則此直

25、角三角形的斜邊長為（ ）a b3 c d 13解析首先解一元二次方程的兩個(gè)根為2和3，利用勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，所以斜邊為。此題很融洽的與一元二次方程相結(jié)合，求直角三角形的斜邊。此題還可以變式求斜邊上的高，其方法一樣。答案：c 例2：若三角形的三邊長分別是6，8，10，則這個(gè)三角形的外接圓面積等于 2。解析很明顯6、8、10 為一組勾股數(shù)，其為直角三角形的三邊長。根據(jù)三角形的外接圓的規(guī)律：直角三角形的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)。所以直角三角形的斜邊即是圓的直徑。兩直角邊的乘積的一半即是三角形外接圓的面積為242 答案： 24 例3：（2005梅州）如下圖，rtabc中，acb=

26、90°，ac=4，ba=5，點(diǎn)p是ac上的動(dòng)點(diǎn)（p不與a、c重合）設(shè)pc=x，點(diǎn)p到ab的距離為y。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試討論以p為圓心，半徑為x的圓與ab所在直線的位置關(guān)系，并指出相應(yīng)的x的取值范圍。解析 首先pc為x，則ap為 4x，點(diǎn)p到ab的距離即是過點(diǎn)p作ab的垂線，在幾何圖形里面確定函數(shù)關(guān)系式最常用的方法是求三角形相似，利用三角形相似的比例式確定函數(shù)解析式。如例31，作pqab，apqabc，利用對(duì)應(yīng)邊成比例解函數(shù)關(guān)系式。（2）中，直線和圓由三種位置關(guān)系，需要確定點(diǎn)p到直線ab的距離pq與半徑x的關(guān)系來解。解：（1）過p作pqab于q，則pq=ya=a，ac

27、b=aqp=90°rtaqprtacb， pqbc=apab功夫 依題意可得：bc=3，ap=4x 化簡得：（2）令xy，得：，解得：當(dāng)時(shí)，圓p與ab所在直線相離；時(shí)，圓p與ab所在直線相切；時(shí)，圓p與ab所在直線相交。例31例4：（2005 湖北黃岡）小陽發(fā)現(xiàn)電線桿ab的影子落在土坡的坡面cd和地面bc上，量得cd=8米，bc=20米，cd與地面成30º角，且此時(shí)測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度為（ ）a9米 b28米 c米 d米解析要求電線桿高度需先求電線桿的影長，所以需要先補(bǔ)全電線桿的影長。延長bc與ad相交于一點(diǎn)，然后過點(diǎn)d作bc延長線上的垂線，即是土坡的高度

28、，那么可以求出土坡的影長，土坡的影長加上前面到ab的距離就是電線桿的影長，利用影長求出ab的高度。答案： d例5：（2005江蘇）已知：如圖，rtabcrtade，abcade=900，試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連結(jié)兩條線段，如果你所連結(jié)的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請你把它寫出來并證明解析 此題是一道開放性試題。大家可以依據(jù)題目中告訴你的條件，任意連接兩條線段，來求證成立。不過在選擇條件是可以選擇比較好證明的結(jié)論來證明。最好證明的就是證明線段cdbe，它可以通過兩個(gè)三角形的全等來證明。證明：略。例6：在三角形紙片abc中，c90°，a30°，ac3，折

29、疊該紙片，使點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，折痕與ab、ac分別相交于點(diǎn)d和點(diǎn)e（如圖），折痕de的長為 解析這是一道三角形的折疊問題，三角形折疊牽扯到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的全等，那么在ade折疊使其與點(diǎn)b重合，那么adebde,其對(duì)應(yīng)線段全部相等，對(duì)應(yīng)角相等。所以線段ae=de，ead=ebd,故a=ebd=cbe=30°設(shè)線段ce為，則線段be為2，ae也為2。所以ce+ae3，所以線段ae2，利用直角三角形中30°的角所對(duì)邊等于斜邊對(duì)一半。所以線段de1。此題考查了三角形的全等問題，也考查了在直角三角形中30°的特殊角的問題。對(duì)于三角形的全等并不是直接利用三角形的全等，而是借助

30、于折疊問題考查三角形全等，設(shè)計(jì)很巧妙。答案1。cabde例7例7：（2005云南玉溪市）如圖，cd是rtabc斜邊ab上的高，將bcd沿cd折疊， b點(diǎn)恰好落在ab的中點(diǎn)e處，則a等于 （ ） a25° b30° c45° d60°解析因?yàn)槿切窝鼐€段cd折疊，則折疊的三角形為全等三角形，其對(duì)應(yīng)邊相等，所以線段cb=ce,又因?yàn)辄c(diǎn)e為線段ab的中點(diǎn)，所以線段cb也為線段ab的一半。在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊為斜邊的一半，所以a為30°。充分考查了30°的特殊角在直角三角形中的如何應(yīng)用。答案b解析：由軸對(duì)稱圖形的定義可

31、以知道軸對(duì)稱圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180°能夠與原來的圖形重合，從圖中找不到一條直線繞其旋轉(zhuǎn)180°能與原來圖形重合，所以它不是軸對(duì)稱圖形。而繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能夠與原來的圖形重合。所以它是中心對(duì)稱圖形。答案：b【常見誤區(qū)】1忽視特殊的勾股數(shù)能夠組成直角三角形，如5、12、13；6、8、10。2忽視折疊圖形的意義，通過折疊圖形可以構(gòu)造全等三角形，也可以構(gòu)造軸對(duì)稱圖形。其關(guān)鍵是理解折疊三角形其實(shí)就是全等三角形。對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。如例6、例7。3忽視在直角三角形中，30°、45°等特殊角的特殊應(yīng)用，對(duì)特殊角對(duì)特殊值技記憶不準(zhǔn)。【基礎(chǔ)演練】1

32、、若直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm，則直角三角形面積是 cm22如下圖，若cd是rtabc斜邊上的高，ad=3，cd=4，則bc=_ 3將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)重合為如下圖的位置，若aod=11o°，則boc= 4已知，在rtabc中c90°，bac30°，ab10，那么bc 111111125如上圖，d、e為abc兩邊ab、ac的中點(diǎn)，將abc沿線段de折疊，使點(diǎn)a落在點(diǎn)f處，若b=55°，則bdf= °6如上圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板abcd，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在a點(diǎn)，兩條直角邊分別與cd

33、交于點(diǎn)f，與cb延長線交于點(diǎn)e則四邊形aecf的面積是 aa1a3bcc3b1圖l7如圖，把直角abc的斜邊ab放在定直線l上，按順時(shí)針的方向在直線l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到a2b2c2的位置，設(shè)ac=，bc=1，則頂點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a2的位置時(shí)，點(diǎn)a所經(jīng)過的路線與直線l圍成的面積為多少？ 8 已知在rtabc中，abc=90°，c60°，邊ab=6cm（1）求邊ac和bc的值；（2） 求以直角邊ab所在的直線l為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的側(cè)面積（結(jié)果用含的代數(shù)式表示） 參考答案：130 2 370 45 570° 616 7+ 8（1）ac cm，bccm（2）所求幾何體

34、的側(cè)面積s（）第五講 等腰三角形【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1了解等腰三角形的有關(guān)概念。2掌握等腰三角形的性質(zhì)。等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡寫成等邊對(duì)等角；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高和中線互相重合，簡稱“三線合一”。3理解等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系。4初步建立學(xué)生空間觀念，發(fā)展幾何直覺。5在探索中提出問題、解決問題、并進(jìn)行反思，而獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)到與他人合作的重要性。6增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。二、命題落點(diǎn)1利用等腰三角形的性質(zhì)推證兩條線段相等、角相等、兩條直線互相垂直。2利用“三線合一”進(jìn)行幾何方面的計(jì)算。3利用圖形的對(duì)稱性考查圖形的折疊問題以及

35、相關(guān)連的實(shí)際生活問題。4 根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)，畫某圖形關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，并能夠識(shí)別軸對(duì)稱圖形?！镜淅觥坷? 等腰三角形的兩邊為4，8，則它的周長為_解析從表面上看本題有兩種可能，以4、4、8為邊的等腰三角形和以8、8、4為邊的等腰三角形，但前者不符合三角形的三邊關(guān)系，所以周長為20 答案：20badec例2：（2005年蘇州市）右圖可以看作是一個(gè)等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)若干次而生成的則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是 a900 b600 c450 d300解析根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：兩底角為45°。所以等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)一次其角度旋轉(zhuǎn)了45°。此題也可以利用等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)了360&#

36、176;。正好旋轉(zhuǎn)了8個(gè)等腰三角形來計(jì)算。例3：（余姚市2005年）如圖,已知d、e是等腰abc底邊bc上兩點(diǎn),且bd=ce求證:ade=aed解析首先有等腰三角形性質(zhì)可知ab=ac，根據(jù)等邊對(duì)等角，所以b=c。在abd和ace中，ab=ac，b=c，bd=ce，所以abdace。有全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，故adb=aec。其補(bǔ)角也相等。例4：（揚(yáng)州市2005年）下列圖形中不是中心對(duì)成圖形的是（ ）acbc 解析首先需要理解中心對(duì)稱圖形的定義，繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，該圖形能與原來的圖形重合，才是中心對(duì)稱圖形。圓既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是對(duì)稱軸，圓心是對(duì)稱中心；等邊

37、三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，其底邊的高所在的直線是對(duì)稱軸；正多邊形只有當(dāng)邊數(shù)為偶數(shù)的時(shí)候才是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是正多邊形的中心。答案：b例5：（長沙市2005年）如上圖所示，把一個(gè)直角三角形尺acb繞著30°角的頂點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得a與cb的延長線上的點(diǎn)e重合（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）連結(jié)cd，試判斷cbd的形狀；（3）求bdc的度數(shù)解析因?yàn)閳D形的旋轉(zhuǎn)過程中圖形的形狀沒有發(fā)生變化，所以原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形是全等形。它們的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊分別相等，所以題目中線段ab=be,bc=bd,ac=de旋轉(zhuǎn)的角為abe即150°。dbe=cdb+dcb=30&#

38、176;，所以bdc=15°。答案：（1）150°；（2）等腰三角形；（3）15°例6：已知：如圖，abc中，abac，adbc于點(diǎn)d，e是ad延長線上一點(diǎn)，連be、ce。求證：bece。解析要想證明be=ce需要找出be和ce所在的三角形全等，或者證明ebc=ecb有已知ab=ac, adbc得到abd=acd,由此得到abdacd,然后得到bd=cd,再加上de=de和bde=cde,所以bdecde故證得結(jié)果。 【常見誤區(qū)】1忽視等腰三角形的分類討論，如按角進(jìn)行分類則分為鈍角三角形、銳角三角形和直角三角形。如等腰三角形一腰的高與底邊的夾角。2忽視圖形旋轉(zhuǎn)后的

39、圖形與原圖形的關(guān)系。對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后其新圖形與原圖形全等。3忽視題目中隱含的條件或者多種情況。如等腰三角形的一個(gè)角為40°，那么題目中隱含多種情況，40°可能是頂角，也可能是底角。【基礎(chǔ)演練】1（1）一個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為100°，底角度數(shù)為_。（2）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角為40°，則另兩個(gè)角為_。2有一等腰直角三角形紙片,以它的對(duì)稱軸為折痕,將三角形對(duì)折,得到的三角形還是等腰直角三角形（如圖）依照上述方法將原等腰直角三角形折疊四次,所得小等腰直角三角形的周長是原等腰直角三角形周長的（ ）a、 b、 c、 d、3頂角為36°的等腰三角形稱為

40、黃金三角形。如圖，abc、bdc、dec都是黃金三角形,已知ab=1，則de=_4已知，以x，y為兩邊長的等腰三角形的周長是 。edcba第3題第6題圖 dcba5如圖，rtabc中，acb=90°，cab=30°，用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個(gè)三角形，且要求其中一個(gè)三角形的等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）5題 6如圖，在rtabc中，c900，直線bd交ac于d，把直角三角形沿著直線bd翻折，使點(diǎn)c落在斜邊ab上，如果abd是等腰三角形，那么a等于（ ）a、600 b、450 c、300 d、22507如圖，ab=ad，bc=dc，ac與bd相交

41、于e，由這些條件你能推出哪些結(jié)論？若加上ac平分db呢？ 8如圖，梯形abcd中，adbc，abdc，p為梯形abcd外一點(diǎn)，pa、pd分別交線段bc于點(diǎn)e、f，且papd。（1）寫出圖中三對(duì)你認(rèn)為全等的三角形（不再添加輔助線）；（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意一對(duì)進(jìn)行證明。參考答案：1（1）40°（2）40°和100°或者70°和70° 2b 3 415 5解：作法一：作ab邊上的中線； 作法二：作cba的平分線；作法三：在ca上取一點(diǎn)d，使cd=cb。 6c 7答案很多，略。 8 abpdcp；abedcf；bepcfp；bf

42、pcep；（答對(duì)三對(duì)即可）（2）略第六講 勾股定理【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1理解直角三角形的性質(zhì)和判定。2掌握勾股定理的多種證明方法，關(guān)鍵理解掌握利用面積法證明勾股定理。3理解勾股定理及其逆定理的具體應(yīng)用。通過其逆定理判斷三角形是否為直角三角形。4理解角的平分線、線段平分線的定理以及逆定理。5 能運(yùn)用勾股定理作長是較為簡單的無理數(shù)線段6 進(jìn)一步體驗(yàn)代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用。二、命題落點(diǎn)1運(yùn)用勾股定理的逆定理證明兩直線垂直。2對(duì)于含有特殊角的幾何圖形，常常添加一條垂線構(gòu)造直角三角形。3利用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形。4 輔助線的做法?！镜淅觥?例1：（揚(yáng)州市2005年）如圖，學(xué)校有

43、一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草。解析此題在中考中出錯(cuò)率較高，因?yàn)橛泻芏嗳藳]有理解題目告訴你的意思?！吧僮吡藥撞健?，很多人求出了路的長度，確沒有算出少走了幾步。離正確答案盡一步之遙。或者在題目中“步”轉(zhuǎn)化為“米”的過程中出錯(cuò)?！敖輳铰贰遍L為5m，10步，不走捷徑的話是走7m，14步，所以少走了4步。答案：4例2：（2005蘇州）如圖，等腰三角形abc的頂角為1200，腰長為10，則底邊上的高ad= 。解析 首先有等腰三角形的三線合一可知，高ad也是角平分線，所以bad=dac=60°推出b

44、30°。在直角三角形中，30°所對(duì)的邊等于其斜邊的一半，所以ad5。答案：5 例3：（麗水市2005）如圖, 在rtabc中, acb=90°,cdab于d， 若ad=1，bd=4，則cd=（ ）a2 b4 c d3解析此圖是課本中的一個(gè)基本圖形，很多題目都是以此圖為基礎(chǔ)延伸變化而來。在這個(gè)圖形中有三對(duì)三角形相似，有此延伸出有三對(duì)比例式、三對(duì)乘積式。即ac2=adab、cd2addb、bc2=bdba 答案：a例4：（2005常州）如圖，正方形abcd的周長為16cm，順次連接正方形abcd各邊的中點(diǎn)，得到四邊形efgh，則四邊形efgh的周長等于 cm，四邊形e

45、fgh的面積等于 cm2解析正方形的周長為16，則邊長為4。e、f、g、h為各邊的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊eh，也能求出面積。此題也可以通過觀察求中點(diǎn)四邊形的面積。如連接eg、hf，就把原正方形分成了四個(gè)小正方形，很明顯可以看出里面四邊形與外面的四個(gè)三角形的面積相等。答案： 8 。例5：已知：如圖，在abc中，acb=90°，cdab于d，ac=6，db=5，求ad的長解析：本題是“雙垂直圖形”中的求值問題，也是借助于三角形相似，利用比例式求線段的長問題通過那兩個(gè)三角形相似求解，要充分觀察已知條件；求解方法有直接法和解方程法由已知ac=6，db=5，選用ac&

46、#178;=adab來解決。 答案：ad=4例6：（浙江省2005年） 如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm，那么這個(gè)直角三角形的面積是 cm2解析 首先利用勾股定理求出直角三角形的另一邊為12cm，然后利用直角三角形的面積公式：×底×高。 此題考查直角三角形的概念。答案：302 【常見誤區(qū)】1利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算和推理時(shí)，容易忽視其前提條件必須是直角三角形。2勾股定理的多種證法中，不會(huì)利用面積法進(jìn)行證明。3在解綜合性問題時(shí)，不會(huì)構(gòu)造直角三角形， 4動(dòng)手操作能力和將知識(shí)學(xué)以致用的能力不強(qiáng)，比如利用拼圖驗(yàn)證勾股定理?！净A(chǔ)演練】1將直角三角形的三邊長都擴(kuò)

47、大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形是什么三角形？（提示直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）2下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（） a、a=15，b=2,c=3 b、a=7,b=24,c=25 c、a=6,b=8,c=10 d a=3,b=4,c=53等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形面積為（）a、56 b、48 c、40 d、324已知直角三角形的三邊長為6、8、x，則以x為邊的正方形的面積為_。5直角三角形兩直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為_。 6小明把一根70cm長的木棒放到一個(gè)長、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放進(jìn)去嗎？答：_

48、（填“能”、或“不能”）。7把一根長為10的鐵絲彎成一個(gè)直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是92，那么還要準(zhǔn)備一根長為_的鐵絲才能把三角形做好。8一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？ 9青中中學(xué)初一（1）的學(xué)生想知道學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米，如圖（1），當(dāng)他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，如圖（2），你能幫他們把旗桿的高度和繩子的長度計(jì)算出來嗎？請你與同伴交流并回答用的是什么方法 aabaaoa第8題圖圖（1）圖（2）

49、abc參考答案：1rta 3b 4100或者64。 5 6 不能。78 8 24，8 9 略第七講 全等三角形【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1理解全等三角形的概念和性質(zhì)。2理解“邊角邊”、“角邊角”、“邊邊邊”、”斜邊、直角邊”公理及其推論。3理解三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。4會(huì)運(yùn)用三角形的判定公理來證明三角形的全等。5能利用三角形的角平分線的有關(guān)定理進(jìn)行證明和計(jì)算。二、命題落點(diǎn)1三角形全等的證明方法。2常見的添加輔助線的方法：倍長中線法 割補(bǔ)法 構(gòu)造三角形全等。3利用三角形的全等考察三角形等幾何圖形等翻轉(zhuǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)。4解幾何問題的基本方法：綜合法 分析法 分析綜合法?！镜淅觥?例1：（金化

50、市2005年） 如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，。（1）請你再添加一個(gè)條件，使得，并給出證明。你添加的條件是：_,證明：（2）根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對(duì)全等三角形：_（只要求寫出一對(duì)全等三角形，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母，不必寫出證明過程）解析此題屬于開放性題目，大家的選擇性余地比較大，可以自由發(fā)揮。不過在填寫答案過程中可以填寫自己認(rèn)為最正確的結(jié)果。 答案：（1）ab=bc（2） 略例2：（重慶市2005年）如圖，平行四邊形abcd中，aebd，cfbd，垂足分別為e、f，求證：baedcf。解析首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。引出abd=bdc，再利用三角形全

51、等證明即abecdf。此題的證明方法很多，你也可證明dafbcf來解決。此題是利用三角形全等的性質(zhì)來解題。 證明：略dabcef例3：（2005年深圳市）如圖，口abcd中，點(diǎn)e在邊ad上，以be為折痕，將abe向上翻折，點(diǎn)a正好落在cd上的點(diǎn)f，若fde的周長為8，fcb的周長為22，則fc的長為_。解析 以ab為軸折疊，則beabfe,即是ae=ef,ab=bf那么def和bcf的周長就轉(zhuǎn)化到平行四邊形到邊上，這兩個(gè)三角形的周長正好是平行四邊形的四條邊長，則bc+ab=bc+bf=15,而bcf的周長為22，兩者相減即是cf的值。答案：7例4：（2005年宜昌市）已知：如圖，abac,aead，點(diǎn)d、e分別在ab、ac上求證：bc解析首先證明角相等，可以先證明角所在的三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。題目中要證明a=b,可以先證明這兩個(gè)角所在的三角形全等即可。證明：略afb例5：（湖州市2005年）如圖，在平行四邊形abcd中，b，d的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)e、f，交四邊形的對(duì)角線ac于點(diǎn)g、h求證：ah=cg解析首先平行四邊形abcd的對(duì)角相等，即adc=abc，其角平分線所分成的兩個(gè)角也相等。要證明ah=cg成立，我們可以證明