3.2用頻率估計(jì)概率

1、第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.2用頻率估計(jì)概率本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)結(jié)果、合作交流的過程，估計(jì)一些復(fù)雜的隨 機(jī)事件發(fā)生的概率.第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備（提前一周布置）內(nèi)容：以6人合作小組為單位，開展調(diào)查活動(dòng)：每人課外調(diào)查10個(gè)人的生 日、生肖.目的：收集數(shù)據(jù)， 為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供素材， 在課堂中運(yùn)用源于學(xué)生實(shí)際調(diào) 查的真實(shí)數(shù)據(jù)展開教學(xué)， 能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及學(xué)習(xí)的積極性與主 動(dòng)性.另一方面，也鍛煉了學(xué)生的社交能力.實(shí)際效果與注意事項(xiàng)： 學(xué)生課外收集數(shù)據(jù)時(shí)有可能來自相同的人， 各小組課 前準(zhǔn)備時(shí)，教師提醒盡量避免調(diào)查相同的人， 最好每個(gè)小組的調(diào)查范圍相對(duì)確定， 如

2、：初一、初二、初三等。第二環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容：紅樓夢第62回中有這樣的情節(jié)：當(dāng)下又值寶玉生日已到，原來寶琴也是這日，二人相同。 襲人笑道：“這是他來給你拜壽.今兒也是他的生日，你也該給他拜壽.”寶玉 聽了，喜的忙作下揖去，說：原來今兒也是姐姐的芳誕.”平兒還福不迭。 探春忙問：“原來邢妹妹也是今兒，我怎么就忘了。 ”探春笑道：“倒有些意思，一年十二個(gè)月，月月有幾人生日。人多了，便這 等巧了，也有三個(gè)一日，兩個(gè)一日的。目的：以小說情節(jié)開篇，引人入勝，直接引入與生日有關(guān)的話題，激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣.實(shí)際效果： 學(xué)生置身于情境之中，并陷入思考：為什么“便這等巧？”第三環(huán)節(jié)：探索新知經(jīng)歷試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活

3、動(dòng)過程，估計(jì)復(fù)雜隨機(jī)事件（生日相同）的概率。內(nèi)容：教師提出問題串（1）400位同學(xué)中，一定有2人的生日相同（可以不同年）嗎？有什么依 據(jù)呢？（2）300位同學(xué)中，一定有2人的生日相同（可以不同年）嗎？（3）教師提出一個(gè)論斷： “我認(rèn)為咱們班50個(gè)同學(xué)中很可能就有2個(gè)同學(xué) 的生日相同”你相信嗎？對(duì)于問題（1），學(xué)生能給予肯定的回答“一定” ，對(duì)于能力比較強(qiáng)的學(xué)生可 以用“抽屜原理” 加以解釋。 例如，有的學(xué)生會(huì)給出如下的解釋： “一年最多366天，400個(gè)同學(xué)中一定會(huì)出現(xiàn)至少2人出生在同月同日，相當(dāng)于400個(gè)物品放到366個(gè)抽屜里，一定至少有2個(gè)物品放在同一抽屜里一抽屜原理：把m個(gè)物品任 意放進(jìn)

4、幾個(gè)空抽屜里（mn）,那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物品”。對(duì)于問題（2），學(xué)生會(huì)給出“不一定”的答案。對(duì)于問題（3），學(xué)生會(huì)表示懷疑，不太相信。于是，在班級(jí)課堂里展開現(xiàn)場的調(diào)查。得到數(shù)據(jù)后請(qǐng)學(xué)生反思：1如果50個(gè)同學(xué)中有2人生日相同， 能否說明50人中有2人生日相同的 概率是1？2如果50人中沒有2人生日相同，就說明50人中2人生日相同的概率為0？學(xué)生能根據(jù)以往的知識(shí)進(jìn)行反思，并能舉一些類似的問題作為例子。例如： 隨意拋擲一枚硬幣，若國徽面朝上，說它的確概率為1，國徽面朝下的概率 為0.顯然是錯(cuò)誤的，我們知道它們的概率均為0.5.隨意拋擲一枚骰子，“6朝上”時(shí)我們說“6朝上”的概率為1，

5、6朝下的概率為0，顯然也是錯(cuò)誤的，我們知道它們的概率為1/6.活動(dòng)一，每個(gè)同學(xué)課外調(diào)查10人的生日，從全班的調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)選擇50人，看有沒有2人生日相同，設(shè)計(jì)方案估計(jì)50人中有2人生日有相同的概率.活動(dòng)設(shè)計(jì)目的 ：通過具體收據(jù)數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)結(jié)果過程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué) 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)本節(jié)課有更直觀的感知， 經(jīng)歷用實(shí)驗(yàn)估計(jì)理論概率的過程， 初步感 受到生日相同的概率較大.設(shè)計(jì)方案：學(xué)生自主設(shè)計(jì).附學(xué)生設(shè)計(jì)的方案： 方案一：將每個(gè)同學(xué)調(diào)查的生日隨機(jī)排列成一方陣，然后按某一規(guī)則從中 選取50個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(如25&0),從某行某列開始，自左而右，自上而下，,選出50個(gè)數(shù)).方案二：把全班每個(gè)同

6、學(xué)所調(diào)查的數(shù)據(jù)寫在紙條上，放在箱子里隨機(jī)抽取.方案三：從50個(gè)同學(xué)手里隨機(jī)抽取一個(gè)調(diào)查數(shù)據(jù)，組成50個(gè)數(shù)據(jù).方案四：全班分成10個(gè)小組，把每個(gè)小組調(diào)查數(shù)據(jù)放在一起，打亂次序， 隨機(jī)抽取5個(gè)，然后10個(gè)小組的結(jié)果放在一組成50個(gè)數(shù)據(jù).活動(dòng)過程指導(dǎo)：(1)節(jié)約時(shí)間，生日表示方式簡化成四位數(shù).如 “0217”(2)人人參與，大膽發(fā)言、交流、討論從大量的重復(fù)試驗(yàn)活動(dòng)中感受生日 相同的概率較大.(3)激勵(lì)學(xué)生提出更好的活動(dòng)方案，如：產(chǎn)生1365之間某一自然數(shù)隨 機(jī)數(shù)的方法；分工制作1365自然數(shù)卡片，放入紙箱隨機(jī)抽取一張，記下號(hào)碼， 放回去，再隨機(jī)抽取，直至抽出50張，多次重復(fù)試驗(yàn)，并估計(jì)出50人中有2

7、人生日相同的概率，此為模擬試驗(yàn).活動(dòng)評(píng)價(jià)指導(dǎo)：(1)學(xué)生的參與程度，活動(dòng)過程中的思維方式，與同學(xué)合作交流情況.(2)鼓勵(lì)思維多樣性.(3)關(guān)注學(xué)生能否用實(shí)驗(yàn)方法估計(jì)一些較復(fù)雜隨機(jī)事件發(fā)生的概率.(4) 關(guān)注學(xué)生對(duì)概率的理解是否全面.(5)關(guān)注實(shí)驗(yàn)次數(shù).實(shí)際效果： 通過以上探索活動(dòng)，經(jīng)歷了大量重復(fù)試驗(yàn)，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.約0.9704，很大.結(jié)果可解釋紅樓夢生日相同“遇的巧”的問題這個(gè)結(jié)果出人意料之處就在于其結(jié)果違反了人們的直覺： 人們往往覺得兩人 生日相同是一種可能性不大的事情，計(jì)算結(jié)果卻是：如果人數(shù)不少于是23人， 這種可能性就達(dá)50%.看下表是 幾個(gè)人中至少有2人

8、生日相同”的概率大小表：nPnPnPnPnP200.4114290.6810380.8641470.9548560.9883210.4437300.7105390.8781480.9606570.9901220.4757310.7305400.8912490.9658580.9917230.5073320.7533410.9032500.9704590.9930240.5383330.7750420.9140510.9744600.9941250.5687340.7953430.9239520.9780260.5982350.8144440.9329530.9811270.6269360.83

9、22450.9410540.9839280.6545370.8487460.9483550.9836第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高內(nèi)容：課本P168隨堂練習(xí)課外調(diào)查的10個(gè)人的生肖分別是什么？他們中有2人的生肖相同嗎？6個(gè)人中呢？利用全班的調(diào)查數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)一個(gè)方案， 估計(jì)6個(gè)人中有2個(gè)人生肖相同 的概率.目的：本問題與前面生日問題類似，借助于課外調(diào)查的數(shù)據(jù)再次進(jìn)行有關(guān) 問題的概率估算，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，直觀感受較復(fù)雜事件的概率問題.設(shè)計(jì)方案：模仿生日問題，學(xué)生自主設(shè)計(jì)，以上方案僅供參考.方案一：全班分6人一小組試驗(yàn)（多出人員可一人當(dāng)2人，3人），每人隨 機(jī)寫下自己調(diào)查的一個(gè)生肖，小組長匯總收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，

10、課代表收集全班 數(shù)據(jù)，估算6人中有2人生肖相同的概率.方案二：將全班調(diào)查好所有結(jié)果寫在紙條上，放進(jìn)箱子里隨機(jī)抽取6張.方案三：生肖結(jié)果用數(shù)字代替排成方陣.活動(dòng)過程指導(dǎo)：（1）簡化過程，把生肖按順序用1-12個(gè)數(shù)據(jù)代替.（2）鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽發(fā)表自己的見解.（3） 在討論、 交流過程中使學(xué)生進(jìn)一步感受大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率穩(wěn)定于 概率的意義.（4）激勵(lì)學(xué)生探索該問題的模擬試驗(yàn).活動(dòng)評(píng)價(jià)指導(dǎo)：（1）主要是積極評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生思維的多樣性.（2）看學(xué)生能否用試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜隨機(jī)事件的概率.（3）關(guān)注學(xué)生對(duì)概率意義的理解是否全面.（4）此問題的理論概率約0.78，在此不要求學(xué)生把結(jié)果精確到那一位.第五環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)內(nèi)容： 師生共同總結(jié)本節(jié)內(nèi)容目的： 回顧本節(jié)教學(xué)目標(biāo)學(xué)生先自我總結(jié)，然后師生共析： 本節(jié)課經(jīng)歷了調(diào)查、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、進(jìn)行試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)結(jié)果，合作交 流的過程， 知道了用大量的實(shí)驗(yàn)頻率來估計(jì)， 一些復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率， 當(dāng)試 驗(yàn)次數(shù)趙多時(shí)， 實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率， 還知道了 “直覺并不可靠”，本節(jié)“生 日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高