2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版選修2-2檢測(cè)：3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

1、3. 2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算填一填1 .復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律(i)復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè) zi=a+bi, z2=c+ di(a, b, c, d R), 貝U zi z2= (a + bi)( c+ di) = (ac bd) + (ad+ bc)i.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律Z為共對(duì)任意復(fù)數(shù)Zi、Z2、Z3c C,有交換律Zi Z2 = Z2_Z1結(jié)合律(zi Z2) Z3 = Z1-(Z2-Z3)乘法對(duì)加法的分配律Zi (Z2 + Z3) = ZiZ2+ ZiZ32.共軻復(fù)數(shù)(1)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)滿足實(shí)部相等.虛部互為相反數(shù)時(shí).稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共斬復(fù)數(shù).軻復(fù)數(shù)用z表示，即z= a+bi(a

2、, b R),則z = abi.(2)復(fù)數(shù)與共軻復(fù)數(shù)的乘法性質(zhì)z z = (a+ bi)(a bi) = a2 + b2.3.復(fù)數(shù)的除法法則設(shè) zi=a+bi, z2=c+ di(c+ diw0),ezia+bi ac+bd bc ad則 zr=玄+乃 i(c+ de0).判一判1 .兩個(gè)復(fù)數(shù)的積與商一定是虛數(shù).（X ）2 .兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)的和與積是實(shí)數(shù).（，）3 .復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算法則是先乘除，后加減.（，）4 .兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軻復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.（X）5 .設(shè)z是復(fù)數(shù)，若z2>0,則z是實(shí)數(shù).（，）6 .若 zi, z2 C C ,且 z2+ z2= 0,則 zi=

3、z2= 0.（X ）7 .兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的結(jié)果可能為實(shí)數(shù).（，）8 .兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù).（，）想一想1 .怎樣進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要把已得結(jié)果中的i2換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.2 .如何理解復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則？復(fù)數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項(xiàng)式乘法的法則進(jìn)行，注意要把i2化為-1,進(jìn)行最后結(jié)果的化簡(jiǎn).復(fù)數(shù)的除法先寫(xiě)成分式的形式，再把分母實(shí)數(shù)化(方法是分母與分子同時(shí)乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時(shí)乘以i).3 .共軻復(fù)數(shù)有哪些性質(zhì)，這些性質(zhì)有何作用？(1)在復(fù)平面上，兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.(2)實(shí)數(shù)的共軻復(fù)數(shù)是它

4、本身，即z= 7? z R,利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).(3)若zw 0且z+ 7 = 0,則z為純虛數(shù)，利用這個(gè)性質(zhì)，可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù).4 .復(fù)數(shù)形式的基本軌跡有哪些？(1)|z- zi|= r表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以復(fù)數(shù)zi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓.(2)|z- zi|=|z z2|表示以復(fù)數(shù)zi, z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Zi, Z2為端點(diǎn)的線段的垂直平分線.(3)|z-zi|+|z z2|=2a(a>0),當(dāng)2a>|ZiZ2|時(shí)，表示以復(fù)數(shù) zi, z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Zi, Z2為焦點(diǎn)的 橢圓；當(dāng)2a=|ZiZ2|時(shí)，表示以復(fù)數(shù) zi, z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)Zi, Z2為

5、端點(diǎn)的線段；當(dāng) 2a<|ZiZ2|時(shí)，無(wú)軌 跡.(4)|z-zi|zz2|=2a(a>0)當(dāng)2a<|ZiZ2|時(shí),表示以復(fù)數(shù) zi, z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Zi, Z2為焦點(diǎn)的雙 曲線；2 2a=|ZiZ2|時(shí)，表示以復(fù)數(shù) zi, z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)Zi, Z2為端點(diǎn)的射線；當(dāng) 2a>|ZiZ2|時(shí)，無(wú)軌 跡.感悟體會(huì)練一練i.已知 i2=i,則 i(i-乖i) = ()A.3-iB.V3+iC. - a/3 - i D. - -3 + i解析：i(i 43i) = i 43i2=*+i,故選 B.答案：B2.已知復(fù)數(shù)z= 2-i,則z-z的值為()A. 5B.V5C. 3D#解析：z=

6、 2-i,7 = 2+i, .z;7 = (2i) (2+i) = 4i2=5,故選 A.答案：A一一 2解析：z=i- 1答案：A解析： 由(1 + i)(1 bi) = 1 bi + i bi2 = (1 + b) + (1 b)i = a,得1 + b= a,1-b=0,解得a=2,b=1,ab = 2.3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) z滿足z= -2-,則z=()1 - 1A. 1 i B. 1 + iC. 1-i D. 1 + i2 i+ 1 2i + 2=-=-1-i,故選 A.i- 1 i + 1i2- 1 a,4.已知a, bCR, i是虛數(shù)單位.若(1 +i)(1 bi) =

7、a,則b的值為答案：2知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算1 .設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1 -i)(1 + 2i)=()A. 3+3i B. 1+ 3iC. 3+i D. 1 + i解析：(1 - i)(1 +2i) = 1 + 2ii2i2=3 + i.故選 c.答案：C2 .設(shè)復(fù)數(shù)z= 1+啦i,則z22z等于()A. - 3 B. 3C. - 3i D. 3i解析：.z= 1 + *i, -z2-2z= (1+ 亞i)22(1+V2i) = 1 + 2V2i + 2i22 2V2i = 3,故 選A.知識(shí)點(diǎn)二共軻復(fù)數(shù)3 .若x2+yi和3xi互為共軻復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù) x=, y =解析：. x-

8、2+yi和3xi互為共軻復(fù)數(shù)，x, yC R,x 2 = 3x,y=1,答案：1 1x=1, 解得y=1,4.設(shè) a, b 為共軻復(fù)數(shù)，且(a+b)2-3abi=4-12i,求a, b的值.解析：設(shè) a = x+yi(x, yC R),則 ，a+b=2x, ab=x2+y2,b= x yi,又(a+b)2 3abi = 412i 4x2-3（x2+y2）i=4-12i,由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)知4x2= 4,-3 x2 + y2 =- 12,x= 1, 解得V=事,x= 1,或 y=-V3,x=1,y=V3,y=一 . 3.a= 1 + U3i,a=b= 1 mi,或b=1 +V3i,1 + V3i,

9、1-V3i,a= - 1 33, 或b= 1 + 3i.知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算5.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z=1 i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）3 A.5 C.3i5B.D.353.5i解析:由題可得1 -i z=1 + 2i1 -i 1 -2i 1 3i1 + 2i 1 -2i1 353i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為一35'故選B.答案:6 .計(jì)算:3+2i_3-2i232+3(2)1-i 1+i3 4i 2+2i 34+3i解析：（1）方法一:3+2i3 2i2-3i2 + 3i3+2i 2+3i 3-2i 2-3i2-3i 2+ 3i6+13i66+13i+ 6 26

10、i4+913 = 2i.3+2i 32i i 2 3i i 2+ 3i- 2-3i 2+3i 2-3i 2 + 3i i i i.(2)原式=(1 +i)23 9 + (1 i)23F-8"4i J, "i =(2i)3i+(-2i)3(-i)-1 - i1 + i3 4i i8 2i 1 + i；=8+ 8- 16 16i = 16i.綜合知識(shí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算綜合應(yīng)用7.已知復(fù)數(shù)Z1滿足一2)(1 + i) = 1 i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,且z1 Z2是實(shí)數(shù), 貝 U Z2 =.1 -i 1-i 2-2i解析： (z1-2)(1 + i) = 1-i

11、, /.Z1-2 = -=- i, .-.Z1 = 2- i,1+i 1+i 1-i 2依題意,可設(shè) z2=a+2i(aC R),則 z1z2=(2i)(a + 2i) = (2a+2) +(4 a)i.Z1 z2是實(shí)數(shù),a= 4, 1- z2= 4+ 2i.答案：4+2i8.已知a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z1=2i, z2= a+ i(i為虛數(shù)單位).(1)若a=1,指出Z1+9在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限；(2)若z1 z2為純虛數(shù)，求a的值.解析：(1)因?yàn)?a=1,所以 Z1+ z2 =(2-i) + (1-i)=3-2i,所以Z1+E在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)的點(diǎn)為(3, 2),從而Z1+意在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

12、在第四象限.(2)Z1 z2= (2-i)(a+ i) = (2a+1) + (2-a)i,因?yàn)閍C R, Z1 z2為純虛數(shù)，一,一一r1所以 2a+1=0,且 2aw0,解得 a=- 2.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)、選擇題1.設(shè)zi, Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A .若 |ziZ2|=0,則 Z1 = Z2B .若 Z1 = Z2 ,則 Z1 = Z2C. 若 |Z1|=|Z2|, 則 Z1 -Z1 =Z2 Z2D.若 |z1|= |Z2|,則 Z1 ,一、11, 一的虛部是",故選B. 2i5= Z2 2解析：A 中，由 Z1一Z2|=0,得 Z1 Z2= 0,Z1= Z2, 則 Z

13、1 =Z2,正確；C 中，由|Z1|=|Z2|,得|Z1|2=|Z2|2,，Z1Z1 = Z2 ,正確；B 中，若 Z1 = Z2Z1 = Z2 - Z2 ,正確;D 中，當(dāng) |Z1|=Z2|時(shí)，可取 Z1 = 1 , Z2= i,則 z2= 1, 答案：D2,復(fù)數(shù)(1 + i)2(2 + 3i)的值為( A. 6-4iZ2= i2= - 1, 1- Z2z2,錯(cuò)誤.故選)B. 6-4iD.C. 6+4i D. 6+ 4i解析：(1 + i)2(2+3i) = 2i(2 + 3i)=4i+6i2= 6+4i,故選 D.答案：D3.復(fù)數(shù)1-2+i11 一一一卜WE的虛部是（）A-i B.- 55

14、C. -1i D.51+ 2i1牛 -2+ i + 1-2i- -2 + i -2-i + 1 -2i 1 + 2i2- i51 + 2i + 5-2 +i+1-答案：B4 .已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則 Z|=(A. 3C. 9解析:B. .10D. 10|2+i| + 2i V5+2iZ=, , |z| =證+2i 肉2i|1一二|i|=3,故選A.答案:5. (1+i)20_(1 i)20 的值是(A. - 1 024 B, 1 024C. 0 D. 512解析：(1 + i)20(1 i)20=(1 +i)2 1 + i 解析： =1+i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限.

15、 1-i 1i 1+i 答案：一 10.已知nCR, i為虛數(shù)單位，若7=1一川，則實(shí)數(shù)n =. 1 + i 210(1 -i)210=)10 (2i)10=(2i)10(2i)10=0.故選C.答案：C6 .設(shè)復(fù)數(shù)Z的共軻復(fù)數(shù)是 Z ,若復(fù)數(shù)Z1=3+4i,Z2=t + i,且Z1-Z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t=()34A.4 B.3C.43 D,解析：Z2= t + i, /. z2 =t i,又 z1=3+4i,.Z1 Z2 =(3+4i)(ti) = (3t+4)+(4t3)i,3解析：依題意,1-i1+i 1+i 1-i1 1112-2i = 2- ni,由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，n=&quo

16、t;. 一 一 3 .,Z1 2 為實(shí)數(shù)，. .4t-3=0,解得 t=4,故選 A.答案：A7 .設(shè) Z1, Z2 為復(fù)數(shù)，A= Z1 Z2 + Z1 Z2,則 A 是()A.虛數(shù) B.實(shí)數(shù)C.純虛數(shù) D.實(shí)數(shù)或虛數(shù)解析：設(shè)Z1 = a + bi,Z2=c+ di,(a,b, c, d R),則Z1= a bi,Z2= c di,A = Z1 Z2 + zi Z2= (a+bi)(c di) + (a bi)(c+di) = (ac+bd) + (bcad)i + (ac+bd) +(ad-bc)i = 2(ac+ bd),，A 為實(shí)數(shù)，故選 B.答案：B二、填空題8 .已知復(fù)數(shù) z滿足 z

17、+1=0,則|z|=.解析：由z+ ；=0,可得z2=- 3,所以z= ±J3i,所以|z|= 3.答案：329 .已知i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)7:對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限.1 -i答案：211.若解析:x=1一J,則1-V3i x=1x2-xx2 x= x(x 1)=1 .：3 1- .：3i1-<3i -1-V3i1-4(1-V3i)(1 +禽i) = 11” + 3)=1, .-.-21- = - 1.答案：112 .已知z是純虛數(shù)，巖是實(shí)數(shù)'那么z等于z+ 2 bi + 2解析：設(shè)z= bi(bCR),則=1 -i 1-ibi +2 1+i 2-b 2+bz+

18、 22 + b因?yàn)橐皇菍?shí)數(shù)，所以=0,得b=-2,1 - i2答案：2i三、解答題13 .計(jì)算:(1)(1-i)(1 +i) + (-1 + i)；(2)(2 i)( 1 + 5i)(3 4i) + 2i;所以z= 2i.(4)2+2i 嫗 1 i 2+ 1 + i1 + V3i 32020. 2+i1 + 2i .解析：(1)原式=2+(1 + i)=1 + i.(2)原式=(3+11i)(3-4i) + 2i = 53+ 23i.2+ 2i 21原式=+ 2i 1010=(1 + i) i+ 7 1010-1 + i + (-i)1010=- 1 + i 1 = 2+i.-1 +V3i 3

19、 2i2+i(4)原式=2i 31 + 2i1 + 2i=0.14 .設(shè)z的共軻復(fù)數(shù)是z,若z+ z =4, zzz=8,求三的值.解析：法一 設(shè)2=*+汽，y R),則 z =x-yi.由 z+ z = 4, z z = 8,得x+ yi + x yi = 4,x+yi x yi = 8x=2,即x2+y2=8,x= 2, 解得y= =t2,x yix+ yix2-y2- 2xyi1=立x2+ y2法二 因?yàn)?z+ z =4,設(shè) z=2+ bi(bC R), 又 z -z =|z|2=8,所以 4+b2=8.所以b2=4,所以b=立，所以z= 2受i, z =2?2i.能力提升15.已知z為復(fù)數(shù),z+3+2i和缶均為實(shí)數(shù),其中i為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)若復(fù)數(shù)(zmi)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解析：(1)設(shè)復(fù)數(shù) z=